工科數(shù)學(xué)分析無(wú)窮級(jí)數(shù)ch43(1)冪級(jí)數(shù)課件

1、第4章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第4章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第1節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第2節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第3節(jié) 冪級(jí)數(shù)第4節(jié) Fourier級(jí)數(shù)討論一類特殊、常見(jiàn)、最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)研究: (1)冪級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題;(2)怎樣將一個(gè)函數(shù)用冪級(jí)數(shù)表示問(wèn)題。第3節(jié) 冪級(jí)數(shù)第3節(jié) 冪級(jí)數(shù)3.1 冪級(jí)數(shù)及其收斂性3.2 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)3.3 函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)3.4 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用3.1 冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:注2.收斂性證明由(1)結(jié)論用反證法EX2.EX1.AEX1.解:由級(jí)數(shù)在一致收斂，一般項(xiàng)連續(xù),可逐項(xiàng)積分EX2.解：同理：

2、幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域O定理3.2定義3.1: 正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.（R, R）稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?收斂域:A證明證明則當(dāng)定理 2 對(duì)于冪級(jí)數(shù) , 若求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的根值法（檢根法）：例1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1.解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樽X. 冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. 總結(jié)求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1) 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .3) 對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為（xx0)n )求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,

3、也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .2) 對(duì)通項(xiàng)為（xx0)n )的冪級(jí)數(shù)將1)的收斂域進(jìn)行平移，使收斂域的中心在x0處.3.2 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1) 加減法(其中定理3.4(2) 乘法(其中柯西乘積(3) 除法?2. 分析運(yùn)算性質(zhì):定理3.5（內(nèi)閉一致收斂性）若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 , 則在它 的收斂區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上, 冪級(jí)數(shù)都一致收斂.如果冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為收斂半徑則下述結(jié)論成立（1）(和函數(shù)的連續(xù)性)定理3.6（2） (逐項(xiàng)積分)(收斂半徑不變)（3） (逐項(xiàng)求導(dǎo))(收斂半徑不變)推論 k=1,2,思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是思考題 冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？例3解法1解法2解兩邊積分，發(fā)散.解 收斂半徑為 注意：解方程也可用分離變量解注意:例5EX.EX.解解 收斂域3解1. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與乘法運(yùn)算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.2. 利