2021年上海中考數(shù)學(xué)母題講次13 動(dòng)態(tài)幾何題-(教師版)

1、專題13動(dòng)態(tài)幾何題（【母題來源1】2019上海中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)將ABE沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，那么EDF的正切值是【答案】由折疊可得AEFEeqoac(,，)AEBFEB，由折疊的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到AEBEDF，進(jìn)而得到tanEDFtanAEB2【解析】解：如圖所示，由折疊可得AEFEeqoac(,，)AEBFEB正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，AEF，AEDEADAB，DEFE，EDFEFD，又AEF是DEF的外角，AEFEDF+EFD，EDFAEF，AEBEDF，tanEDFtanAEB故答案為：22（【母題來源2】20

2、17上海中考真題）一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)C與F重合，邊CA與邊FE疊合，頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上）將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n后（0n180），如果EFAB，那么n的值是【答案】分兩種情形討論，分別畫出圖形求解即可【解析】解：eqoac(,如圖)1中，EFAB時(shí)，ACEeqoac(,)A45，旋轉(zhuǎn)角n45時(shí)，EFAB如圖2中，EFAB時(shí)，ACE+A180，ACE135旋轉(zhuǎn)角n360135225，0n180，此種情形不合題意，故答案為45（【母題來源3】2016上海中考真題）如圖所示，梯形ABCD中，ABDCeqoac(,，)B90，AD15，AB16，BC12，點(diǎn)E是邊

3、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，射線ED和射線AF交于點(diǎn)G，且AGEDAB（1）求線段CD的長；（2）如果AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；（3）如果點(diǎn)F在邊CD上（不與點(diǎn)C、D重合），設(shè)AEx，DFy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍（【答案】1）作DHAB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DHBC12，CDBH，再利用勾股定理計(jì)算出AH，從而得到BH和CD的長；（2）分類討論：當(dāng)EAEG時(shí)，則AGEGAE，則判斷G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即EDEA，作EMAD于M，如圖1，則AMAD，通過證明RtAMERtAHD，利用相似比可計(jì)算出此時(shí)的AE長；當(dāng)GAGE時(shí)，則A

4、GEAEG，可證明AEAD15，（3）作DHAB于H，如圖2，則AH9，HE|x9|，先利用勾股定理表示出DE，再證明EAGEDA，則利用相似比可表示出EG于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系【解析】解：（1）作DHAB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，DHBC12，CDBH，則可表示出DG，然后證明DGFEGA，在RtADH中，AH9，BHABAH1697，CD7；（2）EAEG時(shí)，則AGEGAE，AGEDAB，GAEDAB，G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即EDEA，作EMAD于M，如圖1，則AMMAEHAD，RtAMERtAHD，AE：ADAM：AH，即AE：15AD，：9，解得AE；GAGE時(shí)，則

5、GAEAEG，AGEDAB，而AGEeqoac(,)ADG+DAGeqoac(,，)DABGAE+DAG，GAEADG，AEGADG，AEAD15綜上所述，AEC是以EG為腰的等腰三角形時(shí)，線段AE的長為（3）作DHAB于H，如圖2，則AH9，HE|x9|，在RtHDE中，DE，AGEDAB，AEGeqoac(,)DEA，EAGEDA，EG：AEAE：ED，即EG：xx：，EG，或15；DGDEEG，DFAE，DGFEGA，DF：AEDG：EG，即y：x（）：，y（9x）1、抓住圖形運(yùn)動(dòng)后角度和長度等性質(zhì)的特點(diǎn)；2、尋找?guī)缀文Ｐ屯黄泣c(diǎn)；3、主要有以下幾點(diǎn)思路：數(shù)量關(guān)系突破：1、勾股定理（比較初

6、級(jí)，實(shí)用）；2、銳角三角比；3、相似；角度關(guān)系突破：平行，全等，相似，其他幾何性質(zhì)；4、分類討論多種情況（可以以某一種情況切入），記得驗(yàn)證是否均滿足題意，有些需要舍去；5、綜合分析法，從已知和結(jié)果同時(shí)出發(fā)往中間靠（也就是尋找第3點(diǎn)的突破點(diǎn)）。一、填空題1（2021上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，eqoac(,；)=有下列結(jié)論：EBG=45eqoac(,；)DEFABGeqoac(,S)ABG1.5SFGHeqoac(,；)AG+DF

7、=FG；其中正確的是_（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，可知EBFGBH45，DF的長度利用勾股定理可求出AG、GF、GH、HF的長度，結(jié)合題意逐個(gè)判斷即可：根據(jù)題意可知EBCEBF，GBAGBH，EBCEBFGBAGBH90，EBFGBH45，即EBG45故正確；：EFDAFB90，ABFAFB90，EFDABF，ABFDFE，ABAF，DFDEeqoac(,)DEAFBF2AB2102628，AF84DFAB63設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4又在RtGHF中，GH2HF2GF2，x242(8x)2eqoac(,)AB解得

8、x=3，即AG=3，62AG3ABDEAGDF故DEFeqoac(,和)ABG不相似故錯(cuò)誤；：由得GH=3，ABG1S1ABAG639，S22GFH11GHHF34622SABG:SGFH9:61.5故正確：DF=10-8=2eqoac(,，由)可知AG+DF=3+2=5，GF=8-3=5AG+DF=GF故正確故答案為【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理來解題本題利用勾股定理計(jì)算出AG的長度是解題的關(guān)鍵（22021上海徐匯區(qū)九年級(jí)一模）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE/BC，將ADEFDE重合，DF、EF分別與邊BC交于點(diǎn)M、N，如果D

9、E8，AD沿直線DE翻折后與2，AB3那么MN的長是_【答案】4【解析】設(shè)AB3a，從而可得AD2a,BDa，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ADEB,EDMBMD，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得ADEEDM,DFAD2a，從而可得BBMD，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得DMBDa，從而可得FMa，最后根據(jù)三角形的中位線定理即可得設(shè)AB3a，則AD2a,BDABADa，DE/BC，ADEB,EDMBMD，由翻折的性質(zhì)得：ADEEDM,DFAD2a，BBMD，DMBDa，F(xiàn)MDFDMaDM，即點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，又DE/BC，MN是FDE的中位線，DEMN1184，22故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)、等腰三角

10、形的判定、三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵（32021上海長寧區(qū)九年級(jí)一模）如圖，矩形ABCD沿對(duì)角線BD翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處聯(lián)結(jié)CE交邊AD于點(diǎn)F如果DF1，BC4，那么AE的長等于_【答案】655【解析】由折疊的性質(zhì)可得RtBCDRtBED，由矩形的性質(zhì)可證明RtDABRtBCD，故可得RtDABRtBED，再證明RtBCDRtCDF求得CD=2，在RtAEF中由勾股定理可得解解：四邊形ABCD是矩形，BED是由BCD翻折得到，RtBCDRtBED，CEBD，ADBC4，ABCDED，四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，又BD=DBRtDABRtBCDR

11、tDABRtBEDABED，ABDEDB四邊形ABDE是等腰梯形，CEBD，AE/BDCEAEeqoac(,，)EADADBDBCDBCFCB90,FBCFCD90DBCFCDRtBCDRtCDFFDCD1CD，即CDBCCD4CD2或-2（舍去）在RtDCB中，tanDBCEADDBCCD21，BC421tanEAD2在RtAEF中，EF12AE由勾股定理得，AE2AF2EF2即AE2(ADFD)2(12AE)2AE2(41)214AE2解得：AE655故答案為：655【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形，勾股定理的運(yùn)用以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形

12、狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等4（2021上海九年級(jí)一模）如果四邊形邊上的點(diǎn)，它與對(duì)邊兩個(gè)端點(diǎn)的連線將這個(gè)四邊形分成的三個(gè)三角形都相似，我們就把這個(gè)點(diǎn)叫做該四邊形的“強(qiáng)相似點(diǎn)”如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)Q在邊AD上，如果QAB、QBC和QDC都相似，那么點(diǎn)Q就是四邊形ABCD的“強(qiáng)相似點(diǎn)”；如圖2，在四邊形ABCD中，ADBC，ABDC2，BC8，B60，如果點(diǎn)Q是邊AD上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，那么AQ_“強(qiáng)相似點(diǎn)”的定義可得ABQDQC，則由相似三角形的性質(zhì)可得AQ【答案】35或35【解析】過點(diǎn)A作AECD，交BC于點(diǎn)E，可證四邊形ADCE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD的

13、長，利用DC，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系建ABDQ立關(guān)于AQ的方程，求解后即可求出AQ的長解：如圖，過點(diǎn)A作AECD，交BC于點(diǎn)E，在四邊形ABCD中，ADBC，ABDC2，四邊形ADCE是平行四邊形，AECDAB2，ADCEB60，ABE是等邊三角形BEAEAB2ADBCBE6點(diǎn)Q是邊AD上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，ABQDQCAQDCABDQ即x設(shè)AQx，則DQ6x，226x解得x135，x235故答案為：35或35【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵（52021上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ABC

14、D中，點(diǎn)E在邊BC上，將ABE沿直線AE翻折得到AFE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在線段DE上，線段AF的延長線交邊CD于點(diǎn)G，如果BE:EC3:2，那么AF:FG的值等于_【答案】214ADFG2【解析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：BEAFEA，BEFE，ABEAFE，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合BE:EC3:2，設(shè)BE3k,則EC2k，證明BCADDE5k，再證明ADGDFG，可得：ADDGAG5k525，求解：FGDG,AGDG，從而可得答案解：ABEAFEDFFGDG2k252BEAFEA，BEFE，ABEAFE，ABCDAD/BC，ADBC，BADC，BEADAEFEAADDEBE:EC3:2設(shè)BE

15、3k,則EC2k，BCADDE5k，DF2k，DFGAFE，DFGADG，DGFAGD，ADGDFG，DGAG5k5，DFFGDG2k25DG,AGDG，52AG25，F(xiàn)G4AGFG254，F(xiàn)G4AF21，F(xiàn)G4故答案為：214.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵6（2021上海九年級(jí)專題練習(xí)）在ABC中，AB42，B45，C60點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，連結(jié)DE，沿直線DE將ADE折疊得到ADE連接AA，當(dāng)AEAC時(shí)，則求出AC的長,eqoac(,證明)ADEeqoac(,推出)ACB,AE線段A

16、A的長為_【答案】26【解析】AD，由此求出AE即可解決問題解：過點(diǎn)A作AMBC,在ABACRtABM中，AM=ABsin45=42AC=AMsin60=833AEAC，AEA=90,ADEADEAED=AED=45,AED=B,DAE=CAB,ADEACB,AEAD，ABAC22=4AE2242833AE23AA=2AE26【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題,考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換,全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題7（2021上海楊浦區(qū)九年級(jí)一模）新定義：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形.如圖，已知在對(duì)余四邊形ABCD中，AB

17、10，BC12，CD5，tanB34，那么邊AD的長為_【答案】9【解析】連接AC，作AEBC交BC于E點(diǎn)，由tanB34，AB10可得AE=6BE=8，并求出AC的長，作CFADtanBAE交AD于F點(diǎn)，可證BDCF，最后求得AF和DF的長，可解出最終結(jié)果解：如圖，連接AC，作AEBC交BC于E點(diǎn)，tanB3，AB10，43，設(shè)AE=3x，BE=4x，BE4AE2BE2AB2，則3x24x225x2100，解得x=2，則AE=6，BE=8，又BC12，CE=BC-BE=4，ACAE2CE2213，作CFAD交AD于F點(diǎn)，BD90，DDCF90，BDCF，tanB3DF=tanDCF=，4CF

18、又CD5，同理可得DF=3，CF=4，AFAC2CF26，AD=AF+DF=9故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合問題，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定難度，熟練掌握直角三角形和勾股定理知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意做出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵（82021上海寶山區(qū)九年級(jí)一模）在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，ACBC，點(diǎn)E、F分別是邊CA、CB的中點(diǎn)，已知點(diǎn)P在線段EF上，聯(lián)結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段DP，如果點(diǎn)P、D、C在同一直線上，那么tanCAP_【答案】【解析】21或21分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長AD交BC的延長線于H證明ADDC即可解決問題解：如

19、圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長AD交BC的延長線于HCEEA，CFFB，EFAB，ACABeqoac(,，)ACB90CEFeqoac(,)CAB45，PDPAeqoac(,，)APD90PADPDA45，HDCeqoac(,)PDA45，點(diǎn)E是邊CA的中點(diǎn)，EAEPECEPCeqoac(,)CEP，HDCeqoac(,)DCA+DAC45，CEFeqoac(,)DCA+EPC45，DACeqoac(,)EPCeqoac(,)ECP，DADC，設(shè)APa，則DADC2a,21aPCtanCAPPCPA21aa21如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，由可知，EFABeqoac(,，)CABeqoa

20、c(,)PDA45，CAD180eqoac(,-)ACD-45，COA180eqoac(,-)ACO-45CADeqoac(,)COA，EFAB，CPEeqoac(,)COA，CPEeqoac(,)CAD，點(diǎn)E是邊CA的中點(diǎn)，EAEPECECPeqoac(,)CPE，ECPeqoac(,)CAD，DADC，設(shè)APa，則PDa，DADC2a,21aPCtanCAPPCPA21aa21綜上所述，tanCAP的值是21或21【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9（2021上海奉賢區(qū)九年級(jí)一模）如圖

21、，在RtABC中，ACB90,AC3,BC4,CD是ABC的角平分線，將RtABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)C落在射線CD上，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接ED，那么AED的正切值為_【答案】37如圖，過點(diǎn)D作DGAC于G，可得DG/BC，即可證明AGDACB，可得AG【解析】AC3，由CD是角平DGBC4分線可得ACD=45，可得CG=DG，進(jìn)而可求出AG的長，根據(jù)勾股定理即可求出AD的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC，AE=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CCA=45，可得CAC=90，可得旋轉(zhuǎn)角為90，可得DAE=90，利用勾股定理可求出AB的長，根據(jù)正切的定義即可得答案如圖，過點(diǎn)D作DGAC于G，ACB=

22、90，DG/BC，AGDACB，可得CD是角平分線，ACD=45，CG=DG，AC=3，AC=AG+CG，AGAC3，DGBC437DG+CG=3，即DG=3，44解得：DG=127，eqoac(,)9AG=7，eqoac(,)AGAD=DG22=157，tanAEDAD將RtABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)C落在射線CD上，AC=AC，AE=AB，CCA=ACD=45，CAC=90，旋轉(zhuǎn)角為90，DAE=90，AC=3，BC=4，AB=5，AD3=AEAB7故答案為：37【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，正確得出旋轉(zhuǎn)角為90并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定義是解題關(guān)鍵10（2

23、020上海浦東新區(qū)九年級(jí)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、D，當(dāng)A落在邊CD的延長線上時(shí)，邊AD與邊AD的延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長度為_【答案】352【解析】由勾股定理可求AC=5，可得AD=AC-CD=2，由ECDACB，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出DE的長，再由ADFCDE求出DF的長，最后在RtDFC中由勾股定理即可求出DF.解：由旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等可知：AB=AB=3，BC=BC=4由勾股定理可知：AC=3242=5，AD=AC-CD=2，eqoac(,，)又ADC=B=90eqoac(,，且)ECD

24、=ACBECDACB，CDDE3DE，代入數(shù)據(jù)：，BCAB43DE=94，又AFCE，CED=AFD，且EDC=FDA，ADFCDE，代入數(shù)據(jù)：4，EDDCFDAD93DF2DF=32，在RtDFC中由勾股定理可知：335CF=DF2CD2()23222.故答案為：352.【點(diǎn)睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解決此題的關(guān)鍵.11（2020上海浦東新區(qū)九年級(jí)月考）定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線

25、，ABC=70，BDeqoac(,平分)ABC，那么ADC=_度【答案】145【解析】先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在ABD和DBC中，已知ABD=CBD，所以需另一組對(duì)應(yīng)角相等，若A=Ceqoac(,，則)ABDeqoac(,與)DBC全等不符合題意，所以必定有A=BDC,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360列式求解.解：根據(jù)題意畫出示意圖，已知ABD=CBD，ABDeqoac(,與)DBC相似，但不全等，A=BDCeqoac(,，)ADB=C.又A+ABC+C+ADC=360，2ADB+2BDC+ABC=360，ADB+BDC=145，即ADC=145.【點(diǎn)睛】對(duì)于新定義問題，讀懂題意是關(guān)

26、鍵.（122021上海九年級(jí)專題練習(xí)）在RtABC中，C90,AC2,BC4，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E，當(dāng)直線DE經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，線段CD的長為_【答案】25或655【解析】當(dāng)直線DE經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，有兩種情況，均用三點(diǎn)共線特征及勾股定理求出AE長為5或3，采用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證得CBDABE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解.解：在RtACB中，C90,AC2,BC4，由勾股定理得，AB=AC2BC2224225,D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn),DEeqoac(,是)ACB的中位線，BD=2，BE=5,DEAC，DE=12AC

27、1EDB=90,由旋轉(zhuǎn)可得，BD=2，DE=1，BE=5eqoac(,，)BDE=90,第一種情況，如圖1，點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)共線,ADB=90,由勾股定理得AD=AB2BD2252224，AE=AD+DE=5ABC=DBE,CBD=ABE,BCABBD2BE5,AE5CBDABE,CD2,CD255,CD=25第一種情況，如圖2，點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)共線,ADB=90,由勾股定理得AD=AB2BD2252224，AE=AD-DE=3ABC=DBE,CBD=ABE,BCABBD2BE5,CBDABE,CD2AE5CD235,5eqoac(,)6CD=5CD長為25或655.故答案為：25或655.【

28、點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有勾股定理，三點(diǎn)共線，相似三角形的判定和性質(zhì)，能正確畫出圖形很關(guān)鍵.13（2017上海徐匯區(qū)九年級(jí)二模）如圖，在ABC中，ACB（90180），將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2（090）后得AED，其中點(diǎn)E、D分別和點(diǎn)B、C對(duì)應(yīng)，聯(lián)結(jié)CD，如果CDED，請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于與的等量關(guān)系的式子_【答案】+180【解析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)與等腰三角形，做輔助線AFCD，由旋轉(zhuǎn)可得ADE=ACB=，再用含有字母，的式子表示出ADCeqoac(,與)DAF，利用三角形內(nèi)角和即可倒出，的關(guān)系如圖，過A作AFCD，邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)090得到AC，聯(lián)結(jié)BC當(dāng)90時(shí)，我

29、們稱ABC是由旋轉(zhuǎn)可得，ADEeqoac(,)ACB，CDDE，ADC90，由旋轉(zhuǎn)可得，ACADeqoac(,，)CAD2，DAF，RtADF中，DAF+ADF90，即+9090，+180故答案為：+180【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是做輔助線，用含有字母，的式子表示出ADCeqoac(,與)DAF（142018上海奉賢區(qū)九年級(jí)二模）如圖，將ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a090得到AB，ABC的“雙旋三角形”如果等邊ABC的邊長為a，那么它的“雙旋三角形”的面積是_（用含a的代數(shù)式表示）【答案】14a2.CDAB于D，根據(jù)30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出CD1ACa，然后根據(jù)SABCABCD即【

30、解析】首先根據(jù)等邊三角形、“雙旋三角形”的定義得出ABC是頂角為150的等腰三角形，其中AB=AC=a過C作11222可求解eqoac(,等邊)ABC的邊長為aeqoac(,，)AB=AC=aeqoac(,，)BAC=60將ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090）得到ABeqoac(,，)AB=AB=a，BAB=邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090）得到ACeqoac(,，)AC=AC=aeqoac(,，)CAC=，BAC=eqoac(,B)AB+BAC+CAC=+60+=60+90=150ACaeqoac(,，)SABCABCDaa如圖，過C作CDAB于D，則D=90eqoac(,，)DAC=

31、30eqoac(,，)CDa2111111222224故答案為：14a2【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等也考查了含30角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的面積15（2019上海徐匯區(qū)中考模擬）在梯形ABCD中，ABDCeqoac(,，)B90，BC6，CD2，tanA34點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAD交邊AB于點(diǎn)Feqoac(,將)BEF沿直線EF翻折得到GEF，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，BE的長為_【答案】6512【解析】.【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到Aeqoac(,)EFBeqoac(,，)GF

32、Eeqoac(,)AMF，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到GFEBFE，求得AAMF，得到AFFM，作DQAB于點(diǎn)Q，求得AQDeqoac(,)DQB90根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CDQB2，QDCB6，求得AQ1028，根據(jù)勾股定理得到AD64+3610，設(shè)EB3x，求得FB4x，CE63x，求得AFMF104x，GM8x10，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GD6x方程即可得到結(jié)論如圖，1515，求得DE3x，根據(jù)勾股定理列22EFAD，Aeqoac(,)EFBeqoac(,，)GFEeqoac(,)AMF，GFEeqoac(,與)BFE關(guān)于EF對(duì)稱，GFEBFE，GFEeqoac(,)BFE，Aeqoac(,)AM

33、F，AMF是等腰三角形，AFFM，作DQAB于點(diǎn)Q，AQDeqoac(,)DQB90ABDC，CDQ90B90，四邊形CDQB是矩形，CDQB2，QDCB6，AQ1028，在RtADQ中，由勾股定理得AD64+3610，tanA34，tanEFBBE3，BF4設(shè)EB3x，F(xiàn)B4x，CE63x，AFMF104x，GM8x10，Geqoac(,)Beqoac(,)DQA90，GMDeqoac(,)A，DGMDQA，DGGMDQAQ，GD6x152，DE1523x，在RtCED中，由勾股定理得（1523x）2（63x）24，解得：3x6512，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)BE6512故答案為：6512【點(diǎn)睛】本題

34、考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵16（2018上海青浦區(qū)中考模擬）已知，在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且CD:CE=34將CDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C落在線段DE上的點(diǎn)F處時(shí)，BF恰好是ABC的平分線，此時(shí)線段CD的長是_.【答案】6【解析】分析：設(shè)CD=3x，則CE=4x，BE=124x，依據(jù)EBF=EFB，可得EF=BE=124x，由旋轉(zhuǎn)可得DF=CD=3x，再根據(jù)RtDCE中，CD2+CE2=DE2，即可得到（3x）2+（4

35、x）2=（3x+124x）2，進(jìn)而得出CD=6，詳解：如圖所示，設(shè)CD=3x，則CE=4xBE=124xeqoac(,)CDCA3=eqoac(,，)DCE=ACB=90eqoac(,，)ACBDCE，CECB4DEC=ABCeqoac(,，)ABDEeqoac(,，)ABF=BFEeqoac(,又)BF平分ABCeqoac(,，)ABF=CBFeqoac(,，)EBF=EFB，EF=BE=124x，由旋轉(zhuǎn)可得DF=CD=3x在RtDCEeqoac(,中，)CD2+CE2=DE2eqoac(,，)（3x）2+（4x）2=（3x+124x）2，解得x1=2，x2=3（舍去），CD=23=6故答案

36、為6點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，17（2018上海徐匯區(qū)中考模擬）在ABCeqoac(,中，)C=90AC=3，BC=4（如圖），將ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得ADEeqoac(,（點(diǎn))C、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E），點(diǎn)D恰好落在直線BE上和直線AC交于點(diǎn)F，則線段AF的長為_【答案】757【解析】如圖，ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得ADE（點(diǎn)C、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E），eqoac(,，)AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AEeqoac(,，)ADF=C

37、=90BD=DE=4，設(shè)DF=x，AF=y，AFD=BFC，F(xiàn)DAFCB，xy3，3y4x44y=3x+12，4x=3y+9，4y=33y912，4y75，7即線段AF的長為故答案為75775718（2019上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)二模）如圖所示，邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為2的圓上，頂點(diǎn)C、D在該圓內(nèi)，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長為_【答案】23【解析】作輔助線，首先求出DAB的大小，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)的角度，利用弧長公式問題即可解決.如圖，分別連接OA、OB、OD、OC、OC；OA=OB=AB，OAB是等邊三角形，OAB=60；同

38、理可證：OAD=60，DAB=120；DAB=90，BAB=120-90=30，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知CAC=BAB=30；四邊形ABCD為正方形，且邊長為2，ABC=90，AC=222222，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長為：302218023故填：23點(diǎn)睛：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線準(zhǔn)確求出旋轉(zhuǎn)角，判定滾動(dòng)一周回到原位置時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑的軌跡.二、解答題19（2021上海浦東新區(qū)九年級(jí)一模）四邊形ABCD是菱形，B90，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，過點(diǎn)E作EFAE，EF與邊CD交于點(diǎn)F，且EC=3CF（1）如圖1eqoac(,，當(dāng))B=90時(shí)，求

39、S與S的比值；ABEECF（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求cosB的值；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)AF，當(dāng)AFE=B且CF=2時(shí)，求菱形的邊長【答案】（1）91；（2）；（3）17.45（1）先證明：BEACFE,可得：，結(jié)合：EC3CF,可得：AB3BE,再設(shè)CFa,BEb,可得ABBCb3a,而AB3b，建立方程：b3a3b,可得：ba,再利用相似三角形的性質(zhì)可得【解析】BEABCFCE32答案（2）延長AE,DC相交于G，過F作FHAD于H,連接AF，先證明：ABEGCE,可得：ABCG,AEGE,證明：AFFG，設(shè)CFa,再設(shè)DHx，利用AF2AH2FH2DF2DH2,求解x，可得co

40、sD,從而可得答案；（3）如圖，過E作EGDC交DC的延長線于G，延長CG至H,使CGHG,證明：EHEC6，設(shè)cocAFEEFcosH,再證明：FEHAFD,利用相似三角形的性質(zhì)列方程組，解方程組可得DFx,HGGCy,證明：AFEBDECHH,可得：yAF6答案解：（1）四邊形ABCD是菱形，B90，四邊形ABCD是正方形，BC90，BAEBEA90，EFAE,BEACEF90，BAECEF,BEACFE,BEAB，CFCEBECF,ABCEEC3CF,AB3BE,設(shè)CFa,BEb,CE3a,ABBCb3a,而AB3BE3b,b3a3b,3ba,2AB9a,22a.CE3a4SSABECE

41、FAB2992（2）延長AE,DC相交于G，過F作FHAD于H,連接AF，菱形ABCD，AB/CD,BAEG,E為BC的中點(diǎn)，BECE,AEBCEG,ABEGCEAAS,ABCG,AEGE,AEEF,AFFG,設(shè)CFa,則CEBE3a,ABBCDCCGAD6a，F(xiàn)GAF7a，DF5a,設(shè)DHx,AF2AH2FH2DF2DH2,cosDDHcocHHG7a26ax25a2x2,xa,DHa,a1,DF5a5由菱形ABCD可得：BD,1cosB.5（3）如圖，過E作EGDC交DC的延長線于G，延長CG至H,使CGHG,ECEH,HECH,CF2，CE3CF,CEEH6，設(shè)DFx,HGGCy,則DC

42、ADx2,y,EH6菱形ABCD，BD,AB/CD,BECH,AFEB,AFEBDECHH,cocAFEEFycosH,AF6AFHAFEEFHDDAF,EFHDAF,EH，xy10y12FEHAFD,HFEF,DFADAF62y2y,xx26xy36y2.4x15解得：,y2.4x15經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程組的解，CDx217,即菱形ABCD的邊長為：17.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，菱形，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解分式方程組，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵20（2021上海青浦區(qū)九年級(jí)一模）在ABC中，C90，AC2，B

43、C23，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)（如圖），點(diǎn)P、Q分別是射線BC、BA上的動(dòng)點(diǎn)，且BQ32BP，聯(lián)結(jié)PQ、QD、DP（1）求證：PQAB；（2）如果點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)PQD是直角三角形時(shí)，求BP的長；（3）將PQD沿直線QP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，如果點(diǎn)D位于范圍ABC內(nèi)，請(qǐng)直接寫出BP的取值【答案】（1）見解析；（2）3或【解析】（1）證明BPQBAC即可；1535165373；（3）BP33（2eqoac(,）由)PQD90，只需要討論兩類情況，當(dāng)DPQ90時(shí)，利用tanBAC23BC233，求出B=30，DPC30計(jì)算CPCDtan303CD3，根據(jù)BP=BC-CP求值；當(dāng)PDQ90時(shí)，過

44、Q作QEACQEEDeqoac(,?)交AC于Eeqoac(,，則)QED=PDQ=C90，證明EQDCDP，得到，CDCP13設(shè)BPt，過點(diǎn)Q作QFBC于F，則四邊形CEQF是矩形，求出QEFC23tt23t，CD1，44CP23t，DECECD3t1，代入比例式求出t的值；4（3）只需考慮BP的極限情況：當(dāng)D正好在BC上時(shí)，如圖3，設(shè)BP=m，由DDCB30求出CD3，DPDP，列得CPDPCPDP23m223m3計(jì)算求值即可；另外一個(gè)極限情況時(shí)，如圖4，當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，求出PC=ABC中，C90，AC2，BC23，ABBC2AC24，CD373，即可得到BP解：（1）在tan6023A

45、Beqoac(,)BC23342，2BP，BQ3BPeqoac(,)BQeqoac(,)BQBP32，BCAB，QBPCBA，BPQBAC，BQPBCA90，PQAB；（2）PQD90，所以只需要討論兩類情況，當(dāng)DPQ90時(shí)，如圖1，在RtABC中，tanBAC23BC233，QEB=30，QPB90B60，DPC30，AC2，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，CD=1，CPCD3CD3，tan30BPBCCP3；當(dāng)PDQ90時(shí)，如圖2，過Q作QEAC交AC于E，則QED=PDQ=C90，EQD+EDQ=EDQ+CDP=90，EQDCDP，ED，CDCP設(shè)BPt，過點(diǎn)Q作QFBC于F，則四邊形CEQF是矩形

46、，B=30eqoac(,，)BQP=90，PFPQcos601t，QFPQsin60t，QEFC23t1t23t，CD1，CP23t，DECECDt1，3，eqoac(,)1PQ=t，2QPB60，344334443t123t4423tt（舍去），6綜上，BP的長為3或153516；（3）只需考慮BP的極限情況：當(dāng)D正好在BC上時(shí)，如圖3，設(shè)BP=m，DDPQ，DDCB30，CD3，CDP30，又DPDP，CPDPCPDP23m223m3，m533；另外一個(gè)極限情況時(shí)，如圖4，當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，P60，DCP90，CD=1，eqoac(,)PC=CD3tan603，B

47、P733，綜上：5373BP33【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，熟記各定理是解題的關(guān)鍵（212021上海崇明區(qū)九年級(jí)一模）如圖，RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，EDAB，交邊BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PDQD36【答案】（1）證明見解析；（2）y25x0 x443（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的概念得出EQ（1）求證：ADPEDQ；（2）設(shè)APx，BQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（

48、3）連接PQ，交線段ED于點(diǎn)F，當(dāng)PDF為等腰三角形時(shí)，求線段AP的長325255（；3）或【解析】（1）根據(jù)EDAB，PDQD得ADEQ，ADPEDQ，即可得ADPEDQEDEDtanB，求出APADBDEQ3x，再根據(jù)BQBEEQ，列出函數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可4（3）先證PDFBDQ，再分3種情況討論，分別求出AP的長解：（1）PDQD，EDABADEQ，ADPEDQ，ADPEDQ（2）ADPEDQ，又EQEDAPAD點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，ADBD，EQEDEDAPADBD又在RtEDABBDE中tanB=EDEDEQ，BDADAP又tanB=ACDE6，由勾股定理得：BC=10BCBD8D為

49、AB中點(diǎn)，BD=5，DE=1525，由勾股定理得：BE=44y25x0 xAPx，可得EQ3x，4BQBEEQ，325443（3）tanFPDDQEDEDtanB，DPADBDFPDB，又PDFBDQ，PDFBDQ，PDF為等腰三角形時(shí)，BDQ亦為等腰三角形若DQBQ，1BD2cosB，BQ52253x4445，解得x256若BDBQ，253x5，44解得x53eqoac(,若)DQBD，BDQBBDQ2BBDQ180，此種情況舍去【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，正確和熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)得到各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵22（2020

50、上海虹口區(qū)九年級(jí)二模）如圖1，在梯形ABCDeqoac(,中，)ADBCeqoac(,，)ABC90，cosC6，以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作圓弧，分別交邊CD、BC于點(diǎn)E、F35，DC5，BC（1）求sinBDC的值；（2）聯(lián)結(jié)BE，設(shè)點(diǎn)G為射線DB上一動(dòng)點(diǎn)，如果ADG相似于BEC，求DG的長；）（3）如圖2，點(diǎn)P、Q分別為邊AD、BC上動(dòng)點(diǎn)，將扇形DBF沿著直線PQ折疊，折疊后的弧DF經(jīng)過點(diǎn)B與AB上的一點(diǎn)H（點(diǎn)D、F分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，F(xiàn)，設(shè)BHx，BQy，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫定義域）902425100 x2【答案】（1）；（2）；（3）y2511100 x2【解析】（1）如圖1中，

51、連接BE，過點(diǎn)D作DKBC于K，過點(diǎn)B作BJCD于J想辦法求出BJ，BD即可解決問題（2）分兩種情形分別求解：當(dāng)ADGBCEeqoac(,時(shí))eqoac(,當(dāng))ADGECB時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可（3）如圖3中，過點(diǎn)B作BJPQ交DF于J，連接BJ，JH，JQ，過點(diǎn)J作JGBH于G，過點(diǎn)Q作QKJH于K由題意BQQJy，求出QK，KJ，在RtQKJ中，利用勾股定理即可解決問題（1）如圖1中，連接BE，過點(diǎn)D作DKBC于K，過點(diǎn)B作BJCD于Jeqoac(,)在RtCDKeqoac(,中，)DKC90，CD5eqoac(,，)cosCCK3，CK3，CD5Seqoac(,)DCB1BC6，BKCK3，ADBCeqoac(,，)ABC90，A90DKBC，AABCeqoac(,)DKB90，四邊形ABKD是矩形，ADBK3，DBDC5，DKCD2CK252324，1BCDK