專題04 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題-2018中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸試題分類精析

1、專題4二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題一、解決此類題目的基本步驟與思路先分類，（按照邊和對(duì)角線進(jìn)行分類）畫圖，（畫出大致的平行四邊形的樣子，抓住目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)）計(jì)算（利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)）二、針對(duì)于計(jì)算的方法選擇全等三角形抓住對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角的相等在利用點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行長(zhǎng)度的表示時(shí)要利用兩點(diǎn)間距離公式平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊相等列相關(guān)的等式利用平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)從而找出四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系XA+XC=XB+XDYa+YC=Yb+YD（利用P是中點(diǎn)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式）xl+x2yl+y2A（X,y）、B（x2，y2）,那么AB中點(diǎn)坐標(biāo)就是（,2）注意事項(xiàng)：1簡(jiǎn)單的直角三角形可以直接利用底乘

2、高進(jìn)行面積的表示2復(fù)雜的利用“補(bǔ)”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時(shí)，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線。4.利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度時(shí)注意要用大的減去小的。二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題（一）例題演示已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線尸-再藍(lán)+&與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B,將ZOBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D,在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；【解析】（1

3、）點(diǎn)A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為0得橫坐標(biāo)為8,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0）；點(diǎn)B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為0，解得縱坐標(biāo)為6，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）；由題意得：BC是ZABO的角平分線，所以O(shè)C=CH,BH=OB=6。.AB=10,AH=4，設(shè)OC=x，則AC=8-x,由勾股定理得：x=3,：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）將此三點(diǎn)代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；（2）求得直線BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等，對(duì)邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得；解答：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）.（1分）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（8,0）,B（0,6）,可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-

4、8）.將x=0,y=6代入拋物線的解析式，得且=寺.過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為產(chǎn)片/一普m+6（2）可得拋物線的對(duì)稱軸為直線弓，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（號(hào)，-彳!）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G.直線BC的解析式為y=-2x+6.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,-2x+6）.解法一：如圖，作OPAD交直線BC于點(diǎn)P,連接AP,作PM丄x軸于點(diǎn)M.7op#ad，azpom=zgad，tanZPOM=tanZGAD.AS=，即-2x+6解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（學(xué)，但此時(shí)0M斗，GA=|,OMVGA.T0P二rsIpom，怔二ZPOM=ZGAD,AOP|+6二1尹晉，點(diǎn)P不在直線BC上.直線B

5、C上不存在符合條件的點(diǎn)P.【試題精煉】如圖，已知拋物線y=-X2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N.其頂點(diǎn)為D.拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFBD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；21【解析】：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用。利用待定系數(shù)法，以及點(diǎn)A(-1,O),C(2,3)即可求得二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)的E上方，則F(x,x+3),根據(jù)題意可求得E的坐標(biāo)

6、；點(diǎn)E在線段AC(或)延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x-l),然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)。解答：(1)由題意可知，點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別代入拋物線解析式解得b=2，c=3.又因?yàn)锳,C在直線上，設(shè)y=kx+b，解得k=1，n=1所以直線解析式為y=x+1(2)由(1)、(2)得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同，且點(diǎn)B在直線AC上，將其代入y=x+1，可得y=2。故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),因?yàn)辄c(diǎn)E在直線AC上，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,x+1)。如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x+3),因?yàn)辄c(diǎn)F在拋物線

7、上，所以x+3=-x2+2x+3,解得x=0或x=1(舍去)，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x-1),點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方，因?yàn)镕在拋物線上，所以TOC o 1-5 h z1-171+17x-1=-x2+2x+3,解得x=或x=2, HYPERLINK l bookmark22 1-173-171+/173+17所以綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1)或者(2,2),(22)【中考鏈接】如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A(l,0)和B(5,0)的拋物線l的頂點(diǎn)為C(3,4),拋物線l與l關(guān)于x軸121對(duì)稱，頂點(diǎn)為C.求拋物線l的函數(shù)關(guān)系式；2已知原點(diǎn)O,定點(diǎn)D

8、(0,4),l上的點(diǎn)P與l上的點(diǎn)P始終關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn)D,O,P,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?【解析】(“利用直線1的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出鼻的值：過點(diǎn)M作ME丄y軸于點(diǎn)E,交怔于點(diǎn)D,所以AABM的面積為yDN-OB,設(shè)M的坐標(biāo)為(叫-m2+2m+3),用含m的式子表示DM；然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可求出S的最犬值，其中m的取值范圍是0m3j解答：(1)由題意知點(diǎn)c的坐標(biāo)為(3,-4).設(shè)l的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-3)2-42又.點(diǎn)A(l,0)在拋物線y=a(x-3)2-4上，.(I3)2a-4=0，解得a=1拋物線1的函

9、數(shù)關(guān)系式為y=(x3)2-4(或y=x2-6x+5).2(2)P與P始終關(guān)于x軸對(duì)稱，PP與y軸平行.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則其縱坐標(biāo)為m26m+5,OD=4，:2m26m+5=4，即m26m+5=2.當(dāng)m2-6m+5=2時(shí)，解得m=3.當(dāng)m2-6m+5=-2時(shí)，解得m=3J2.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(3-、：62)或(3+、；62)或(3-、2,-2)或(3+.2-2)時(shí)，PP絲OD，以點(diǎn)D,O,P,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【鞏固練習(xí)】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，

10、翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點(diǎn)C，連接AC,BC.(1)求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;點(diǎn)P為曲線M或曲線N上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【解析】：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用、和平行四邊形。由已知拋物線可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得曲線N所在拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而再利用頂點(diǎn)式可求得曲線N的解析式。過點(diǎn)C作直線lx軸，交曲線M或N于點(diǎn)P,所以l：y=3,考慮兩種情況：點(diǎn)P位于曲線M上和點(diǎn)P位于曲線N上，分別聯(lián)立曲線M和直線l的方程或曲線N和直線l的方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。解答：因?yàn)榭苫癁槭?k-1)所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),H口向上，所以.曲線N所在拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4,幵口向下，故曲線N所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-1)即y=-K2+2K+3o(2)過點(diǎn)C作直線lx軸，交曲線M或N于點(diǎn)P,所以l：y=3o當(dāng)點(diǎn)P位于曲線M上時(shí)，由x2-2x-3=3,解得xJ+i，x2=-JJ1,所以CP=/+1，或CP-1因?yàn)橐渣c(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以CPBQ且CP=BQ,所以Q(4+,0),Q(4-,0),Q(2+。,0),Q(4*,0)