2022屆江西省宜春市上高二中高三5月第十次月考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 22 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 22 頁(yè)2022屆江西省宜春市上高二中高三5月第十次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】B【分析】首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以；故選：B2已知，則復(fù)數(shù)（）ABCD【答案】B【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.3某高山地區(qū)的大氣壓強(qiáng)p（Pa）與海拔高度h（m）近似滿足函數(shù)關(guān)系，其中，是海平面大氣壓強(qiáng)，已

2、知在該地區(qū)甲、乙兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為，且，那么甲、乙兩處的海拔高度之差約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A4900mB5500mC6200mD7400m【答案】B【分析】根據(jù)已知列式，由冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式可得.【詳解】記甲、乙兩處的海拔高度分別為，則由題可知：，則m故選：B4設(shè)，則（）ABCD【答案】A【分析】化切為弦，通分，再利用平方關(guān)系及倍角公式即可得解.【詳解】解：.故選：A.5已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）A或5B或5CD【答案】C【分析】由題可得，進(jìn)而可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，然后利用求和公式即得.【詳解】，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，故，即，數(shù)列是首項(xiàng)

3、為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故選：C.6下列說法中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷AD，利用特例可判斷BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，可得，則，故選項(xiàng)A成立；對(duì)于選項(xiàng)B，取，則，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取，若，則，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則，所以，故選項(xiàng)D不正確.故選：A.7在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作

4、分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，進(jìn)而根據(jù)題意，設(shè)其相似比為，則，再證明四邊形是矩形，再結(jié)合相似比和二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，作圖如下，因?yàn)椋瑒t，所以，設(shè)其相似比為，則，因?yàn)?，所以在中，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，則，所以，即，因?yàn)?，所以，即，同理，即，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是矩形，即，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：B8線段AB上任取一點(diǎn)C，若，則點(diǎn)C是線段AB的“黃金

5、分割點(diǎn)”，以AC，BC為鄰邊組成的矩形稱為“黃金矩形”現(xiàn)在線段AB上任取一點(diǎn)C，若以AC，BC為鄰邊組成矩形，則該矩形的面積小于“黃金矩形”的面積的概率為（）ABCD【答案】A【分析】設(shè)，求出“黃金矩形”的面積，再求出在線段AB上任取一點(diǎn)C，以AC，BC為鄰邊組成矩形的面積，由題意建立不等式求解，再根據(jù)幾何概型,由線段長(zhǎng)度求概率即可.【詳解】設(shè)，則由解得.此時(shí)“黃金矩形”的面積為.在線段AB上任取一點(diǎn)C，并設(shè),則以AC，BC為鄰邊組成矩形的面積為，由該矩形的面積小于“黃金矩形”的面積可得，解得或，故所求概率為.故選：A9醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層. 內(nèi)層為親

6、膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）. 國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率. 若生產(chǎn)狀態(tài)正常，有如下命題：甲：；乙：的取值在內(nèi)的概率與在內(nèi)的概率相等；丙：；丁：記表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則.（參考數(shù)據(jù)：若 ，則， ；）其中假命題是（）A甲B乙C丙D丁【答案】B【分析】根據(jù)可判斷甲；根據(jù)兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度相等，對(duì)稱軸落在區(qū)間可判斷乙；根據(jù)概率的對(duì)稱性可判斷丙；求出1只口罩的的過濾率大于的概率，再由二項(xiàng)

7、分布的概率以及對(duì)立事件的概率即可判斷丁，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】由知，對(duì)于甲：由正態(tài)分布曲線可得：，故甲為真命題；對(duì)于乙：，兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度均為1個(gè)，但，由正態(tài)分布性質(zhì)知，落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故乙是假命題；對(duì)于丙：由知，丙正確；對(duì)于?。?只口罩的的過濾率大于的概率，所以，故丁是真命題. 故選：B.10如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物，測(cè)得的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30；在賽道

8、與建筑物之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75和30（其中B，E，D三點(diǎn)共線）.該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h(yuǎn)約為（）米（參考數(shù)據(jù)：，）A11B20.8C25.4D31.8【答案】C【分析】易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案.【詳解】解：由題意可得，則，在中，在中，因?yàn)椋?，所以，又，所以（米?故選：C.11取兩個(gè)相互平行且全等的正邊形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“角反棱柱”.當(dāng)時(shí)，得到如圖所示棱長(zhǎng)均為2的“六角反棱柱”，則該“六角反棱柱”外接球的表面積等于（

9、）ABCD【答案】B【分析】設(shè)上、下底面的中心分別為，連接，得到點(diǎn)即為所求外接球的球心，連接，取棱的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，求得，結(jié)合球的截面性質(zhì)，求得外接球的半徑為，利用表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)上、下正六邊形的中心分別為，連接，則其中點(diǎn)即為所求外接球的球心，連接，取棱的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，則，而，則，所以，則，連接，設(shè)所求外接球的半徑為，則有，所以該六角反棱柱外接球的表面積.故選：B.【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相

10、等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程，并求解.12若直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論：，使；當(dāng)時(shí)，取得最小值；的最小值為2；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）ABCD【答案】C【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得兩條切線方程，令,可知，故存在零點(diǎn)，正確；，通過求導(dǎo)討論單調(diào)性可知有最小值，進(jìn)而可以判斷最小值范圍，正確，錯(cuò)誤；通過判斷與大小可判斷出正確.【詳解】由直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)可知：曲線

11、上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，由零點(diǎn)存在定理，使，即，使，即，故正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，故正確.是對(duì)勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤.，故正確.故選：C.二、填空題13已知展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為_【答案】-80【分析】先求出，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，所以，解得：.所以展開式的通項(xiàng)公式為.要求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，只需，解得：.故答案為：-80.14已知向量，滿足，若，則，夾角的余弦值為_.【答案】【分

12、析】利用數(shù)量積得性質(zhì)可求得，再代夾角公式即可求解【詳解】，則，因?yàn)樗约此运怨蚀鸢笧椋?5圓的圓心在拋物線上，且圓與軸相切于點(diǎn)A，與軸相交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則_【答案】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，根據(jù)求出，從而可求得圓的方程，求出的坐標(biāo)即可得解.【詳解】解：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，故，解得，故圓心，所以圓的半徑等于，所以圓的方程為，當(dāng)時(shí)，或，所以.故答案為：.16已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差，公差為d，偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為q，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則正整數(shù)_【答案】2【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差，公比，分別討論為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，結(jié)合等差數(shù)列和等比

13、數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得所求值【詳解】因?yàn)?，所以，又，奇?shù)項(xiàng)成等差，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為，可得，解得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，即，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，右邊小于2，左邊大于2，等式不成立；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得，解得綜上，故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題，一是要注意運(yùn)用基本量來確定數(shù)列，二是要注意分奇偶討論.三、解答題17在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角B的大??；(2)設(shè)，求和的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理得到，即可得到，從而求出；（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即可求出，再利用

14、二倍角公式求出、，最后根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，又因?yàn)椋傻?(2)解：由（1）得，在中，由余弦定理有，故.由正弦定理，即，可得.又因?yàn)?，?因此，.所以.18如圖1，在ABC中，DE是ABC的中位線，沿DE將ADE進(jìn)行翻折，使得ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點(diǎn)為F(1)證明：平面ABC(2)若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，證明四邊形DEGF是平行四邊形,然后利用線面垂直的判定定理證明平面ABC, 從而得到平面ABC.（2

15、）（方法一）過點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè),求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知條件可得長(zhǎng)，然后利用線面角的向量公式求解即可；（方法二）連接DG，可證得，可得長(zhǎng)，過點(diǎn)F作，垂足為I，利用線面垂直及面面垂直的性質(zhì)可得平面ACD，連接AI，則FAI即為所求角，在三角形中計(jì)算可得答案.【詳解】(1)如圖，取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，由已知得，且因?yàn)镕，G分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，且所以，且所以四邊形DEGF是平行四邊形所以因?yàn)榉鄣?，易知所以翻折后，又因?yàn)椋珽A，平面AEC，所以平面AEC因?yàn)?，所以平面AEC因?yàn)槠矫鍭EC，所以因?yàn)锳CE是等邊三角形，點(diǎn)G是AC中

16、點(diǎn)，所以又因?yàn)椋珹C，平面ABC所以平面ABC因?yàn)?，所以平面ABC(2)（方法一）如圖，過點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)，則，則，因?yàn)槠矫鍭EC所以是平面AEC的法向量，設(shè)面ACD的法向量為，則，即，解得取，得因?yàn)槎娼荄-AC-E為，所以，解得，所以，記直線AB與平面ACD所成角為，則，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為（方法二）如圖，連接DG，因?yàn)槠矫鍭EC，平面AEC，所以又因?yàn)?，DE，平面DEG所以平面DEC因?yàn)镋G，平面DEG，所以，所以DGE是二面角D-AC-E的平面角，故由ACE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，得，在

17、RtDGE中，所以，過點(diǎn)F作，垂足為I，因?yàn)槠矫鍰EGF，平面ACD，所以平面平面ACD又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面DEGF，且，所以平面ACD連接AI，則FAI即為直線AB與平面ACD所成的角在RtDFG中，得，由等面積法得，解得在RtAFG中，所以在RtFAI中，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為19小李下班后駕車回家的路線有兩條路線1經(jīng)過三個(gè)紅綠燈路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是；路線2經(jīng)過兩個(gè)紅綠燈路口，第一個(gè)路口遇到紅燈的概率是，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率是假設(shè)兩條路線全程綠燈時(shí)的駕車回家時(shí)長(zhǎng)相同，且每個(gè)紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立(1)若小李下班后選擇路線1駕車回家，求至少遇到一個(gè)紅

18、燈的概率(2)假設(shè)每遇到一個(gè)紅燈駕車回家時(shí)長(zhǎng)就會(huì)增加1min，為使小李下班后駕車回家時(shí)長(zhǎng)的累計(jì)增加時(shí)間（單位：min）的期望最小，小李應(yīng)選擇哪條路線？請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)小李應(yīng)選擇路線1；理由見解析【分析】（1）設(shè)路線1遇到紅燈的個(gè)數(shù)的隨機(jī)變量為X，則，由對(duì)立事件概率公式計(jì)算概率；（2）設(shè)路線1累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為，則，由二項(xiàng)分布的期望公式得期望，設(shè)路線2第i個(gè)路口遇到紅燈為事件（，2），則，設(shè)路線2累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為，則的所有可能取值為0，1，2，依獨(dú)立事件與互斥事件及對(duì)立事件概率公式計(jì)算出各概率，得期望，比較可得【詳解】(1)設(shè)路線1遇到紅燈的個(gè)數(shù)的隨機(jī)變量為X，則，所

19、以至少遇到一個(gè)紅燈的事件為，由對(duì)立事件概率公式，得，所以若小李下班后選擇路線1駕車回家，至少遇到一個(gè)紅燈的概率為(2)設(shè)路線1累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為，則，所以，設(shè)路線2第i個(gè)路口遇到紅燈為事件（，2），則，設(shè)路線2累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為，則的所有可能取值為0，1，2，則，所以因?yàn)?，所以為使小李下班后駕車回家時(shí)長(zhǎng)的累計(jì)增加時(shí)間的期望最小，小李應(yīng)選擇路線120已知橢圓C：的離心率為，其右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓C上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，APF的面積為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AP交直線l：于點(diǎn)Q，直線l與x軸交于點(diǎn)T，證明：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1

20、）離心率為可表示出和的關(guān)系，從而得到，的關(guān)系，把代人橢圓方程得到即三角形的高，計(jì)算求出，即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由（1）可求出，坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，表示出直線AP的斜率和方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論軸和PF不垂直x軸，由斜率關(guān)系即可證明【詳解】(1)解：設(shè)，由題意知，所以，將代人橢圓方程，得，當(dāng)軸時(shí)，解得，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)（2）易得，設(shè)點(diǎn)，則，所以直線AP的方程是，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為當(dāng)軸時(shí)，可得，故當(dāng)PF與x軸不垂直時(shí)，所以因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，?1已知函數(shù)（且）的圖象與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)(1)求點(diǎn)P處的切線方程，并證明：時(shí)，(2)若關(guān)于x的方程（t

21、為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)根，證明：【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）確定的零點(diǎn)，得點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，在時(shí)作差，證明即可；（2）是正根，因此只要考慮時(shí)情形，不妨設(shè)，仿照（1）求出在另一個(gè)零點(diǎn)處的切線方程，并證明時(shí)，設(shè)的解為，的解為，利用的單調(diào)性可得，這樣有，然后證明，并利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值（需要二次求導(dǎo)）確定，最后利用不等式的性質(zhì)可得結(jié)論成立【詳解】(1)令，得所以或即或因?yàn)辄c(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，所以，因?yàn)?，所以，得點(diǎn)P處的切線方程為，即當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且，所以，所以，即所以，所?2)不妨設(shè)，且只考慮的情形因?yàn)?，所以所以點(diǎn)Q處的切線方程為，記，令，設(shè)，則所以單調(diào)遞增又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時(shí)有極小值，也是最小值