平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學案例設計1

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學案例設計1一、教學內(nèi)容分析以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運算與物理知識聯(lián)系起來；向量數(shù)量積與向量的長度及夾角的關系；進一步探究兩個向量的夾角對數(shù)量積符號的影響及有關的性質、幾何意義和運算律。本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4（A版）第二章、第4節(jié)第1課時。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關系是向量間最基本、最重要的位置關系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問題的一個重要工具。本節(jié)的知識結構：二、學生學習情況分析本節(jié)以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學生作為初學者不清

2、楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當然，以及對運算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應用。通過情景創(chuàng)設、探究和思考引導學生認知、理解并掌握相關的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運算討論一些幾何元素的位置關系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量學生容易混淆。利用數(shù)量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系解決問題，是學生學習本節(jié)內(nèi)容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深入淺出、符合學生的認知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學任務，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲望。三、設計思想高中數(shù)學課程標準指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依

3、賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式”，轉變學生的學習方式，激發(fā)學生的學習積極性，讓學生樂于參與到探索性和創(chuàng)造性的學習活動中來，這是新課程數(shù)學教學的基本要求。高中數(shù)學課程標準還明確提出了提高學生的知識與技能、重視學生的學習過程與方法，培養(yǎng)學生的情感態(tài)度、價值觀的三維目標。為此，結合本節(jié)課的教學內(nèi)容，教學中注重過程、方法，注重引導學生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態(tài)度與價值觀。四、教學目標通過師生互動、學生的自主探究，（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數(shù)量積的性質和運算律，會進行平面

4、向量數(shù)量積的運算；（3）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系；（4）通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學生的類比思想；通過數(shù)量積的性質、運算律的靈活應用，發(fā)展學生從特殊到一般的能力，培養(yǎng)學生學習的主動性和合作交流的學習習慣。五、教材重點和難點重點是平面向量的數(shù)量積的概念和性質；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應用。難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應用。六、教學過程設計情景1問題 回憶物理中“功”的計算，它的大小與哪些量有關？ 結合向量的學習你有什么想法？若一個物體在力的作用下

5、產(chǎn)生的位移為，那么力所做的功等于多少？ 設計意圖以物理問題為背景，初步認識向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。師生互動 生： （其中是和的夾角）。師：功是一個矢量還是標量？它的大小由那些量來確定？顯然功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。從中我們得到一個啟發(fā)：能否將功看成是兩個“向量相乘”的一種運算的結果呢？從而得出平面向量的“數(shù)量積”的概念。 情景21、定義向量數(shù)量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關系？運算結果是向量還是數(shù)量？2、如何確定兩個非零向量的數(shù)量積的符號，什么情況下值為零？ 設計意圖使學生從感性到理性去認知數(shù)量積的定義。通過對概念的認識、分析和探究，使學生加深理

6、解，并掌握相關的性質及幾何意義。同時加深對投影的認識。師生互動1、仿照物理問題建構“數(shù)學模型”。引入“向量數(shù)量積”的概念：已知兩個非零向量與，把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即（其中是與的夾角）。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。2、規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為。3、（1）數(shù)量積運算結果的符號取決于與的夾角（）的大小；（2）兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它與兩個向量的長度及其夾角有關；（3）符號不能寫成或的形式；（4）找向量的夾角時，應將兩向量的起點平移到同一個點上。4、探究其性質：（1）（與都是非零向量）；設置情景：若，則向量與至少有一個是零向量？類比時，若或。而且此性質在解決有

7、關線段垂直問題時具有很好的作用。（2）當向量與共線同向時，；當向量與共線反向時，。特別地或（與二次根式性質：進行類比）。這是求向量長度的又一重要方法。情景3由學生自主學習來完成書本例題1。設計意圖通過計算鞏固對數(shù)量積定義的理解。進一步引導學生對和的大小關系進行一般的研究比較。師生互動從例1容易得出性質和數(shù)量積的幾何意義。情景4給學生分鐘時間，閱讀教材，并對前面所學的內(nèi)容及研究方法作一個歸納小結。設計意圖培養(yǎng)學生的閱讀能力和及時進行歸納小結的學習習慣。把課堂還給學生，體現(xiàn)師生間的合作探究，不管是老師還是課件，都是為學生服務的，都在同步配合學生的學習和探索。師生互動學生通過自主閱讀、總結并發(fā)表自己

8、的看法，老師可以有針對性進行學習方法點撥并指出對學習過程進行及時反思的重要性。情景5 運算律和運算是緊密相聯(lián)的，類比實數(shù)運算中的運算律，探究平面向量數(shù)量積的運算律。設計意圖 通過類比、探究使學生得出數(shù)量積的運算律，進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維和研究問題的能力。師生互動 1、回顧實數(shù)運算中有關乘法的運算律。類比數(shù)量積的運算律，體會不同運算的運算律不盡相同，需要研究。已知向量、和實數(shù)，則 2、對向量數(shù)量積的運算律進一步研究，（1）成立嗎？顯然，等式左邊與向量共線，右邊與向量共線，而向量與不一定共線，因此結論不一定成立；（2）由能否推出？（反例：當時，有。但不能得到）。結合實數(shù)，有進行類比，辯析。3、老

9、師可以通過學生的討論進行糾錯，理解不同的運算具有不同的運算律，體會到數(shù)學的法則與法則之間的區(qū)別與聯(lián)系。同時注意利用學生錯誤這一重要的資源，讓學生更容易找到易錯點和易混點，從而更清晰、準確地掌握知識。情景6例2、例3、例4的教學。設計意圖1、要求學生體會實際解題中運算律的作用，比較向量運算與多項式乘法運算的異曲同工；2、學會利用數(shù)量積來解決有關垂直問題，體會運算律帶來的優(yōu)越性。3、上面幾個例題，層層遞進，都是把較難的問題轉化為已經(jīng)解決的較易的標準問題，體現(xiàn)了知識和方法上的轉化。師生互動1、老師可以將例題內(nèi)容與多項式乘法運算進行類比；2、讓學生自己體會用數(shù)量積將“幾何問題”化歸為方程問題來求解的簡

10、練，進一步體現(xiàn)向量的工具作用。 情景7課后反思：讓學生回顧總結本節(jié)課的學習內(nèi)容及探究、解決問題的方法。設計意圖讓學生整理相關的學習內(nèi)容，使得“知識系統(tǒng)性、技能熟練性”得到更加充分體現(xiàn)，體會所學知識的引入基礎及探究、解決問題時用到的數(shù)學思想和數(shù)學方法，培養(yǎng)學生思考問題、分析問題、解決問題的能力。七、教學反思本節(jié)課教學效果不錯，主要是把學習的主動權交還給學生，注意學生的主動探索、思考及師生互動，還以物理知識為背景，建立了數(shù)學的平面向量數(shù)量積的概念和運算。使得學習內(nèi)容直觀、生動，抓住重點。使學生懂得對已有的知識進行遷移、采用類比的方法讓學生主動學習合作交流，體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學生數(shù)學表達

11、和交流的能力。在課堂中會體現(xiàn)自我，學會自己尋找解題的突破口，在探究中學會思考，在合作中學會推進，在觀察中學會比較，進而推進整個教學程序的展開。但自我感覺 “講”的還是偏多了一點，對于學生解題中出現(xiàn)的錯誤這一資源展開、分析得不夠，以后應該更加注意引導。點評：平面向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教材中以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念。功是一個標量，它用力和位移兩個向量來定義，反映在數(shù)學上就是向量的數(shù)量積。蘇老師在教學設計中，注重知識的發(fā)生和發(fā)展過程的展現(xiàn)，從數(shù)學和物理兩個角度創(chuàng)設問題情景，通過數(shù)量積的幾何意義使學生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質變”特征有了更充分的認識。以問題設計為導向，以知識為載體，引導學生積極思