信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)實(shí)習(xí)報(bào)告

1、基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)專業(yè)實(shí)習(xí)報(bào)告姓 名：王歡學(xué) 號(hào)：20112949班 級(jí)：110801指導(dǎo)教師：王秀玉摘要Matlab和Mathematical Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用 軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。Matlab可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、 實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、 控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域， 特別是在進(jìn)行矩陣運(yùn)算方面。這個(gè)報(bào)告的內(nèi)容是應(yīng)用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件驗(yàn)證一個(gè)以矩陣為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué) 定理。首先，要學(xué)習(xí)并了解這個(gè)定理基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，主要是矩陣的加、減、乘

2、、 除，以及矩陣的逆和轉(zhuǎn)置的相關(guān)運(yùn)算。其次，通過(guò)查閱關(guān)于Matlab數(shù)學(xué)軟件相關(guān)的書籍，學(xué)習(xí)并熟練掌握Matlab 的基本操作過(guò)程，主要學(xué)習(xí)關(guān)于矩陣的基本計(jì)算。接著，按照驗(yàn)證這個(gè)定理的算法步驟，從1到4，把各個(gè)步驟的要求一一進(jìn) 行實(shí)現(xiàn)。最后，由算法步驟5可知，把步驟1到4的計(jì)算步驟結(jié)果進(jìn)行整理就可以得 到最后結(jié)果矩陣J,并對(duì)所給例題進(jìn)行驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：Matlab軟件 矩陣 計(jì)算 定理目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 第一章緒論4 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document

3、 1.1研究的目的和意義4 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1.2矩陣基礎(chǔ)知識(shí)4 HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 1.3 Matlab數(shù)學(xué)軟件4 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 第二章矩陣運(yùn)算5 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 2.1矩陣的基本概念5 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 2.2矩陣的運(yùn)算6 HYPERLINK l bookma

4、rk59 o Current Document 2.2.1矩陣的加法6 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 2.2.2數(shù)與矩陣的乘法7 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 2.2.3矩陣的乘法7 HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置8 HYPERLINK l bookmark107 o Current Document 2.2.5對(duì)稱矩陣9 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 第三章

5、Matlab數(shù)學(xué)軟件9 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 3.1矩陣的表示9 HYPERLINK l bookmark124 o Current Document 3.2矩陣的創(chuàng)建10 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document 3.2.1直接輸入法10 HYPERLINK l bookmark130 o Current Document 3.2.2利用Matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣10 HYPERLINK l bookmark141 o Current Document 3.2.3利用文件建立矩陣10 H

6、YPERLINK l bookmark144 o Current Document 3.3矩陣的簡(jiǎn)單操作10 HYPERLINK l bookmark147 o Current Document 3.3.1獲取矩陣元素10 HYPERLINK l bookmark153 o Current Document 3.3.2矩陣拆分11 HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 3.3.3特殊矩陣11 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document 3.4矩陣的運(yùn)算12 HYPERLINK l bookmark188

7、o Current Document 3.4.1算術(shù)運(yùn)算12 HYPERLINK l bookmark209 o Current Document 3.4.2關(guān)系運(yùn)算13 HYPERLINK l bookmark215 o Current Document 3.4.3邏輯運(yùn)算14 HYPERLINK l bookmark224 o Current Document 3.5矩陣分析14 HYPERLINK l bookmark227 o Current Document 3.5.1對(duì)角陣14 HYPERLINK l bookmark231 o Current Document 3.5.2三角陣1

8、5 HYPERLINK l bookmark236 o Current Document 3.5.3矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)15 HYPERLINK l bookmark241 o Current Document 3.5.4矩陣的翻轉(zhuǎn)15 HYPERLINK l bookmark244 o Current Document 3.5.5矩陣的逆與偽逆15 HYPERLINK l bookmark249 o Current Document 3.5.6方陣的行列式16 HYPERLINK l bookmark252 o Current Document 3.5.7矩陣的秩與跡16 HYPERLINK l

9、 bookmark257 o Current Document 3.5.8向量和矩陣的范數(shù)16 HYPERLINK l bookmark281 o Current Document 3.5.9矩陣的特征值與特征向量16 HYPERLINK l bookmark287 o Current Document 第四章定理證明17 HYPERLINK l bookmark310 o Current Document 致謝19 HYPERLINK l bookmark313 o Current Document 參考文獻(xiàn)20 HYPERLINK l bookmark330 o Current Docum

10、ent 附錄21第_章緒論1.1研究的目的和意義Matlab是美國(guó)MathWorks公司自20世紀(jì)80年代中期推出的數(shù)學(xué)軟件，具 有優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力，可以提供與矩陣有關(guān)的強(qiáng)大的 數(shù)據(jù)處理和圖形顯示功能，為軟件開發(fā)人員在程序編制過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算和圖 形顯示新添了又一行之有效的開發(fā)平臺(tái)，所以一經(jīng)推出便使其很快在數(shù)學(xué)軟件中 脫穎而出。到目前為止，其最高版本7.0版已經(jīng)推出。隨著版本的不斷升級(jí)，它 在數(shù)值計(jì)算及符號(hào)計(jì)算功能上得到了進(jìn)一步完善。Matlab已經(jīng)發(fā)展成為多學(xué)科、 多種工作平臺(tái)的功能強(qiáng)大的大型軟件，在控制、通信、信號(hào)處理及科學(xué)計(jì)算等領(lǐng) 域中得到廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)被認(rèn)可

11、為能夠有效提高工作效率、改善設(shè)計(jì)手段的工 具軟件。這個(gè)論文主要是要使用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件證明定理成立，熟練掌握矩陣 及這個(gè)軟件的基本計(jì)算功能。1.2矩陣基礎(chǔ)知識(shí)在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix ）是指縱橫排列的二維數(shù)據(jù)表格，最早來(lái)自于方程 組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在 物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中， 三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩 陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用 廣泛而

12、形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。 關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請(qǐng)參考矩陣?yán)碚?。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng) 域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。1.3 Matlab數(shù)學(xué)軟件Matlab是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù) 可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括 Matlab和Simulink兩大部分。Matlab是matrix&laboratory兩個(gè)詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實(shí)驗(yàn)室）。 是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì) 的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分

13、析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài) 系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研 究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決 方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編 輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。Matlab軟件有著很多優(yōu)點(diǎn)：1）高效的數(shù)值計(jì)算及符號(hào)計(jì)算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解 脫出來(lái)；2）具有完備的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化；3）友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達(dá)式的自然化語(yǔ)言，使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌 握；4）功能豐富的應(yīng)用工具箱（如信號(hào)處理工具箱、通信工具

14、箱等），為用戶提 供了大量方便實(shí)用的處理工具。第二章矩陣運(yùn)算2.1矩陣的基本概念矩陣，是由幽個(gè)數(shù)組成的一個(gè)歐行理列的矩形表格，通常用大寫字母瓦玖6表示，組成矩陣的每一個(gè)數(shù)，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素表示，其中下標(biāo)都是正整數(shù)，他們表示該元素在12-_ 釣 1 a22日=矩陣中的位置。比如， 粕噩“翌 偵 或H = 兒瞬表示一個(gè)陽(yáng)鄧 矩 陣，下標(biāo)計(jì)表示元素位于該矩陣的第，行、第J列。元素全為零的矩陣稱為 零矩陣。，也稱為一個(gè)狀維列向量；而一個(gè)*矩特別地，一個(gè)狀xl矩陣陣月=（她或，九），也稱為一個(gè)冉維行向量。當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)酬與烈數(shù)就相等時(shí)，該矩陣稱為一個(gè)幽階方陣。對(duì)于 方陣，從左上角

15、到右下角的連線，稱為主對(duì)角線；而從左下角到右上角的連線稱為付對(duì)角線。若一個(gè)理階方陣的主對(duì)角線上的元素都是1,而其余元素都是零，則稱為單位矩陣，記為碼，即:主對(duì)角線上（下）方的元素都是零，則稱為下（上）響。如一個(gè)理階方陣的 三角矩陣，例如，01K是一個(gè)蘇階下三角矩陣，而則是個(gè)歐階上三角矩陣。今后我們用財(cái)成峙表示數(shù)域F上的沈小矩陣構(gòu)成的集合，而用財(cái)心（峙或者財(cái)J畛表示數(shù)域F上的 蘇階方陣構(gòu)成的集合。2.2矩陣的運(yùn)算2.2.1矩陣的加法如果占=屈）切=0）是兩個(gè)同型矩陣（即它們具有相同的行數(shù)和列數(shù)，比 如說(shuō)&脆甄），則定義它們的和H+月仍為與它們同型的矩陣（即A +）,月+月的元素為月和對(duì)應(yīng)元素的和

16、，即：且+占二 （%.+%給定矩陣婦& ,我們定義其負(fù)矩陣T 為：T =。這樣我們可以定義同型矩陣的減法為:AP = A + （-E）。由于矩陣的加法運(yùn)算歸結(jié)為其元 素的加法運(yùn)算，容易驗(yàn)證，矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律：（1）交換律：H + 3 = + H ；（2）結(jié)合律：H + （3 + C） = （H +月）+ C ；（3）存在零元：H + O = Q + A = H ；（4）存在負(fù)元：婦（T） = （T） + H = Q。2.2.2數(shù)與矩陣的乘法設(shè)為一個(gè)數(shù)，婦MX、閩，則定義人與的乘積況應(yīng)仍為 血成JF）中的一個(gè)矩陣，膈 中的元素就是用數(shù)只乘月中對(duì)應(yīng)的元素的道德， 即 4 g。由定義可知：（

17、TM = T。容易驗(yàn)證數(shù)與矩陣的乘法滿足下列 運(yùn)算律：（1）= A ；（2）只3 +月）=腥+物；（3）（只+小二仙+庭；（4）即）月二只W）二必H）。2.2.3矩陣的乘法設(shè)月=（嗎.）為 5 距陣，為E 距陣，則矩陣H可以左乘矩陣月（注意：距陣H德列數(shù)等與矩陣片的行數(shù)），所得的積為一個(gè)歐對(duì)距陣C，即4C，其中，并且*。據(jù)真的乘法滿足下列運(yùn)算律（假定下面的運(yùn)算均有意義）：（1）結(jié)合律：（展） =成月（7）；（2）左分配律：月（月+。）=展+如；（3）右分配律：3 +月）dC + 時(shí)；（4）數(shù)與矩陣乘法的結(jié)合律：（徵）”（展）=&也5）；（5）單位元的存在性：四盤。Ak = AA-A若A為就階方

18、陣，則對(duì)任意正整數(shù)止，我們定義：，并規(guī)定：件=占由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，我們有：=W，（渺）1成。注意：矩陣的乘法與通常數(shù)的乘法有很大區(qū)別，特別應(yīng)該注意的是：（1）矩陣乘法不滿足交換律：一般來(lái)講即便有意義，瓦4也未必有意 義；倘使朋，都有意義，二者也未必相等（請(qǐng)讀者自己舉反例）。正是由于這 個(gè)原因，一般來(lái)講，叫+月）、逐+由月+月 3閔渺甘。（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即 = 0未必能推出元二或者 ，=。（請(qǐng)讀者自己舉反例）。（3）消去律部成立：如果如=妃 并且H部，未必有B = C。2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置f /J /T - - - /T 11 % %21 吃 , 吃日=定義：設(shè)0】

19、為歐矩陣，我們定義h的轉(zhuǎn)置為一4 a21偵招a12 a22 a?n2個(gè)g幽矩陣，并用逐表示月的轉(zhuǎn)置，即：I知吃 -冬J。矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：（1）（逐）1;（2）3+時(shí)頊+慶；（3 ） S；（4 ）（展號(hào)慶逐。2.2.5對(duì)稱矩陣定義1.11冉階方陣H若滿足條件：泄=A，則稱H為對(duì)稱矩陣；若滿足 條件：逐二T，則稱H為反對(duì)稱矩陣。若設(shè) 二（%），則月為對(duì)稱矩陣，當(dāng) 且僅當(dāng)聽=紗對(duì)任意的Um成立；只為反對(duì)稱矩陣，當(dāng)且僅 當(dāng)% = 一財(cái) 對(duì)任意的門=2-乎 成立。從而反對(duì)稱局針對(duì)角線上的元素必為 零。對(duì)稱矩陣具有如下性質(zhì)：（1）對(duì)于任意刑小 矩陣應(yīng)，為打階對(duì)稱矩陣；而 出為酬階對(duì)稱 矩陣；

20、（2）兩個(gè)同階（反）對(duì)稱矩陣的和，仍為（反）對(duì)稱矩陣；（3） 如果兩個(gè)同階（反）對(duì)稱矩陣可交換，即心曲，則它們的 乘積必為對(duì)稱矩陣，即= AB。第三章Matlab數(shù)學(xué)軟件3.1矩陣的表示在Matlab中創(chuàng)建矩陣有以下規(guī)則：a、矩陣元素必須在”內(nèi)；b、矩陣的同行元素之間用空格（或”,”）隔開；c、矩陣的行與行之間用”;”（或回車符）隔開；d、矩陣的元素可以是數(shù)值、變量、表達(dá)式或函數(shù)；e、矩陣的尺寸不必預(yù)先定義。3.2矩陣的創(chuàng)建3.2.1直接輸入法最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素，輸入的方法按照上 面的規(guī)則。建立向量的時(shí)候可以利用冒號(hào)表達(dá)式，冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向 量，一般格式

21、是：e1:e2:e3，其中el為初始值，e2為步長(zhǎng)，e3為終止值。還可 以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量，其調(diào)用格式為：linspace(a,b,n)，其中a和b是生 成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素總數(shù)。3.2.2利用Matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣基本矩陣函數(shù)如下：ones()函數(shù)：產(chǎn)生全為1的矩陣，ones(n):產(chǎn)生n*n維的全1矩陣， ones(m,n):產(chǎn)生m*n維的全1矩陣；zeros(涵數(shù)：產(chǎn)生全為0的矩陣；rand()函數(shù)：產(chǎn)生在(0，1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)陣；eye()函數(shù)：產(chǎn)生單位陣；randn()函數(shù)：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。3.2.3利用文件建立

22、矩陣當(dāng)矩陣尺寸較大或?yàn)榻?jīng)常使用的數(shù)據(jù)矩陣，則可以將此矩陣保存為文件，在 需要時(shí)直接將文件利用load命令調(diào)入工作環(huán)境中使用即可。同時(shí)可以利用命令 reshape對(duì)調(diào)入的矩陣進(jìn)行重排。reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前 提下，將矩陣A重新排成m*n的二維矩陣。3.3矩陣的簡(jiǎn)單操作3.3.1獲取矩陣元素可以通過(guò)下標(biāo)(行列索引)引用矩陣的元素，如Matrix(m,n)。也可以采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在Matlab中，矩陣元素按列存儲(chǔ)。序號(hào)(1的。乂)與下標(biāo)(Subscript )是一一對(duì)應(yīng)的，以m*n矩陣A為例，矩陣元 素

23、 A(i,j)的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。3.3.2矩陣拆分3.3.2.1利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元 素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。A(i:i+m,:)表示取A矩陣第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩 陣第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第 kk+m列中的所有元素。此外，還可利用一般向量和end運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)， 從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。3.3

24、.2.2利用空矩陣刪除矩陣的元素在Matlab中，定義為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語(yǔ)句為X=。注意， X=與 clear X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空 間中，只是維數(shù)為0。3.3.3特殊矩陣3.3.3.1魔方矩陣魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。 對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,1共n2個(gè)整數(shù)組成。Matlab提供了求魔方 矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。3.3.3.2范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量， 其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積。

25、可以用一個(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙 矩陣。在Matlab中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。3.3.3.3希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣在Matlab中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。使用一般 方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。Matlab中，有一 個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣 的逆矩陣。3.3.3.4托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz )矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素 相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以x為第一列，y為 第一行的托普

26、利茲矩陣。這里x, y均為向量，兩者不必等長(zhǎng)。toeplitz(x)用向量x 生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。3.3.3.5伴隨矩陣伴隨矩陣Matlab生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式 的系數(shù)向量，高次幕系數(shù)排在前，低次幕排在后。3.3.3.6帕斯卡矩陣帕斯卡矩陣我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角 形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。 函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。3.4矩陣的運(yùn)算3.4.1算術(shù)運(yùn)算Matlab的基本算術(shù)運(yùn)算有：+(加)、一(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、A(乘

27、方)、轉(zhuǎn)置)。運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。3.4.1.1矩陣加減矩陣加減運(yùn)算假定有兩個(gè)矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實(shí)現(xiàn)矩陣的加 減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則Matlab將給出錯(cuò) 誤信息，提示用戶兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。3.4.1.2矩陣乘法矩陣乘法假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m*n矩陣，B為n*p矩陣，則C=A*B 為m*p矩陣。3.4.1.3矩陣除法矩陣除法在Matlab中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：和/，分別表示左除和右除。 如果A矩陣是非奇異方陣，則AB和B/A運(yùn)算

28、可以實(shí)現(xiàn)。AB等效于A的逆左 乘B矩陣，也就是inv（A）*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是 B*inv（A）。對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同。對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)，左 除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系，一般AB#B/AO3.4.1.4矩陣的乘方矩陣的乘方一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成AW，要求A為方陣，x為標(biāo)量。3.4.1.5矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置對(duì)實(shí)數(shù)矩陣進(jìn)行行列互換，對(duì)復(fù)數(shù)矩陣，共軛轉(zhuǎn)置，特殊的，操 作符.共軛不轉(zhuǎn)置（見(jiàn)點(diǎn)運(yùn)算）；3.4.1.6點(diǎn)運(yùn)算點(diǎn)運(yùn)算在Matlab中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算 符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.

29、*、./、.和.人。兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指 它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。3.4.2關(guān)系運(yùn)算Matlab提供了 6種關(guān)系運(yùn)算符： （小于）、=（小于或等于）、（大于）、=（大 于或等于）、=（等于）、二（不等于）。關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：（1）當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá) 式結(jié)果為1,否則為0;當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的 元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié) 果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成；當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每

30、一 個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的 結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。3.4.3邏輯運(yùn)算Matlab提供了 3種邏輯運(yùn)算符：&(與)、1(或)和(非)。邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則 為：在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示;設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么，a&b a,b全為非零時(shí)，運(yùn)算 結(jié)果為1，否則為0。alb a,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1。a當(dāng)a是零時(shí)， 運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0。若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元 素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)

31、與原矩陣同維的矩陣，其元素由1 或0組成；若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣 中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩 陣，其元素由1或0組成；邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則；在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最 低。3.5矩陣分析3.5.1對(duì)角陣對(duì)角陣只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素 相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩 陣。(1)提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)A為m*n矩陣，diag(A涵數(shù)用于提取矩陣A 主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素

32、的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種 形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m*m對(duì) 角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量 V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式 diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n*n(n=m+k)對(duì)角陣，其第m條對(duì)角線的元素即為 向量V的元素。3.5.2三角陣三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線 以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種 矩陣。上三角矩陣 求矩陣A的上三角陣的Matlab函數(shù)是triu(A)。triu(A)函數(shù)

33、也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。下三角矩陣在Matlab中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和 tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。3.5.3矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)()。矩陣的旋轉(zhuǎn) 利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí) 可省略。3.5.4矩陣的翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第 二列調(diào)換，依次類推。矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)，對(duì)矩陣A實(shí) 施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。3.5

34、.5矩陣的逆與偽逆矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。求 方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。矩陣的偽逆如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣B,使得： ABA=A, BAB=B此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在Matlab 中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。3.5.6方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩 陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在Matlab中，求方陣A所對(duì)

35、應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是 det(A)。3.5.7矩陣的秩與跡矩陣的秩 矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在Matlab中，求 矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之 和。在Matlab中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。3.5.8向量和矩陣的范數(shù)矩陣或向量的范數(shù)用來(lái)度量矩陣或向量在某種意義下的長(zhǎng)度。范數(shù)有多種方 法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) 在Matlab中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：a、norm(V)或norm(V,2):計(jì)算向量V的2-范數(shù)；b、norm(V,1)：計(jì)算向量V的1-范數(shù)；c、nor

36、m(V,inf):計(jì)算向量V的s-范數(shù)。矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)Matlab提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函 數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。矩陣的條件數(shù) 在Matlab中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：a、cond(A,1)計(jì)算A的1-范數(shù)下的條件數(shù)；b、cond(A)或cond(A,2)計(jì)算A的2-范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)；c、cond(A,inf)計(jì)算A的s-范數(shù)下的條件數(shù)。3.5.9矩陣的特征值與特征向量在Matlab中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：E=eig(A):求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值

37、，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征 向量構(gòu)成V的列向量。V,D=eig(A,nobalance)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作 相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和 特征向量。第四章定理證明這個(gè)報(bào)告的內(nèi)容就是是應(yīng)用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件驗(yàn)證一個(gè)以矩陣為基礎(chǔ)的 數(shù)學(xué)定理。題目如下：以下給出幾個(gè)計(jì)算周期Jacobi矩陣廣義逆的定理,及算法，請(qǐng)用某種語(yǔ)言編出 程序，并對(duì)所給例題進(jìn)行運(yùn)算.下文中A+表示A的Moore - Penrose逆，Ad表示A的Drazin逆，A+t表示A+ 的轉(zhuǎn)置矩陣，/為單位矩陣。(ab11bab122J 二二ba23V bnbn -

38、 1陣(ab11bab122M 二ba23Vbn-2bn氣-1a )ne膈,b0, i = 1,2,., n時(shí)，稱為周期),Y 二(bn ) 0:,a 二(a )b10,0 =(0 )0,J 二b0.bn - 2.n - 2a)n-1 bV bn-1 )0 V。)Van-1)Jacobi，a)n(b1 ,a b2 2A = b2a3b3bn-3an - 2bn - 2 )(a0)(a A 丫 11 k 0 0-A-1a0)(0A)I 尸邛 TA-1a 0 /驗(yàn)證:定理 3 若M+My =y 但p = a -y tM +y 0,則n(M + + p-i M +yy tM + - p-i M +y

39、)J+ =.一 p-iy tm +p-i )首先，我們學(xué)習(xí)了這個(gè)定理基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，主要是矩陣的加、減、乘、除， 以及矩陣的逆和轉(zhuǎn)置相關(guān)運(yùn)算。其次，通過(guò)查閱關(guān)于Matlab數(shù)學(xué)軟件相關(guān)的書 籍，學(xué)習(xí)并熟練掌握Matlab的基本操作過(guò)程，主要學(xué)習(xí)關(guān)于矩陣的基本運(yùn)算操 作。接著，按照驗(yàn)證這個(gè)定理的算法步驟，從1到4，把各個(gè)步驟的要求一一進(jìn) 行實(shí)現(xiàn)。具體步驟是：1.計(jì)算M +;驗(yàn)證M+My=y 但p = a -ytM +y n 0;n計(jì)算 P-i, P-iM +y 及p-iy tM + ;4.計(jì)算 M + + P-iM +yy tM + ;把步驟i到4的計(jì)算步驟結(jié)果進(jìn)行整理就可以得-P-i M +y

40、)最后，由算法步驟5可知， 到最后結(jié)果矩陣M + + P-i M +yy tM +-P -iy tm +P -i2 3 0 002 )3 -2 6 0000 6 3 7000 0 7 -48 00 0 0 86720007-5.4 ?并用J進(jìn)行檢驗(yàn)。致謝本論文在王秀玉老師的悉心指導(dǎo)下完成的。老師淵博的專業(yè)知識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹?學(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)于律己、寬以待人的崇 高風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)法、平易近人的人格魅力對(duì)本人影響深遠(yuǎn)。不僅使本人樹立了遠(yuǎn) 大的學(xué)習(xí)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，還使本人明白了許多為人處事的道理。 本次論文的完成，每一步都是在老師的悉心指導(dǎo)下完成的，傾注了老師大量的心 血。在此，我向王老師致以最真摯的謝意。其次，感謝長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院的所有老師們，從他們身上我學(xué)到了 很多寶貴的知識(shí)和為人處