2014年蘇錫常鎮(zhèn)高三數(shù)學一模試卷及參考答案(純)

1、2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調查（一）數(shù)學試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求本試卷共4頁包含填空題（第1題一一第14題）、解答題（第15題一一第20題）.本卷滿分160分，考試時間為120分鐘考試結束后請將答題卡交回.答題前請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.請在答題卡上按照順序在對應的答題區(qū)域內作答在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整筆跡清楚.如需作圖須用2B鉛筆繪、寫清楚線條、符號等須加黑、加粗.請保持答題卡卡面清潔不要折疊、破損.一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦

2、洗的圓珠筆.參考公式：柱體的體積公式：V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是高.直棱柱的側面積公式：S直棱柱側=ch，其中c是直棱柱的底面周長，h是高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答.題.卡.相.應.位.置.上.TOC o 1-5 h z1.已知集合A=1,2,3,4,B二m,4,7，若AQB=1,4），貝VAUB=若復數(shù)z=口（i為虛數(shù)單位），則丨zI=.-i已知雙曲線蘭-巴=1的離心率為丫3,則實數(shù)m的值為.m8一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)分組后，分組與頻數(shù)分別如下：（10,20，2；（20,3）Q3；（30,40，4；（40,50，5；（50,60，

3、4；（60,70，2.則樣本在（10,50上的頻率是.TOC o 1-5 h z執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則最后輸出的y等于.6.設函數(shù)f（x）=asinx+x2,若f（1）=0，則f（-1）的值為.7.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,PA丄底面ABCD（第5題）且PA=4,則PC與底面ABCD所成角的正切值為.從甲，乙，丙，丁4個人中隨機選取兩人，則甲乙兩人中有且只有一個被選取的概率為1（p已知tan（a+b）=,tanb=一，則tana+的值為.53I4丿10.設等差數(shù)列a的前n項和為S，若a=3,a=3,S=-12，則正整數(shù)k=nn1k+12k11已知正數(shù)x,y滿足x

4、+2y=2，則X+8y的最小值為.xy12.如圖，在ABC中，BO為邊AC上的中線,BG二2GO，設CDAG,若AD=1AB+九AC(XeR)，則九的值為一513.已知函數(shù)f(x)二嚴Xx2)ex，x，g(x)=f(x)+2k，若函數(shù)g(x)恰x2+4x+3,x0,有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為D14.在平面直角坐標系xOy中，已知點P(3,0)在圓(第12題)C:x2+y22mx4y+m228=0內，動直線AB過點P且交圓C于A,B兩點，若ABC的面積的最大值為16，則實數(shù)m的取值范圍為二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演

5、算步驟.15.(本小題滿分14分)設函數(shù)f(x)=6cos2x2：3sinxcosx.求f(x)的最小正周期和值域；4(2)在銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若f(B)=0且b=2，cosA=，求a和sinC.16.(本小題滿分14分)如圖，在三棱柱ABCABC中，側面AABB為菱形，且11111ZAAB=60。，AC=BC，D是AB的中點.1求證：平面ADC丄平面ABC；1B求證：BC平面ADC11C(第16題)17.(本小題滿分14分)一個圓柱形圓木的底面半徑為lm,長為10m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等

6、腰梯形ABCD（如圖所示，其中O為圓心，C,D在半圓上），設ZBOC=q，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）.（1）求V關于0的函數(shù)表達式；（2）求q的值，使體積V最大；（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由.第17題）第18題）18（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B，C是橢圓藝+蘭=1（ab0）上不同的三點a2b2廠A（32,3l2），B（-3,-3），C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上.21）求橢圓的標準方程；2）求點C的坐標；（3）設動點P在橢圓上（異于點A，B，C）且直線PB，PC分別交直線OA于M，N兩點，

7、證明OMON為定值并求出該定值.19（本小題滿分16分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列a的前n項和為S,已知a二1，且（S+九）a二（S+1）a對一切neN*都nn1n+1nnn+1成立若久=1,求數(shù)列a的通項公式；n求久的值，使數(shù)列a是等差數(shù)列.n20(本小題滿分16分)ex已知函數(shù)f(x)=mx-alnx-m,g(x)=-，其中m,a均為實數(shù).ex(1)求g(x)的極值；(2)設m=1,a0恒成立，求a的若對任意的x,xe3,4(x豐x),f(x)一f(x)|121221最小值；設a=2,若對任意給定的xe(0,e，在區(qū)間(0,e上總存在t,t(t豐t),使得f(t)=f(t)=g(x)012121

8、20成立，求m的取值范圍.數(shù)學11(附加題)21.【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修41：幾何證明選講如圖，OO為四邊形ABCD的外接圓，且AB=AD,E是CB延長線上一點，直線EA與圓O相切.求證：CD_ABAB_BE第21-A題）B.選修42：矩陣與變換已知矩陣M=1221，卩=T_7_，計算M6卩.C.選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,圓的參數(shù)方程為F=2+2C0Sa（a為參數(shù)）,以坐標原點O為極點，x軸的y=2sina正半軸為極軸建立極坐標系.求：（1）

9、圓的直角坐標方程；（2）圓的極坐標方程.D.選修45：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2-a2-2a，若函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，求實數(shù)a的取值范圍.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答.題.卡.指.定.區(qū).域.內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.（本小題滿分10分）2甲乙兩個同學進行定點投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為2，且各次投籃的結果互不影3響甲同學決定投5次，乙同學決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過5次（1）求甲同學至少有4次投中的概率；（2）求乙同學投籃次數(shù)x的分布列和數(shù)學期望.23（本小題

10、滿分10分）設S=C0-C1+C2+(l)mCm,m,neN*且mn,其中當n為偶數(shù)時，m-；當n為奇數(shù)時,nnn-1n-2n-m2n-1m-2（1）證明：當neN*,n三2時，SS-S；n+1nn-1(2)記S-Co-1,1C1+C2C3+C1007，求S的值.20142014201320132012201220112011100710072014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調查（一）數(shù)學I試題參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分8.9.】2飛3.44舟5636.2込13.13.1013119127_3、2，_2丿14.3+2/3,3+2叮7)U(3-2,3-2U3

11、二、解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.解：(1)f(x)=6x1+cos2x-、：3sin2x=3cos2x-*：3sin2x+3=2：3cos(2x+P)+3.3分6所以f(x)的最小正周期為T=空=p,4分2值域為3-2朽,3+2込.3(2)由f(B)=0，得cos(2BH)=-.62B為銳角，n2B+n7n，2B+n=5n,B=-666663*.*cosA=5，Ae(0,p)，.:sinA=12x3在ABC中，由正弦定理得a=鶉=譽匚4,32pv313+4x/3:sinC=sin(p-A-B)=sin(-A)=cosA+sinA=322101

12、6.(1)證明：JABBA為菱形，且ZAAB=60，111AAB為正三角形.1.D是AB的中點，AB丄AD.1JAC=BC,D是AB的中點，AB丄CD.-ADp|CD=D，:AB丄平面ADC.11JABu平面ABC，:平面ADC丄平面ABC.1(2)證明：連結CA，設ACfAC=E，連結DE.111J三棱柱的側面AACC是平行四邊形，E為AC中點.111在厶ABC中，又JD是AB的中點，DEBC.11JDEu平面ADC，BC平面ADC，:BC平面ADC.111116分9分10分12分14分2分4分6分8分10分12分14分17.解：(1)梯形ABCD的面積nSABCD=sinq=sinqcos

13、q+sinq，qe(0,牛2分體積V(q)=10(sinqcosq+sinq)，q-(0,J3分(2)V(q)=10(2cos2q+cosq-1)=10(2cosq-l)(cosq+1).令V(q)=0，得cosq=，或2cosq=-1(舍).qe(0,?)，q=彳5分當qe(0,彳)時，cosq0,V(q)為增函數(shù);當qe（需）時，O叫2,V(q)0,V(q)為減函數(shù).7分:當q=I時，體積V最大.8分木梁的側面積$側=如+2Bc+cD)10=20(cosq+2sin+1)，qe(0,切qpS=2Sabcd+%=2(sinqcosq+sinq)+20(cosq+2sin+1)，qe(0込)-

14、10分設g(q)=冋+2sinq+1，qe(0自g(q)=-2sin2+2sinq+2.當sinq=2，即q=p時，g（q）最大又由知q=七時,sinqcosq+sinq取得最大值，所以q=彳時，木梁的表面積S最大.綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大.12分分分18+2=1,解得a2=27,a2b22799+=1,b2=-2、a2b2X2+y=127272918.解：（1）由已知，得所以橢圓的標準方程為2分3分m-3n-3(2)設點C(m,n)(m0,n0),則BC中點為(-,-).22由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0，從而-=2-3.又點C在橢圓上，-2+2-2=27.由，

15、解得-=3（舍），-=-1，從而=-5.5分所以點C的坐標為（-5,-1）.6分y+31二葉2y+3x+310P,C,N三點共線,y2+1二弟1,2y+5x+520p,b,m三點共線，.y+3整理，整理，3(yx)00 x2y3005yx00-x2y+300點C在橢圓上，x2+2y2=27,x2=272y2.00003(x2+5y2一6xy)3(3y2一6xy+27)從而yy=oo12x2+4y24xy900000002y24xy+18000=3x3二92245所以OM-ON=5yy=-.12245OMON為定值，定值為一219.解:(1)若久=1，則(S+1)an+1n二(S+1)an，an

16、+11厶S+11S+12.S+1an+1二一n+1，S+1ann+1aa二T3aa12an+1an化簡，得S+1二2an+1n+1當n三2時,，得an+1二2a,n8分10分14分15分16分2分4分6分當n=1時,n=1時上式也成立,1100設P(x,y)，M(2y,y)，N(2y,y).22TOC o 1-5 h z數(shù)列a是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，a=2n-1(neN*).8分nn令n=4得a2+1令n=2,得a3=+1)2-10分n213要使數(shù)列a是等差數(shù)列，必須有2a二a+a，解得久=0.11分當久=0時，Sa二(S+1)a，且a二a二1.n+1nnn+121當n22時，S(SS

17、)二(S+1)(SS),n+1nn1nn+1nS+1S整理，得S2+S=SS+S,n二n+1,13分nnS+1S+1從而3S+1S+112化簡，得S+1=Snn+1n1n+1S+1Sn1nS+1SSSn=34n+1,n123n，所以a=1.15分n+1S+1SSS綜上所述，a=1(neN*),所以啟0時，數(shù)列a是等差數(shù)列.16分n20解:(1)g(x)=X，令g(x)=0，得x=1.1分exx(s,1)1(1,+8)g(x)+0g(x)/極大值列表如下:*g(1)=1，：y=g(x)的極大值為1,無極小值.3分(2)當m=1,a0在3,4恒成立，f(x)在3,4上為增函數(shù).x設h(x)=-=e

18、x，h(x)=ex一1(x一D0在3,4恒成立，g(x)exx2h(x)在3,4上為增函數(shù).4分5分設xx，21則f(x2)-f(x1)盤2等價于f(x)-f(x)h(x)-h(x)，2121艮卩f(x)一h(x)e21，:v(x)m21，m2占時，命題成立.22所以0-2.me22此時f(x)在(0,2)上遞減，在(2,e)上遞增,mm3f(e)三1，即f(e)=me一2一m三1，解得m2.e-1由，得m2.e一12Te(0,e,f()Wf(1)=0成立.m2下證存在te(0,，使得f(t)21.m2取t=e-m，先證e-m0.m3設w(x)=2ex-x，則w，(x)=2ex-10在,+)時

19、恒成立.e一133w(x)在,+8)時為增函數(shù).w(x)2w()0,.成立.e一1e一1再證f(e-m)21.16分CDDAAB一BEAB=AD，CD=ABAB一BE10分3綜上所述，m的取值范圍為,+w).e-121、【選做題】在A、B、C、D四小題中只.能.選.做.兩.題.，每小題10分，共計20分.A.選修41：幾何證明選講TOC o 1-5 h z證明：連結AC.EA是圓O的切線，ZEAB=ZACB.2分AB=AD，:ZACD=ZACB.ZACD=ZEAB.4分二圓O是四邊形ABCD的外接圓，ZD=ZABE.6分8分ACDAsAABE.B.選修42：矩陣與變換解：矩陣M的特征多項式為f

20、(九)=-2X-1二11令f(X)=0,解得X=3,X=-1，對應的一個特征向量分別為a二，a=-5分12121令B=ma+na，得m=4,n=3.12M6B=M6(4a3a)=4(M6a)3(M6a)=4x3612123(1)612913291910分C.選修44：坐標系與參數(shù)方程解：(1)圓的直角坐標方程為(x2)2+y2=4.5分(2)把$=卩C0號代入上述方程，得圓的極坐標方程為p=4cos0.10分Iy=psin0,D.選修45：不等式選講解：f(x)的最小值為3|a22a|,5分由題設，得a22a3，解得ae(1,3).10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分22.解：(1)設甲同學在5次投籃中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率為P，貝9P=P(x=4)+P(x=5)2分=c4(3)4(13)1+C5(2)5(12)0=5331122434分(2)由題意x=1,2,3,4,5.P(x=1)=3?P(x=2)=1x2=2,339227了1YP(x=4)=-3k3丿2=23=81181(1、4P(x=5)=-k3丿x的分布表為x12345P22221392781818分10分x的數(shù)學期望Ex