測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理mnust2012春

1、MNUSTSHISHI CHINA測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理2011物理課程組1一.測(cè)量與誤差 測(cè)量 直接測(cè)量：用儀器直接將待測(cè)量與選定的同類(lèi)單位量進(jìn)行比較，即直接在儀器上讀出待測(cè)量的值。 間接測(cè)量：由若干直接測(cè)得量通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系（公式、定律）進(jìn)行計(jì)算從而求出待測(cè)量。 例如，直接測(cè)出擺長(zhǎng) l 及周期 T ，通過(guò)公式1 測(cè)量與誤差 測(cè)量：將被測(cè)量與選定的同類(lèi)單位量進(jìn)行比較。求出重力加速度 。 等精度測(cè)量：同一條件下，對(duì)同一物理量的多次測(cè)量 若測(cè)量條件發(fā)生變化則為不等精度測(cè)量。 我們所討論的測(cè)量均為等精度測(cè)量。2 測(cè)量的誤差誤差定義：測(cè)量值(x)與真值(X)之差，用 表示 又稱(chēng)絕對(duì)誤差。相對(duì)誤差：

2、絕對(duì)誤差與真值的比，用 表示，即 按產(chǎn)生的原因和性質(zhì)，測(cè)量誤差分為兩類(lèi)： 系統(tǒng)誤差：公式與定律不嚴(yán)格；儀器本身的缺陷；實(shí)驗(yàn)者自身的不良習(xí)慣等原因引起的有一定規(guī)律的誤差。 隨機(jī)(偶然)誤差：由許多不穩(wěn)定的偶然因素產(chǎn)生的。 隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，測(cè)量次數(shù)足夠多，其平均測(cè)量結(jié)果總是在真值附近。 例如，測(cè)量環(huán)境溫度、氣壓的偶然變化，電流或電壓的起伏波動(dòng)等因素。 3 理論與實(shí)踐都表明，一組等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，最常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是正態(tài)(高斯)分布，如圖所示。橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為二. 誤差的處理 系統(tǒng)誤差的處理 可以通過(guò)修正公式或定律，選擇或改進(jìn)儀器，糾正不良習(xí)慣等來(lái)消除或減

3、小系統(tǒng)誤差。 用儀器測(cè)量物理量總有誤差存在，要使測(cè)量更精確，就得設(shè)法減少、消除或修正測(cè)量誤差。 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 隨機(jī)誤差的處理誤差出現(xiàn)的概率密度 。4 圖中陰影部分的面積是測(cè)量列的概率，大小約為 68.3%。 中的任一測(cè)量值落在區(qū)間中 是測(cè)量無(wú)限次時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。由于實(shí)際測(cè)量只能是有限次，而且被測(cè)量的真值也不可能準(zhǔn)確知道，因此這一標(biāo)準(zhǔn)誤差公式只具有理論意義。測(cè)量列 的標(biāo)準(zhǔn)誤差5 隨機(jī)誤差的實(shí)際估算其真值的最優(yōu)估計(jì)值是它們的算術(shù)平均值 單次測(cè)量值 xi 與算術(shù)平均值 之差稱(chēng)為該次測(cè)量的偏差（或殘差）設(shè)一組n次的測(cè)量值為 偏差是測(cè)量值與有限次等精度測(cè)量的算術(shù)平均值之間的差值，偏差與誤差不同，實(shí)際

4、誤差估算使用偏差。測(cè)量列 標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差貝塞爾公式 測(cè)量列中任一測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。6 算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 按統(tǒng)計(jì)理論，算術(shù)平均值 比每一測(cè)量值都更接近真值，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 表示在 范圍內(nèi)包含真值X的概率為68.3%。物理實(shí)驗(yàn)中，將用 作為測(cè)量結(jié)果隨機(jī)誤差的估計(jì)值。72-2 測(cè)量不確定度簡(jiǎn)介 測(cè)量不但要得到被測(cè)量的最佳估計(jì)值，而且要對(duì)其可靠性作出評(píng)價(jià)。 不確定度是與測(cè)量結(jié)果聯(lián)系在一起的一種參數(shù)，用來(lái)表示因測(cè)量誤差的存在而對(duì)測(cè)量結(jié)果不能肯定的程度。 不確定度是指被測(cè)物理量的真值以一定的概率落在某一量值范圍的綜合誤差指標(biāo)。 誤差與不確定度的區(qū)別： 誤差測(cè)量值與真值之差。 估算

5、的標(biāo)準(zhǔn)偏差并不能表示測(cè)量結(jié)果的誤差，只是表示測(cè)量結(jié)果的不確定性。 不確定度是可觀(guān)測(cè)量，誤差是不可觀(guān)測(cè)量。8一. 測(cè)量不確定度的分類(lèi) 測(cè)量不確定度按評(píng)定方法的不同分為兩大類(lèi)1. 不確定度A類(lèi)分量uA 凡可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算得出的不確定度稱(chēng)為A類(lèi)不確定度，用uA表示。 約定：物理實(shí)驗(yàn)中，A類(lèi)不確定度取測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即2. 不確定度B類(lèi)分量uB 凡不能用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算，只能通過(guò)其他方法估算的不確定度稱(chēng)為B類(lèi)不確定度，用uB表示。約定：B類(lèi)不確定度是將測(cè)量?jī)x器的誤差限（可能的最大誤差） 折合成等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。即9 例如，0.5級(jí)mA表的量程為10mA時(shí)，儀器的誤差限為 未注明儀器誤差限或誤差限

6、不清楚，則按如下規(guī)定： 能連續(xù)讀數(shù)，取最小分度的一半作為儀器的誤差限，如米尺、螺旋測(cè)微計(jì)、讀數(shù)顯微鏡等； 不能連續(xù)讀數(shù)或指針跳躍式移動(dòng)的儀器，其最小分度為儀器誤差限，如機(jī)械秒表、數(shù)字儀表等。 儀器的誤差限一般通過(guò)兩種方式注明： 儀器上直接標(biāo)出或用準(zhǔn)確度表示。如50分度的游標(biāo)卡尺的分度值為0.02mm，其 ； 給出儀器的準(zhǔn)確度級(jí)別，然后算出 。如常用電學(xué)指針式儀表所用量程為A，準(zhǔn)確度等級(jí)為K，則10儀器備注 米尺（最小刻度1mm）0.5mm 游標(biāo)卡尺（20，50分度）最小分度值（0.05mm;0.02mm） 螺旋測(cè)微計(jì)（0-50mm）0.004mm物理天平（0.1 g ）0.05g各類(lèi)數(shù)字儀表儀

7、器最小讀數(shù)分光計(jì)最小分度值（ ）磁電儀表（指針式）AK%A-量程，K-等級(jí)表2-1 儀器誤差限11二. 合成不確定度與相對(duì)不確定度 不確定度的合成誤差的方法是“方和根”合成法。 若兩類(lèi)不確定度分量uA1, uA2, uAi, uB1, uB2 , uBi彼此獨(dú)立，則合成不確定度相對(duì)不確定度 12三. 直接測(cè)量的不確定度1. 單次測(cè)量的不確定度A類(lèi)分量uA 單次測(cè)量的合成不確定度即不確定度B類(lèi)分量2. 多次測(cè)量的不確定度 多次等精度測(cè)量列平均值的合成不確定度由不確定度A類(lèi)分量uA和不確定度B類(lèi)分量uB的方和根給出，即式中13 例2-1（P.13）用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)小球直徑，5次測(cè)量值為5.499，5

8、.500，5.499，5.498，5.498 (mm) ，求其合成不確定度。解：小球直徑測(cè)量列的算術(shù)平均值A(chǔ)類(lèi)分量B類(lèi)分量合成取不確定度結(jié)果14三. 間接測(cè)量的不確定度 間接被測(cè)量的算術(shù)平均值與合成不確定度由直接測(cè)量結(jié)果通過(guò)函數(shù)式計(jì)算給出。設(shè)間接被測(cè)量的函數(shù)式為其中則N的算術(shù)平均值 間接被測(cè)量N的算術(shù)平均值的不確定度 間接被測(cè)量N的算術(shù)平均值的相對(duì)不確定度15 若間接被測(cè)量的函數(shù)式以和差運(yùn)算為主，則先計(jì)算 若間接被測(cè)量的函數(shù)式以乘除運(yùn)算為主，則先計(jì)算，后計(jì)算 比較方便；，后計(jì)算 比較方便。求 可用下列算式：則間接被測(cè)量N的算術(shù)平均值的不確定度16如：1. 為和差關(guān)系 其中解：則17如：2. 為

9、乘除關(guān)系解：對(duì) 兩邊取對(duì)數(shù)，得其中則18 例2-2 (P.14) 用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)圓柱體的體積，其直徑的算術(shù)平均值 ，其不確定度 ； 高度的算術(shù)平均值 ，不確定度 。 求體積的不確定度（單位：cm）。解：函數(shù)關(guān)系為 ，則有19代入數(shù)據(jù)得取不確定度結(jié)果20函數(shù)式不確定度傳遞公式表2-2 常用函數(shù)的不確定度傳遞公式212-3 有效數(shù)字運(yùn)算及其運(yùn)算法則 用檢測(cè)儀器直接測(cè)量的數(shù)值都會(huì)有一定誤差，由這些數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算獲得的間接測(cè)量值也不是準(zhǔn)確值。 為正確記錄實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，反應(yīng)真實(shí)的準(zhǔn)確程度，了解誤差的傳遞規(guī)律，確定適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)記錄和計(jì)算規(guī)則是必要的。 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則，給出了測(cè)量與計(jì)算數(shù)據(jù)的

10、正確方法，也給出了反應(yīng)測(cè)量與計(jì)算結(jié)果精確程度的科學(xué)表述方法。22一. 有效數(shù)字的基本概念 有效數(shù)字：物理量值中的全部可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成該量值的有效數(shù)字。 按有效數(shù)字規(guī)則，測(cè)量值只保留一位可疑數(shù)字。 例如：用米尺（最小刻度為mm）量得粉筆長(zhǎng)度“7”和“2”是最小刻度以上的讀數(shù)，是可靠 (準(zhǔn)確) 數(shù)字；“5”是最小刻度以下估讀的數(shù)字，是可疑 (欠準(zhǔn)確) 數(shù)字。 盡管可疑數(shù)字并不準(zhǔn)確，但它在一定程度上反映了物理量大小和精確程度，是有意義的，是有效的。 不能估讀的儀器，則末位為可疑數(shù)字。如秒表、數(shù)字儀表、卡尺等。23例如： 例如：50.20cm是4位有效數(shù)字。它與50.2cm是不相等的，因?yàn)樗?/p>

11、們有效數(shù)字不等，精度不等。 有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)及單位換算無(wú)關(guān)。都是3位有效數(shù)字。 50.2cm是用最小刻度為cm的尺測(cè)量的。 例如：粉筆的長(zhǎng)度 L = 0.0725m（SI單位）。仍是3位有效數(shù)字，左邊的“0”只起到定位的作用。 量值中間的“0”和右邊的“0”是有效數(shù)字。 按有效數(shù)字規(guī)則，量值左邊的“0”不是有效數(shù)字。24二. 有效數(shù)字尾數(shù)取舍規(guī)則 擬舍去數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時(shí)，法則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。 例如：4.83499mm 保留3位有效數(shù)字時(shí)為4.83mm； 擬舍去數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5時(shí)；或者是5，而其后跟有并非全0的數(shù)字時(shí)，則進(jìn)1，即保留的末位數(shù)字加1。 擬舍去數(shù)字

12、的最左一位數(shù)字為5；而右邊無(wú)數(shù)字或皆為0時(shí)，若所保留的末位數(shù)為奇數(shù)，則進(jìn)1，為偶數(shù)，則舍棄。 例如：6.745001mm保留3位有效數(shù)字時(shí)為6.75mm。 例如：6.73500mm保留3位有效數(shù)字時(shí)為6.74mm。 例如：6.70500mm保留3位有效數(shù)字時(shí)為6.70mm。 不確定度的位數(shù)取舍按“進(jìn)一法”，即非0則進(jìn)1。25三. 有效數(shù)字的運(yùn)算法則 用實(shí)驗(yàn)儀器間接測(cè)量的數(shù)據(jù)存在誤差，用這些數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算所得的間接測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差一定不會(huì)變小。 因此，有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則對(duì)間接測(cè)量數(shù)據(jù)的精度至關(guān)重要。 有效數(shù)字運(yùn)算的結(jié)果且保留最后一位可疑數(shù)； 可疑數(shù)字與可疑數(shù)字運(yùn)算后為可疑數(shù)字，但進(jìn)位數(shù)為可靠數(shù)； 可

13、疑數(shù)字與可靠數(shù)字運(yùn)算后為可疑數(shù)字； 可靠數(shù)字與可靠數(shù)字運(yùn)算后為可靠數(shù)字；有效數(shù)字運(yùn)算的約定原則：26例如：1. 加減法 加減時(shí)，結(jié)果的有效數(shù)字按各數(shù)中最大可疑數(shù)位保留一位可疑數(shù)字（式中紅色數(shù)字，下同）。例如：2. 乘法例如： 兩個(gè)量乘積的有效數(shù)字一般與兩因子中有效數(shù)字較少的相同。 如果它們的最高位或等于10，積的有效數(shù)字比兩因子中較少的多取一位。273. 除法 兩個(gè)量相除，如果被除數(shù)的有效數(shù)字多于除數(shù)，則商的有效數(shù)字位數(shù)與除數(shù)相同。 如果被除數(shù)的有效數(shù)字不多于除數(shù)，且最高位小于除數(shù)的最高位，則商的有效數(shù)字比被除數(shù)少一位。 如果被除數(shù)的有效數(shù)字不多于除數(shù)，但最高位不小于除數(shù)的最高位，則商的有效數(shù)

14、字與被除數(shù)相同。例如：例如：例如：4. 乘方與開(kāi)方 乘方按乘法規(guī)則。開(kāi)方結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)相同。例如：285. 函數(shù)運(yùn)算 對(duì)數(shù) 結(jié)果中小數(shù)點(diǎn)后面的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同。例如： 指數(shù) 冪的有效數(shù)字的位數(shù)與指數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同。例如：例如： 三角函數(shù) 角度精確到1 時(shí)，結(jié)果保留四位有效數(shù)字； 角度精確到1” 時(shí)，結(jié)果保留五位有效數(shù)字。 常數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)一般比測(cè)量值多保留一位。6. 常數(shù)的有效數(shù)字不影響運(yùn)算結(jié)果292-4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法 依據(jù)物理實(shí)驗(yàn)的具體內(nèi)容，包括實(shí)驗(yàn)所遵從的定理、定律或?qū)嶒?yàn)規(guī)律，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)的目的和要求等，選用適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理方法，是實(shí)驗(yàn)的重要

15、一步。 常用的數(shù)據(jù)處理方法包括：平均值法、逐差法、最小二乘法、列表法和作圖法等。一. 列表法 設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)谋砀?，把被測(cè)量和測(cè)量的數(shù)據(jù)一一對(duì)應(yīng)地排列在表格中，這就是最基本的列表法。 表格中還可以包括數(shù)據(jù)處理的中間結(jié)果等。 用表格整理的數(shù)據(jù)簡(jiǎn)潔明了，便于了解物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和測(cè)量值的變化情況，容易從排列的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)個(gè)別錯(cuò)誤。30 曲線(xiàn)是依據(jù)若干測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)描出的平滑曲線(xiàn)，則作圖法具有多次測(cè)量取其平均效果的作用。二. 作圖法 作圖法就是把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系擬合成直線(xiàn)或曲線(xiàn)，反映物理量間的變化規(guī)律或函數(shù)關(guān)系。 作圖法的基本作用：能簡(jiǎn)便地從曲線(xiàn)中求解結(jié)果。 作圖可有助發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量錯(cuò)誤，以

16、便剔除。 通過(guò)變量代換，將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用直線(xiàn)表示 。直線(xiàn)斜率截距31 將作圖的有關(guān)數(shù)據(jù)列成完整的表格。作圖基本規(guī)則： 作圖必須用坐標(biāo)紙，根據(jù)需要選擇坐標(biāo)紙 。 坐標(biāo)紙的大小原則是以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括全部實(shí)驗(yàn)點(diǎn)作為最低要求，即坐標(biāo)紙的最小分格與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最后一位準(zhǔn)確數(shù)字相當(dāng)。 標(biāo)出坐標(biāo)軸的名稱(chēng)和標(biāo)度，在坐標(biāo)軸上表明所代表物理量的名稱(chēng)（或符號(hào)）和單位。 在坐標(biāo)紙上用“”或“”標(biāo)出測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，并使各測(cè)量數(shù)據(jù)坐落在“”或“”的交叉點(diǎn)上。 用直尺或曲線(xiàn)板把數(shù)據(jù)點(diǎn)連成直線(xiàn)或光滑曲線(xiàn) ，應(yīng)使數(shù)據(jù)點(diǎn)較勻稱(chēng)地分布在曲線(xiàn)兩旁。32三. 逐差法 1. 逐差法的適用條件： 逐差法是一種求測(cè)量數(shù)據(jù)算術(shù)平

17、均值的方法。 將等間距測(cè)量的n(n為偶數(shù))個(gè)數(shù)據(jù) 和分成前后兩組2. 應(yīng)用方法yb0 + b1x + b2xyb0 + b1x + b2x + b3x 兩物理量x，y之間的關(guān)系可表達(dá)為多項(xiàng)式形式。例如： yb0 + b1x 變量 x 必須是等間距變化，且較因變量 y 有更高的測(cè)量準(zhǔn)確度。33然后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減得出逐差量則逐差量的算術(shù)平均值為即 例. 用受力拉伸法測(cè)彈簧的勁度系數(shù)k。已知彈性限度內(nèi)伸長(zhǎng)量x與拉力F 滿(mǎn)足F = kx關(guān)系?，F(xiàn)等間距的改變拉力 ，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下表：34表2-5 彈簧受力伸長(zhǎng)的測(cè)量數(shù)據(jù)次數(shù)拉力F(10-3N)伸長(zhǎng)x(10-2m)100.0021.5033.0244.505

18、6.0167.5079.00810.5035 驗(yàn)證 與 的線(xiàn)性關(guān)系1.51，1.49，1.50，1.50 (10-2m)?？膳袛喑?基本相等， 用逐差法求彈簧的勁度系數(shù)k 將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分成前組（x4, x3, x2, x1）和后組（x8, x7, x6, x5）, 對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減后求平均值，可得由于每隔1個(gè)數(shù)據(jù)的拉力為 ，則得 按 逐項(xiàng)相減分別得出1.50，1.52，1.48，與 為線(xiàn)性關(guān)系。362-5 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的表示 物理量的測(cè)量結(jié)果由三部分組成，即被測(cè)量的算術(shù)平均值、不確定度和單位。 測(cè)量結(jié)果的基本表示格式：一. 直接測(cè)量結(jié)果的表示1. 單次測(cè)量結(jié)果的表示格式被測(cè)量平均值的不確定度。式中：X測(cè)量結(jié)果，被測(cè)量的算術(shù)平均值，2. 多次測(cè)量結(jié)果的表示格式37二. 間接測(cè)量結(jié)果的表示 設(shè)被測(cè)量N與直接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系為測(cè)量結(jié)果的表示格式為則其算術(shù)平均值間接測(cè)量量平均值的不確定度函數(shù)為自變量乘除運(yùn)算式時(shí)，還可用38三. 測(cè)量結(jié)果中的有效數(shù)字 被測(cè)量的最后結(jié)果只保留一位可疑數(shù)字，而不確定度只