Bezier 曲線與曲面教學(xué)課件

1、計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 3.2 Bezier 曲線與曲面計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的定義和性質(zhì)1定義 給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則Bezier曲線可定義為：計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：0=1, 0!=1Bezier曲線的定義和性質(zhì)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Betnstein基函數(shù)的性質(zhì) （1）正性 （2）端點(diǎn)性質(zhì) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)（3）權(quán)性 由二項(xiàng)式定理可知：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)（4）對(duì)稱性 因?yàn)?計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)(5）遞推性。 即高一

2、次的Bernstein基函數(shù)可由兩個(gè)低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。因?yàn)椋?jì)算機(jī)圖形學(xué)2Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)（6）導(dǎo)函數(shù) （7）最大值。 在 處達(dá)到最大值。 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)2Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)（8）升階公式 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)2Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)（9）積分計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)（1）端點(diǎn)性質(zhì) a）曲線端點(diǎn)位置矢量 由Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=P0 ；當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì) b)切矢量 因?yàn)?/p>

3、， 所以當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=n(Pn-Pn-1)，這說(shuō)明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)c.）二階導(dǎo)矢當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)，事實(shí)上，r階導(dǎo)矢只與（r+1）個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)關(guān)。將 、 及 、 代入曲率公式 ，可以得到Bezier曲線在端點(diǎn)的曲率分別為：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)d.）k階導(dǎo)函數(shù)的差分表示n次Bezier曲線的k階導(dǎo)數(shù)可用差分公式為： 其中高階向前差分矢量由低階向前差分矢量遞推地定義： 例如：

4、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)（2）對(duì)稱性。由控制頂點(diǎn) 構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。因?yàn)椋哼@個(gè)性質(zhì)說(shuō)明Bezier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)（3）凸包性由于 ，且 ，這一結(jié)果說(shuō)明當(dāng)t在0，1區(qū)間變化時(shí)，對(duì)某一個(gè)t值，P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在 中各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中，如圖3.1.9所示。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)（4）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。

5、Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)（5）變差縮減性。若Bezier曲線的特征多邊形 是一個(gè)平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)還小，也就是說(shuō)Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的性質(zhì)（6）仿射不變性對(duì)于任意的仿射變換A：即在仿射變換下，的形式不變。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)3.2.2 Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法 計(jì)算Bezier曲線上的點(diǎn)，可用Bez

6、ier曲線方程，但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡(jiǎn)單的多。 如下圖所示，設(shè) 、 、 是一條拋物線上順序三個(gè)不同的點(diǎn)。過(guò) 和 點(diǎn)的兩切線交于 點(diǎn),在 點(diǎn)的切線交 和 于 和 ，則如下比例成立：這是所謂拋物線的三切線定理。(示意圖見下頁(yè))計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有： t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得： 當(dāng)t從0變到1時(shí)，它表示了由三頂

7、點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P20可以定義為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)（P0，P1）和后兩個(gè)頂點(diǎn)（P1，P2）決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個(gè)控制點(diǎn)定計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法義的三次Bezier曲線P30可被定義為分別由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0, 1, ., n)定義的n次Bezier曲線Pn0可被定義為分別由前、后n個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線 P0n-1與P1n-1的線性

8、組合：由此得到Bezier曲線的遞推計(jì)算公式：這便是著名的de Casteljau算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點(diǎn)P(t)非常有效。上式中：是定義Bezier計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法曲線的控制點(diǎn)， 即為曲線 上具有參數(shù)t的點(diǎn)。de Casteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡(jiǎn)便，可以編出十分簡(jiǎn)捷的程序，是計(jì)算Bezier曲線的基本算法和標(biāo)準(zhǔn)算法。當(dāng)n=3時(shí)，de casteljau算法遞推出的Pki呈直角三角形，對(duì)應(yīng)結(jié)果如圖3.1.11所示。從左向右遞推，最右邊點(diǎn)P30即為曲線上的點(diǎn)。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的遞推(de Ca

9、steljau)算法 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線幾何作圖法這一算法可用簡(jiǎn)單的幾何作圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。給定參數(shù) ，就把定義域分成長(zhǎng)度為 的兩段。依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是由第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn) , 對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn) 。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn) 即為所求曲線上的點(diǎn) ，如圖3.1.12所示。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線幾何作圖法 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)3.2.3 Bezier曲線的拼接 幾何設(shè)計(jì)中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會(huì)引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提

10、高，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難，實(shí)際使用中，一般不超過(guò)10次。所以有時(shí)采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來(lái)，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。 給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m)，且令 ，如圖3.1.13所示，我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來(lái)。 圖3.1.13 Bezier曲線的拼接計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的拼接計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的拼接（1）要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn= Q0；（2）要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=

11、Q，Q1三點(diǎn)共線，即：（3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，并滿足方程 。 我們將 、 和 ， 、 代入，并整理，可以得到： 選擇 和 的值，可以利用該式確定曲線段 的特征多邊形頂點(diǎn) ，而頂點(diǎn) 、 已被 連續(xù)條件所確定。要達(dá)到 連續(xù)的話，只剩下頂點(diǎn) 可以自由選取。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的拼接如果從上式的兩邊都減去 ，則等式右邊可以表示為 和 的 線性組合：這表明 、 、 、 和 五點(diǎn)共面，事實(shí)上，在接合點(diǎn)兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，我們還可以斷定： 位于直線 的同一側(cè)。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)3.2.4 Bezier曲線的升階與降階1Bezier曲線的升階 所謂升階是

12、指保持Bezier曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點(diǎn)數(shù)，也即是提高該Bezier曲線的次數(shù)。增加了控制頂點(diǎn)數(shù)，不僅能增加了對(duì)曲線進(jìn)行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應(yīng)用。對(duì)于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的。應(yīng)用升階的方法，我們可以把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù)，而獲得同一的次數(shù)。曲線升階后，原控制頂點(diǎn)會(huì)發(fā)生變化。下面，我們來(lái)計(jì)算曲線提升一階后的新的控制頂點(diǎn)。設(shè)給定原始控制頂點(diǎn) ，定義了一條n次Bezier曲線：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的升階與降階增加一個(gè)頂點(diǎn)后，仍定義同一條曲線的新控制頂點(diǎn)為 ，則有：對(duì)上式左邊乘以 ，得到：比較等式兩邊 項(xiàng)的系數(shù)，得到：化簡(jiǎn)即得：其中 。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezier曲線的升階與降階此式說(shuō)明：新的控制頂點(diǎn) 是以參數(shù)值 按分段線性插值從原始特征多邊形得出的。升階后的新的特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)特征多邊形更靠近曲線。三次Bezier曲線的升階實(shí)例如圖3.1.14所示。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)Bezi