五章節(jié)彎曲應(yīng)力課件

1、第五章 彎曲應(yīng)力5-1 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖5-2 梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖5-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖5-4 梁橫截面上的正應(yīng)力 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件5-5 梁橫截面上的切應(yīng)力 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件5-6 梁的合理設(shè)計(jì)5-1 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖一、 彎曲的概念受力特點(diǎn)： 桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線 的橫向外力或外力偶作用。變形特點(diǎn)： 桿件的軸線由直線變?yōu)榍€。 梁：以彎曲為主要變形形式的構(gòu)件稱為梁。 梁的縱向?qū)ΨQ面：梁的橫截面豎向?qū)ΨQ軸與梁的軸線組成的平面?？v向?qū)ΨQ面ABFAFBF1F2FF（b）墻梁（a）樓板樓板傳動(dòng)軸二、工程實(shí)例非對(duì)稱彎曲： 若梁不

2、具有縱向?qū)ΨQ面，或者梁雖然具有縱向?qū)ΨQ面但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這種彎曲統(tǒng)稱為非對(duì)稱彎曲。 三、彎曲的分類平面彎曲： 當(dāng)外力作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時(shí)，梁發(fā)生彎曲變形后，軸線也將保持在此對(duì)稱平面內(nèi)，梁的軸線成為一條平面曲線，這種彎曲叫做對(duì)稱彎曲，也稱為平面彎曲。（本章只解決平面彎曲問(wèn)題）(1) 支座的基本形式第四章 彎曲應(yīng)力(a)固定鉸支座 FRy(c)固定端MFRyFRxFRyFRx(b)固定鉸支座 四、 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖懸臂梁(2) 梁的基本形式簡(jiǎn)支梁外伸梁靜定梁在豎直荷載作用下，所示梁的內(nèi)力和反力均可由靜力平衡方程求出。（圖a，b，c）(3) 靜定梁和超靜定梁超靜定梁內(nèi)力和反力不能完全由靜

3、力平衡方程確定。（圖d，e）第四章 彎曲應(yīng)力1）集中力。 作用在梁上某點(diǎn)的橫向力，常用單位為N或kN。2）集中力偶。 作用在梁軸線上某點(diǎn)處，且矩矢垂直于梁的縱向?qū)ΨQ平面（常用單位為Nm或kNm）。3）分布力。 沿梁長(zhǎng)度方向連續(xù)分布的橫向力。分布荷載的大小可用單位長(zhǎng)度上的荷載，即荷載集度q來(lái)表示，其常用單位為N/m或kN/m。第四章 彎曲應(yīng)力（4）梁的荷載MeFqq(x)5-2 梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖一、梁的剪力和彎矩FAlBFRAFRBxmm(a)FRAFSM(b)FRBFSMF(c)梁在豎向荷載作用下，其橫截面上的內(nèi)力可以通過(guò)截面法求出來(lái)。剪力FS：沿截面切線方向的內(nèi)力。單位為N或kN

4、彎矩M：梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩。單位是N.m或kN.m剪力、彎矩符號(hào)的規(guī)定FSFSFSFS(a)(b)MMMM(a)(b)1剪力符號(hào)規(guī)定 截面上的剪力如果有使考慮的脫離體有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)則為正，反之為負(fù)。2彎矩符號(hào)規(guī)定 截面上的彎矩如果使考慮的脫離體下側(cè)縱向纖維受拉為正，反之如果使考慮的脫離體上側(cè)縱向纖維受拉為負(fù)。二、內(nèi)力計(jì)算FAlBFRAFRBxmm(a)FRAFSM(b)FRBFSMF(c)梁在截面mm上內(nèi)力可由脫離體的平衡條件求得。根據(jù)左段梁的平衡條件，由平衡方程：可得 對(duì)截面mm的形心O取矩可得 例題51 試求圖a所示梁D截面上的剪力和彎矩。l/2l/2l/2FABC

5、D(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)FSDBDFRBMD(d)解：（1）求支反力FRC和FRB（圖b）。由平衡方程，解得（2）計(jì)算D截面上的剪力FSD和彎矩MD得 對(duì)截面mm的形心O取矩l/2l/2l/2FABCD(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)FSDBDFRBMD(d)得（上側(cè)纖維受拉） (1) 橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。第四章 彎曲應(yīng)力F1FSM(a)FSMF2(b)左端脫離體右端脫離體 2）截面左側(cè)梁段上順時(shí)針轉(zhuǎn)向

6、的外力偶引起正值的彎矩，而逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩，其正負(fù)與之相反。(2) 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和。 1） 不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。F1FSM(a)M1FSMF2(b)M2左端脫離體右端脫離體三、 列方程作內(nèi)力圖 剪力方程和彎矩方程實(shí)際上是表示梁的橫截面上剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力或彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。例題52 圖a所示的簡(jiǎn)支梁，在全梁上受集度為q的均布荷載作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。 (c) M圖q

7、l2/80.5lqxlBA(a)FRAFRB(b) FS圖ql/2ql/2解：（1）畫(huà)此梁的內(nèi)力圖，求支座反力。利用平衡方程求得 取距左端為x的任意橫截面左側(cè)的梁段，則梁的剪力和彎矩方程分別為（2）列內(nèi)力方程（3）最后由內(nèi)力方程作內(nèi)力圖。(c) M圖ql2/80.5lqxlBA(a)FRAFRB(b) FS圖ql/2ql/2彎矩方程是x的二次函數(shù)，所以彎矩圖是一條二次拋物線。 剪力方程是x的一次函數(shù)，所以剪力圖是一條傾斜直線段。梁在梁跨中橫截面上的彎矩值最大，為而兩支座內(nèi)側(cè)截面上的剪力值最大，。 （a）剪力圖（b）彎矩圖例題53 圖a所示的簡(jiǎn)支梁，在C點(diǎn)處受集中力F的作用，試作梁的剪力圖和彎矩

8、圖。解：（1）畫(huà)此梁的內(nèi)力圖，求支座反力。利用平衡方程求得 (a)alBAFRBFRAbxFC 對(duì)于BC段梁對(duì)于AC段梁(a)(b) FS圖(c) M圖alBAFRBFRAbxFC（2）列內(nèi)力方程（3）最后由內(nèi)力方程作內(nèi)力圖。兩段梁的彎矩圖各為一條斜直線段。由圖可見(jiàn)，集中力作用處橫截面上的彎矩值為最大.在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，并且此突變值等于集中力的大小。(a)(b) FS圖(c) M圖alBAFRBFRAbxFC兩段梁的剪力圖各為一條平行于梁軸線的直線段。 例題5-4 圖a所示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F 作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力解：1. 求約束力alBAFRBFRAbxF

9、C(b) FS圖， 2. 列剪力方程和彎矩方程此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見(jiàn)這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。對(duì)于AC段梁，其剪力方程和彎矩方程分別為對(duì)于BC段梁，其剪力方程和彎矩方程分別為3. 作剪力圖和彎矩圖 如圖b及圖c。由圖可見(jiàn)，在b a的情況下，AC段梁在0 xa的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對(duì)值最大， 為 （負(fù)值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因?yàn)榧辛ε紝?shí)際上只是作用在梁上很短長(zhǎng)度范圍內(nèi)的分布力矩的簡(jiǎn)化。第四章 彎曲應(yīng)力三、彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用1. M(x)、

10、FS(x)、q(x)間微分關(guān)系導(dǎo)出第四章 彎曲應(yīng)力FS(x)M(x)FS(x)+d FS(x)M(x)+d M(x)dxq(x)(b)q(x)AlBxdx(a)FO 第四章 彎曲應(yīng)力 距左端為x處用相距dx的兩個(gè)橫截面，從梁中截出一個(gè)微段，因dx非常微小，所以在微段上的分布荷載可以看作是均勻分布的，注意分布荷載取向上為正。假設(shè)在微段左右截面上的剪力和彎矩分別為：Fs(x)、M(x)和Fs(x)+ dFs(x)、M(x)+d M(x)，如圖所示。根據(jù)平衡條件， 得: 整理后得 幾何意義為：剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。又由 （矩心O為微段右側(cè)截面的形心）得:整理后得 幾何意義

11、為：彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。由上兩式可以得到 常見(jiàn)荷載下FS，M圖的一些特征第四章 彎曲應(yīng)力集中力作用處集中力偶作用處 若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù) ，該截面的彎矩為極值。 第四章 彎曲應(yīng)力 利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下： (1) 求支座約束力； (2) 分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； (3) 求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖； (4) 確定|FS|max和|M|max 。第四章 彎曲應(yīng)力 例題： 一簡(jiǎn)支梁在其中間部分受集度為 q=100 kN/

12、m向下的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應(yīng)力x+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-而根據(jù) 可知，AC段內(nèi)的剪力圖應(yīng)當(dāng)是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪力的值顯然為1. 校核剪力圖 解：此梁的荷載及約束力均與跨中對(duì)稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 該梁的AC段內(nèi)無(wú)荷載， 對(duì)于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關(guān)系

13、中應(yīng)為負(fù)值，即q=-100 kN/m。第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 根據(jù) 可知CD段內(nèi)的剪力圖確應(yīng)為向右下方傾斜的斜直線。由于C點(diǎn)處無(wú)集中力作用，剪力圖在該處無(wú)突變，故斜直線左端的縱坐標(biāo)確為100 kN。根據(jù)斜直線的斜率為 ，可證實(shí)D截面處的剪力確應(yīng)為 對(duì)于該梁的DB段，梁上無(wú)荷載，故剪力圖應(yīng)該是水平直線；且由于D點(diǎn)處無(wú)集中力作用，剪力圖在該處無(wú)突變，故該水平直線的縱坐標(biāo)確為-100 kN。作為復(fù)核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4

14、mq2. 校核彎矩圖這與圖中所示相符。 該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù) 常量可知此段梁的彎矩圖應(yīng)為斜率為 的正值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 事實(shí)上，這個(gè)彎矩值也可根據(jù) 此式中的 從幾何意義上來(lái)說(shuō)，它就是AC段內(nèi)剪力圖的面積。第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）通過(guò)積分來(lái)復(fù)核： 對(duì)于該梁的CD段，根據(jù) 可知： 彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(fù)(即向下凸)的

15、二次曲線。因?yàn)榱荷螩點(diǎn)處無(wú)集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應(yīng)該沒(méi)有突變；第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 由于C截面處剪力無(wú)突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應(yīng)該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應(yīng)光滑連接。第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據(jù) 可知，這些均與圖(c)中所示相符。第

16、四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm） 對(duì)于該梁的DB段，由于剪力為負(fù)值的常量，故彎矩圖應(yīng)該是斜率為負(fù)的斜直線。因?yàn)榱荷螪點(diǎn)處無(wú)集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實(shí)圖(c)中此段梁的彎矩圖也無(wú)誤。第四章 彎曲應(yīng)力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq已知：圖中梁的約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯(cuò)誤。正確答案：第四章 彎曲應(yīng)力(a)圖中梁的約束力為正確答案：第四章 彎曲應(yīng)力(b)圖中梁的約束力

17、為正確答案：第四章 彎曲應(yīng)力 (c) 四、按疊加原理作彎矩圖第四章 彎曲應(yīng)力 (1) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時(shí)，我們都是按梁未變形時(shí)的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，例如對(duì)于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為第四章 彎曲應(yīng)力(a) 這就是說(shuō)，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dú)作用時(shí)(圖b和圖c)相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。第四章 彎曲應(yīng)力(b)(c) (a) (2) 疊加原理 當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時(shí)，由幾種荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每

18、種荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參數(shù)值的疊加。第四章 彎曲應(yīng)力 (3) 示例 圖a所示受均布荷載q并在自由端受集中荷載 作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和均布荷載q作用時(shí)兩個(gè)剪力圖和兩個(gè)彎矩圖的疊加。第四章 彎曲應(yīng)力F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)第四章 彎曲應(yīng)力- F(a)-FF=ql/4(b)(c)F-第四章 彎曲應(yīng)力 圖d為直接將圖b和圖c中兩個(gè)彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標(biāo)軸時(shí)，它就是圖a中的彎矩圖。(c)-(d) 作剪力圖時(shí)雖然(如上所示)也可應(yīng)用疊加原理，但由于梁上通常無(wú)集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡(jiǎn)單，故往往只說(shuō)按疊加原理作彎矩圖。 由圖a可見(jiàn)，該梁橫截面上的最大剪力為 (負(fù)值) ,最大彎矩為 (負(fù)值)，而極值彎矩 并非最大彎矩。第四章 彎曲應(yīng)力- F(a)-F4-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架 平面剛架：由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。 平面剛架桿件的內(nèi)力：當(dāng)荷載作用于剛架所在平面內(nèi)時(shí)，桿件橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外，還會(huì)有軸力。第四章 彎曲應(yīng)力 作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定： 彎矩圖，畫(huà)在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)； 剪力圖及軸力圖，可畫(huà)在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫(huà)在剛架外側(cè)）