高中數(shù)學(xué)選修1-1配人教A版-課后習(xí)題3.4　生活中的優(yōu)化問題舉例

1、3.4生活中的優(yōu)化問題舉例課后篇鞏固提升1.表面積為16的球內(nèi)接一個(gè)正三棱柱,則此三棱柱體積的最大值為()A.4B.6C.8D.15解析根據(jù)球的表面積公式得4R2=16,R=2.設(shè)三棱柱底邊長為x,則底面等邊三角形外接圓的半徑為33x,故三棱柱的高為2R2-3x32=24-x23,所以三棱柱的體積為V(x)=34x224-x23=324x4-x63=-x6+12x42,令f(x)=-x6+12x4,由f(x)=-6x3(x-22)(x+22)=0,解得x=22,即函數(shù)在x=22時(shí)取得極大值也是最大值,此時(shí)V(22)=34824-83=8.答案C2.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款量

2、與存款利率成正比,比例系數(shù)為k(k0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x(0,0.048),要使銀行獲得最大收益,則存款利率為()A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036解析由題意,存款量g(x)=kx(k0),銀行應(yīng)支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).設(shè)銀行可獲得的收益為y,則y=0.048kx-kx2.于是y=0.048k-2kx,令y=0,解得x=0.024,依題意知y在x=0.024處取得最大值.故當(dāng)存款利率為0.024時(shí),銀行可獲得最大收益.答案B3.將一個(gè)邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長相等的

3、小正方形,做成一個(gè)無蓋方盒.若該方盒的體積為2,則a的最小值為()A.1B.2C.3D.4解析設(shè)截去的小正方形邊長為x,則無蓋方盒底邊是邊長為a-2x的正方形,高為x,所以其體積為V(x)=(a-2x)2x=4x3-4ax2+a2x,x0,a2,則V(x)=12x2-8ax+a2=(2x-a)(6x-a),x0,a2,當(dāng)0 x0,V(x)單調(diào)遞增,當(dāng)a6xa2時(shí),V(x)400,則總利潤P最大時(shí),每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A.100單位B.150單位C.200單位D.300單位解析由題意知,總成本為C=20 000+100 x.而總利潤為P=P(x)=R-C=300 x-12x2-20 000,0

4、x400,60 000-100 x,x400.P(x)=300-x,0 x400,-100,x400.令P(x)=0,得x=300,易知當(dāng)x=300時(shí),總利潤最大.答案D5.將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和,使其立方和最小,則這兩個(gè)數(shù)為()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不對解析設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0 x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.當(dāng)0 x4時(shí),y0;當(dāng)40,所以當(dāng)x=4時(shí),y取得極小值,也是最小值.答案B6.電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y=13x3-392x2-40 x(

5、x0),為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為.解析y=x2-39x-40=(x-40)(x+1),令y=0得x=40,且當(dāng)0 x40時(shí),y40時(shí),y0,所以當(dāng)x=40時(shí),y取最小值,即速度為40時(shí),耗電量最小.答案407.已知一個(gè)母線長33米的圓錐形容器,則當(dāng)該容器的容積最大時(shí),其高為米.解析設(shè)圓錐形容器的高為h米,半徑為r米,由勾股定理可得h2+r2=27,所以r2=27-h2,其中0h33,圓錐形容器的體積為V=13r2h=13(27-h2)h=13(27h-h3),則V=(9-h2),令V=0,可得h=3(負(fù)值舍去).當(dāng)0h0;當(dāng)3h33時(shí),V0,所以,當(dāng)h=3時(shí),圓錐形容器的體積V取得最大值

6、.答案38.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站千米處.解析依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1=k1x,每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離.于是有2=k110,得k1=20;8=10k2,得k2=45.因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y=20 x+4x5,y=-20 x2+45.令y=-20 x2+45=0,得x=5,故當(dāng)倉庫建在離車站5千米時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.答案59.近年來,網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大

7、學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢.假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,其中2x6,m為常數(shù).已知當(dāng)銷售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套.(1)求m的值;(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù)).解(1)因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí),y=21,代入關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知套題每日的銷售量y=10 x-2+4(x-6)2,所以每日銷售套題所獲

8、得的利潤f(x)=(x-2)10 x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6),從而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在103,6內(nèi),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以x=103是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=1033.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.10.如圖,有一塊半圓形的空地,政府計(jì)劃在空地上建一個(gè)矩形的市民活動(dòng)廣場ABCD及矩形的停車場EFGH,剩余的地方進(jìn)行綠化,其中半

9、圓的圓心為O,半徑為r,矩形的一邊AB在直徑上,點(diǎn)C,D,G,H在圓周上,E,F在邊CD上,且BOG=60,設(shè)BOC=.(1)記市民活動(dòng)廣場及停車場的占地總面積為f(),求f()的表達(dá)式;(2)當(dāng)cos 為何值時(shí),可使市民活動(dòng)廣場及停車場的占地總面積最大.解(1)如圖,過點(diǎn)G作GMAB于點(diǎn)M,連接OH.BOG=60,GM=OGsin 60=32r.又BOC=,BC=rsin ,OB=rcos ,GF=GM-BC=32r-rsin ,由對稱性知AB=2OB=2rcos ,HOA=GOB=60.HOG=60,則OHG為等邊三角形,GH=OG=r.S矩形ABCD=ABBC=(2rcos )rsin =2r2sin cos .S矩形EFGH=GHGF=r32r-rsin =32r2-r2sin .f()=S矩形ABCD+S矩形EFGH=2r2sin cos +32r2-r2sin 03.(2)由(1)得f()=r22sin cos -sin +32,f()=r2(2cos2-2sin2-cos )=r2(4cos2-cos -2).令f()=0,則4cos2-cos -2=