自動(dòng)控制原理：7 狀態(tài)空間分析設(shè)計(jì)

1、17 狀態(tài)空間分析引言建模對(duì)象：?jiǎn)巫兞烤€性定常系統(tǒng)經(jīng)典控制理論的黑箱模型：即外部模型 傳遞函數(shù)等 缺陷：0初始；不充分的模型，不能揭示系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)現(xiàn)代控制理論：狀態(tài)空間方法 優(yōu)勢(shì)： 1）任何初始條件下均能描述輸入/輸出關(guān)系，系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（完全描述，內(nèi)部描述） 2）易于計(jì)算機(jī)求解 3）適用：SISO系統(tǒng)，MIMO系統(tǒng) 4）適用：線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng) 5）適用 ：線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程描述非線性系統(tǒng)黑箱模型 ANN (BP, CMAC,RBFNN, etc) SVM Fuzzy白箱模型（揭示系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)） 機(jī)理模型（過程的物料平衡、能量平衡方程） 非線性本質(zhì)模型（混沌、涌現(xiàn)）

2、混沌：普遍的介于確定性和隨機(jī)性之間的非線性現(xiàn)象，其行為復(fù)雜且類似隨機(jī)，但存在精致的內(nèi)在規(guī)律，具有隨機(jī)性、遍歷性和規(guī)律性。 實(shí)例：利用混沌 對(duì) 尋優(yōu)結(jié)果狀態(tài)方程優(yōu)勢(shì)之一狀態(tài)空間軌跡（揭示系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）IEEE Trans. Control System Technology, submitted狀態(tài)空間的線性變換線性變換不變性規(guī)范化多種狀態(tài)空間同一個(gè)系統(tǒng)是否都好用呢？ 否，只有少數(shù)幾種可以簡(jiǎn)化問題分析 可控、可觀、對(duì)角線、Jordan如何變換為好用的標(biāo)準(zhǔn)型？ 線性變換線性變換線性變換狀態(tài)向量的不同選取狀態(tài)向量的一種線性變換，或稱坐標(biāo)變換 兩種形式如何轉(zhuǎn)換？可推廣至?xí)r變系統(tǒng)！線性系統(tǒng)的不變性基

3、本概念特征方程：特征值：特征方程的根特征向量：傳遞函數(shù)不變性?=特征方程和特征值的不變性 系統(tǒng)特征方程線性系統(tǒng)的規(guī)范化目的：變成標(biāo)準(zhǔn)形式起到方便和簡(jiǎn)化的作用（求 ）然后通過反變換回到原來的狀態(tài)空間化為對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)型：條件：A有n個(gè)不等的實(shí)特征值特例：（比較少見）系統(tǒng)有重根，該重根的重?cái)?shù)其對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立的特征向量個(gè)數(shù)，則也可化為對(duì)角陣?yán)?-1：化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型解：求特征值變換后的狀態(tài)方程為注意：1）A陣其實(shí)不需求P，但是B陣是必須的2）特征向量不唯一，因此變換矩陣P不唯一一個(gè)重要定理（見教材例7-2）對(duì)可控標(biāo)準(zhǔn)型的A陣（或稱為友矩陣），有n個(gè)互異實(shí)根化為Jordan陣標(biāo)準(zhǔn)型：條件：特征值有重根，且該

4、根的重?cái)?shù)不等于其對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立的特征向量的個(gè)數(shù)情況1：A的m重特征值，對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立向量?jī)H有P1一個(gè)m階Jordan塊情況2：A的m重特征值，對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立向量?jī)H有k個(gè)，1km。例如A陣有6重實(shí)根，其對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立特征向量只有兩個(gè)，則Jordan陣可能為例73，求 的Jordan陣解：注意：三階矩陣的逆要會(huì)求，變換陣P不唯一線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的計(jì)算線性定常系統(tǒng)齊次方程的解齊次方程線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解（引入控制量）給定線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為其中， ,且初始條件為 . 將上面方程改寫為在上式兩邊左乘 ，可得將上式由0積分到t，得故可求

5、出其解為或式中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 是滿足如下矩陣微分方程和初始條件的解。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 性質(zhì)：10條狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的計(jì)算方法一 直接計(jì)算法(狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣)可以證明，對(duì)所有常數(shù)矩陣A和有限的t值來說，這個(gè)無窮級(jí)數(shù)都是收斂的。方法二 對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法若可將矩陣A變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，那么 可由下式給出式中，P是將A對(duì)角線化的非奇異線性變換矩陣。類似地，若矩陣A可變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，則 可由下式確定出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 例1【例】 考慮如下矩陣A，【解】 該矩陣的特征方程為因此，矩陣A有三個(gè)相重特征值=1，則矩陣A具有三重特征向量。

6、從而，將矩陣A變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣為 , 矩陣P的逆為 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 例1則 ，從而可得即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的計(jì)算方法三 拉氏變換法為了求出 ，關(guān)鍵是必須首先求出（sI-A）的逆。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 例2【例】 考慮如下矩陣,試用對(duì)角矩陣法和拉氏變換兩種方法計(jì)算 。 A【解】對(duì)角矩陣法 由于A的特征值為0和-2（ ），故可求得所需的變換矩陣P為 P= 因此，由可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 例2拉氏變換法 由于 可得 因此狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 例1【例】 試求如下線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆 ?！窘狻繉?duì)于該系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣由下式確定由于其逆矩陣為因此 =由于 ,故可

7、求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 例2【例】 求下列系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，其中，u(t)為t = 0時(shí)作用于系統(tǒng)的單位階躍函數(shù)，即u(t)=1(t)。【解】 對(duì)該系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為因此，系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)為：即如果初始狀態(tài)為零，即x(0)=0,可將x(t)簡(jiǎn)化為線性定常系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性分析穩(wěn)定性概念（適用于非線性系統(tǒng)）單輸入/單輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的標(biāo)準(zhǔn)形線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性對(duì)偶原理基于系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型的可控可觀判據(jù)離散系統(tǒng)的可控性和可觀性判據(jù)SISO系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)單輸入/單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下所示可控標(biāo)準(zhǔn)形可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)單輸入/單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如

8、下所示可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)單輸入/單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下所示，考慮分母多項(xiàng)式只含相異根的情況：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)單輸入/單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下所示，考慮分母多項(xiàng)式含有重根的情況：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形u,狀態(tài)空間標(biāo)準(zhǔn)形 例1【例】考慮由下式確定的系統(tǒng)，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式之可控標(biāo)準(zhǔn)形、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形?！窘狻靠煽貥?biāo)準(zhǔn)形為：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形為：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形為：線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性可控性定義可控性的判斷定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的狀態(tài)可控性條件輸出可控性可控性定義考慮線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 初始條件為 。如果存在一個(gè)控制信號(hào)，在有限的時(shí)間間隔 內(nèi)，使初始狀態(tài)

9、轉(zhuǎn)移到任一終止?fàn)顟B(tài) ，則稱由上式描述的系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在 時(shí)為可控的。如果x(t)對(duì)所有時(shí)刻都可控，則稱該系統(tǒng)狀態(tài)x(t)為一致可控的。舉例說明:不能控也不能觀線性系統(tǒng)狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)可控性Gramian矩陣判據(jù)定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù) 對(duì)線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) ，當(dāng)且僅當(dāng)nn維矩陣 滿秩，即時(shí)，該系統(tǒng)狀態(tài)可控。證明：下面推導(dǎo)狀態(tài)可控的條件。不失一般性，設(shè)終止?fàn)顟B(tài)為狀態(tài)空間原點(diǎn)，并設(shè)初始時(shí)刻為零，即 。由上一節(jié)的內(nèi)容可知，該線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的解為利用狀態(tài)可控性的定義，可得或?qū)?寫為A的有限項(xiàng)的形式 ，并帶入上式得：定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)記 ，則如果系統(tǒng)是

10、狀態(tài)可控的，那么給定任一初始狀態(tài)x(0)，都應(yīng)滿足上式。這就要求nn維矩陣 的秩為n。上述結(jié)論也可推廣到控制向量u為r維的情況。此時(shí)，如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中， ，那么可以證明，狀態(tài)可控性的條件為nnr維矩陣的秩為n，或者說其中的n個(gè)列向量時(shí)線性無關(guān)的。通常稱該矩陣為可控性矩陣。 定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性 例1【例】 考慮由下式確定的系統(tǒng)：【解】由于即Q為奇異，所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的。【例】 考慮由下式確定的系統(tǒng)：【解】由于即Q為非奇異，因此系統(tǒng)是狀態(tài)可控的。傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的狀態(tài)可控性條件狀態(tài)可控的條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞矩陣描述。狀態(tài)可控性的充要條件是在傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。

11、如果發(fā)生相約，那么在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不可控?！纠?考慮下列傳遞函數(shù)：顯然，在此傳遞函數(shù)的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統(tǒng)狀態(tài)不可控。將該傳遞函數(shù)寫為狀態(tài)方程，可得到同樣的結(jié)論。狀態(tài)方程為則即可控性矩陣 的秩為1，所以狀態(tài)不可控。定義 ，則可將上式重寫為對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)型可控性判據(jù)考慮如下的線性系統(tǒng)如果A的特征向量互不相同，則可找到一個(gè)非奇異線性變換矩陣P，使得注意，如果A的特征值相異，那么A的特征向量也互不相同。設(shè)x=Pz 并代入上面線性系統(tǒng)中，可得當(dāng)且僅當(dāng)輸入矩陣 沒有一行的所有元素均為零時(shí)，系統(tǒng)才是狀態(tài)可控的。注意 矩陣P必須將矩陣A轉(zhuǎn)換

12、成對(duì)角線形式。Jordan標(biāo)準(zhǔn)型可控性判據(jù)如果矩陣A不具有互異的特征向量，則無法化為對(duì)角線形式，此時(shí)可將A化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，假設(shè)能找到一個(gè)變換矩陣S，使得利用x=Sz定義一個(gè)新的狀態(tài)向量z，并代入線性系統(tǒng) 中，可得到則系統(tǒng)的狀態(tài)可控性條件為：當(dāng)且僅當(dāng)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J中沒有兩個(gè)Jordan塊與同一特征值有關(guān)；與每個(gè)Jordan塊最后一行相對(duì)應(yīng)的 的任一行元素不全為零；對(duì)應(yīng)于不同特征值 的每一行的元素不全為零。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形其中，在主對(duì)角線上的33和22子矩陣稱為Jordan塊。狀態(tài)可控的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 例1【例】下列系統(tǒng)是狀態(tài)可控的：狀態(tài)可控的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 例2【例】下列系統(tǒng)是狀態(tài)不可控

13、的：能控標(biāo)準(zhǔn)型的判定下三角陣，滿秩 ，完全可控能控標(biāo)準(zhǔn)型名稱由來：狀態(tài)方程一定狀態(tài)可控 輸出可控性考慮下列狀態(tài)空間表達(dá)式所描述的線性定常系統(tǒng)其中如果能找到一個(gè)控制向量 ,在有限的時(shí)間間隔 內(nèi)，使任一給定的初始輸出 轉(zhuǎn)移到任一最終輸出 ,那么稱由上式所描述的系統(tǒng)為輸出可控的。系統(tǒng)輸出可控的充要條件為：當(dāng)且僅當(dāng)m(n+1)r維輸出可控性矩陣的秩為m時(shí)（即行滿秩），由上式所描述的系統(tǒng)為輸出可控的。注意：在輸出方程中存在Du項(xiàng)，對(duì)確定輸出可控性是有幫助的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性可觀性定義可觀性的判斷定常系統(tǒng)狀態(tài)可觀性的代數(shù)判據(jù)用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的可觀測(cè)性條件可觀性定義考慮零輸入時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式式

14、中 。如果每一個(gè)狀態(tài) 都可通過在有限時(shí)間間隔 內(nèi)，由 觀測(cè)值確定，則稱系統(tǒng)為(完全)可觀測(cè)的。本節(jié)僅討論線性定常系統(tǒng)。不失一般性，設(shè) 。為何只需考慮零輸入系統(tǒng)？原因：若采用如下狀態(tài)空間表達(dá)式則從而由于矩陣A、B、C和D均為已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后兩項(xiàng)為已知，因而它們可以從被量測(cè)值y(t)中消去。因此，為研究可觀測(cè)性的充要條件，只考慮零輸入系統(tǒng)就可以了。線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀性的代數(shù)判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)可控性Gramian矩陣判據(jù)定常系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性的代數(shù)判據(jù)考慮以下線性定常系統(tǒng)易知，其輸出向量為將 寫為A的有限項(xiàng)的形式，即因而或顯然，如果系統(tǒng)是可觀測(cè)的，那么在 時(shí)間間隔內(nèi)，給定輸出y(t

15、)，就可由上式唯一地確定出x(0)?？捎^性判據(jù)（充要條件） 當(dāng)且僅當(dāng)nnm維可觀測(cè)性矩陣的秩為n，即 時(shí)，上面線性定常系統(tǒng)是可觀測(cè)的。對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)考慮線性定常系統(tǒng)設(shè)非奇異線性變換矩陣P可將A化為對(duì)角線矩陣，設(shè)x=Pz 并代入上面線性系統(tǒng)中，可得則或如果mn維矩陣CP的任一列中都不含全為零的元素，則系統(tǒng)是可觀測(cè)的。 該判斷方法只適用于能將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形的情況。從而則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為：J中沒有兩個(gè)Jordan塊與同一特征值有關(guān)； 與每個(gè)Jordan塊的第一列相對(duì)應(yīng)的矩陣CS列中，沒有一列元素全為零；與相異特征值對(duì)應(yīng)的矩陣CS列中，沒有一列包含的元素全為零。Jorda

16、n標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)如果不能將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，則可利用一個(gè)合適的線性變換矩陣S將系統(tǒng)矩陣A變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定義x=Sz，則可將原線性系統(tǒng)寫為如下Jordan標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形其中，在主對(duì)角線上的33和22子矩陣稱為Jordan塊。狀態(tài)可觀測(cè)性的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 例1【例】 下列系統(tǒng)是可觀測(cè)的：狀態(tài)可觀測(cè)性的標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù) 例2【例】 下列系統(tǒng)是不可觀測(cè)的：可觀標(biāo)準(zhǔn)型判定可觀測(cè)性矩陣的也是為下三角陣，所以滿秩，因此系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè) 能觀標(biāo)準(zhǔn)型名稱由來：狀態(tài)方程一定狀態(tài)可觀定常系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性 例1【例】 試判斷由下式所描述的系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性?！窘狻坑捎诳煽匦跃仃囍葹?，

17、即 ，故該系統(tǒng)是狀態(tài)可控的。 由于輸出可控性矩陣的秩為1，即 ，故該系統(tǒng)是輸出可控的。 由于可觀測(cè)性矩陣的秩為2， ，故此系統(tǒng)是可觀測(cè)的。用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的可觀測(cè)性條件可觀測(cè)性條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)?？捎^測(cè)性的充要條件是：在傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣中不發(fā)生相約現(xiàn)象。如果存在相約，則約去的模態(tài)其輸出就不可觀測(cè)了。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)可控和可觀測(cè)時(shí)，其傳遞函數(shù)才沒有相約因子。這意味著，可相約的傳遞函數(shù)不具有表征動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的所有信息。定常系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性 例2【例】證明下列系統(tǒng)是不可觀測(cè)的?！窘狻糠椒ㄒ?由于可觀測(cè)性矩陣其行列式值為0，故該系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。方法二 在該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中存在

18、相約因子。顯然，分子、分母多項(xiàng)式中的因子（s+1）可以約去。則該系統(tǒng)是不可觀測(cè)的，一些不為零的初始狀態(tài)x(0)不能由y(t)的量測(cè)值確定。對(duì)偶原理下面介紹由R.E.Kalman提出的對(duì)偶原理，該原理揭示了可控性和可觀測(cè)性之間的關(guān)系?？紤]由下述狀態(tài)空間表達(dá)式描述的系統(tǒng) S1：以及由下述狀態(tài)空間表達(dá)式定義的對(duì)偶系統(tǒng)S2：對(duì)偶原理 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)S1狀態(tài)可觀測(cè)（狀態(tài)可控）時(shí)，系統(tǒng)S2才是狀態(tài)可控（狀態(tài)可觀測(cè)）的。對(duì)偶原理證明 對(duì)于系統(tǒng)S1：狀態(tài)可控的充要條件是nnr維可控性矩陣 的秩為n。狀態(tài)可觀測(cè)的充要條件是nnm維可觀測(cè)性矩陣 的秩為n。 對(duì)于系統(tǒng)S2：狀態(tài)可控的充要條件是nnm維可控性矩陣 的秩

19、為n。狀態(tài)可觀測(cè)的充要條件是nnr維可觀測(cè)性矩陣 的秩為n。對(duì)比這些條件，可以很明顯地看出對(duì)偶原理的正確性。利用此原理，一個(gè)給定系統(tǒng)的可觀測(cè)性可用其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)可控性來檢檢和判斷。簡(jiǎn)單地說，對(duì)偶性有如下關(guān)系：離散系統(tǒng)的可控性和可觀性判據(jù)當(dāng)離散系統(tǒng)用下面狀態(tài)空間表達(dá)式描述時(shí)，狀態(tài)完全可控性判據(jù)為輸出完全可控性判據(jù)為行滿秩狀態(tài)可觀性判據(jù)為m線性變換將單輸入系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型線性變換不影響系統(tǒng)的能控性和能觀性故不影響可控性，類似的可證明不影響可觀性能控標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化方法 存在性若A,b能控，則一定存在一個(gè)線性變換x=P使得唯一性對(duì)單輸入系統(tǒng)，化為能控標(biāo)準(zhǔn)型的P陣是唯一的。對(duì)多輸入系統(tǒng)則不然。能

20、觀標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化方法存在性若A,c能觀，則一定存在一個(gè)線性變換x=P使得唯一性對(duì)單輸入系統(tǒng)，化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型的P陣是唯一的。對(duì)多輸入系統(tǒng)則不然。例：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置問題的提法可配置條件(極點(diǎn)配置定理)極點(diǎn)配置的算法狀態(tài)觀測(cè)器（有時(shí)間的話）問題的提法給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律為式中KR1n為狀態(tài)反饋增益矩陣或線性狀態(tài)反饋矩陣。下圖分別給出了開環(huán)控制系統(tǒng)、輸出反饋和狀態(tài)反饋的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。(a) 開環(huán)控制系統(tǒng)輸出反饋控制律為(c) 閉環(huán)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)(b) 閉環(huán)輸出反饋控制系統(tǒng)輸出反饋矩陣的閉環(huán)狀態(tài)方程：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以證明輸出反饋不改

21、變系統(tǒng)的可控性和可觀性狀態(tài)反饋矩陣的閉環(huán)狀態(tài)方程：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以證明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性但是可能改變系統(tǒng)的可觀性共同點(diǎn)：兩種反饋均能改變系統(tǒng)的極點(diǎn)不同點(diǎn)：較之輸出反饋，狀態(tài)反饋信息量大、完整，調(diào)節(jié)系統(tǒng)能力強(qiáng)例：傳函為 希望極點(diǎn)為1，3，試用狀態(tài)反饋和輸出反饋設(shè)計(jì)解：能控標(biāo)準(zhǔn)型為單輸出，因此可以設(shè)輸出反饋陣H=h，則閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為閉環(huán)特征方程等于希望特征方程，故有待定系數(shù)為： 為矛盾方程，即輸出反饋不能達(dá)到控制目的。若采用狀態(tài)反饋 ，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為閉環(huán)特征方程等于希望特征方程，故有待定系數(shù)為： 解之： 狀態(tài)反饋可以配置問題的提法將控制 代入系統(tǒng) ，得到由此可見，系統(tǒng)的響應(yīng)特性將

22、由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A-BK的特征值決定。如果矩陣K選取適當(dāng)，則可使矩陣A-BK構(gòu)成一個(gè)Hurwitz矩陣。矩陣A-BK的特征值即為閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。1、這種使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置到所期望位置的問題，稱為極點(diǎn)配置問題。問題解答：書上沒有的肯定不考!跟電動(dòng)機(jī)有關(guān)的如15，2-8不考慣例：平時(shí)20，考試80，具體情況還在商量由exp(At)求A的題型，7-7，一定要掌握！如何求A？1） ?該方法比較繁瑣，計(jì)算量大，不建議2)正確做法？方塊圖化簡(jiǎn)求傳函如果不需要中間過程，則可以用信號(hào)流圖的Mason公式能控性、能觀性和傳遞函數(shù)分子分母零極點(diǎn)對(duì)消的關(guān)系可配置條件極點(diǎn)配置定理考慮線性定常系統(tǒng)假設(shè)控制輸入u的幅

23、值是無約束的。如果選取控制規(guī)律為式中K為線性狀態(tài)反饋矩陣。定理 (極點(diǎn)配置定理) 線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。該定理對(duì)多變量系統(tǒng)也成立。證明 (對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)) 1、充分性2、必要性極點(diǎn)配置定理_充分性1. 充分性。 如果線性系統(tǒng) 狀態(tài)完全可控，一定存在非奇異變換 ， 使其變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形。變換后的系統(tǒng)，狀態(tài)矩陣和輸入矩陣分別為引入狀態(tài)反饋：閉環(huán)特征方程為：2. 必要性即已知閉環(huán)系統(tǒng)可任意配置極點(diǎn)，證明被控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控?，F(xiàn)利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統(tǒng)不是狀態(tài)完全可控的，則矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態(tài)反饋來控制。假設(shè)原線性系統(tǒng) 狀態(tài)不可控，則其可控性矩陣的秩小于n，即則必有狀態(tài)變量與控制u無關(guān)，因此，不可能實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)反饋，則不可控子系統(tǒng)的特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣A-BK的特征值，此時(shí)系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全可控的。必要