【精品原創(chuàng)】六年級奧數(shù)培優(yōu)教程講義第04講-分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和（教師版）

1、第04講 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和教學(xué)目標(biāo) = 1 * GB3 會找通項(xiàng)，并能利用通項(xiàng)來裂項(xiàng)； = 2 * GB3 在通項(xiàng)不易找到時(shí)，會觀察、改造、運(yùn)用公式來做適當(dāng)變形或先進(jìn)行一部分運(yùn)算使新的通項(xiàng)易于找到，從而進(jìn)一步裂項(xiàng)。知識梳理 一、“裂差”型運(yùn)算將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法.裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常見的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根

2、本的。(1)對于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：二、“裂和”型運(yùn)算常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：（1） （2）裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。典例分析 例1、 。【解析】原式提醒學(xué)生注意要乘以(分母差)分之一，如改為：，計(jì)算過程就要變?yōu)椋?例2、【解析】本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最

3、簡單的項(xiàng)開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有， 原式例3、 【解析】原式 例4、計(jì)算：【解析】原式例5、 【解析】首先分析出原式例6、【解析】 原式例7、計(jì)算： 【解析】觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)即：原式現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無法全部相消，需要對分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：，原式例8、計(jì)算： 【解析】，由于，可見原式例9、計(jì)算： 【解析】原式 實(shí)戰(zhàn)演練 課堂狙擊1、【解析】原式2、計(jì)算： 【解析】原式 3、計(jì)算：【解析】

4、原式4、計(jì)算： 【解析】原式5、【解析】原式6、計(jì)算： 【解析】 所以原式 7、計(jì)算： . 【解析】原式為階乘的形式，較難進(jìn)行分析，但是如果將其寫成連乘積的形式，題目就豁然開朗了原式8、計(jì)算： 【解析】式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了原式9、【解析】原式=課后反擊1、 【解析】原式2、 【解析】原式3、計(jì)算： 【解析】原式4、計(jì)算：= ?！窘馕觥吭?5、 【解析】原式6、計(jì)算： 【解析】如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是

5、一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2相比較于2，4，6，這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個(gè)數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3，所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算原式 也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為，所以，再將每一項(xiàng)的與分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)后面的過程與前面的方法相同7、【解析】，所以原式8、 . 【解析】這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)：，原式9、 【解析】原式直擊賽場 1、(迎春杯初賽)計(jì)算： 【解析】原式2、(走美杯初賽)_【解析】根據(jù)裂項(xiàng)性質(zhì)進(jìn)行拆分為：3、(走美

6、杯初賽)計(jì)算： 【解析】原式4、(迎春杯初賽)計(jì)算： 【解析】（法一）本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號內(nèi)的算式：這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況所以應(yīng)當(dāng)對分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式觀察可知，即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以所以原式（法二）上面的方法是最直觀的轉(zhuǎn)化方法，但不是唯一的轉(zhuǎn)化方法由于分子成等差數(shù)列，而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中為公差如果能把分子變成這樣的形式，再將與分開，每一項(xiàng)都變成兩個(gè)分?jǐn)?shù)，接下來就可以裂項(xiàng)了，所以原式（法三）本題不對分子進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是可以進(jìn)行計(jì)算的：所以原式（法四）對于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項(xiàng)歸納先找每一項(xiàng)的通項(xiàng)公式：（，3，9）如果將分子分成和1，就是上面的法二；如果將分子分成和，就是上面的法一重點(diǎn)回顧 常見的裂項(xiàng)思想：(1)對于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：（3） （4）名師點(diǎn)撥 裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自