定積分的背景教學設計省優(yōu)質課

1、 / 7定積分的背景數(shù)學 王乃雪 江西高安二中【教學目標】知識目標通過曲邊梯形的面積問題、 變速直線運動物體的路程問題、 變力 做功問題理解定積分概念的形成的基本思想， 初步了解、 感受定積分 的實際背景。能力目標通過探索求曲邊梯形的面積的過程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限”的步驟分析問題的方法，從而培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；體會“以直代曲” ， “逼近”的思想，理解用極限的思想方法思考與處理問題，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。. 情感目標對不同背景下的問題中蘊含的統(tǒng)一數(shù)學內(nèi)涵的過程的揭示，認識到數(shù)學與生活的聯(lián)系和數(shù)學在實用性方面的巨大力量， 進而對數(shù)學中蘊含的理性美產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的欣賞情感?！?/p>

2、教學重難點】教學重點了解以直代曲、 逼近的數(shù)學思想， 初步掌握求曲邊梯形面積的步驟。教學難點曲邊梯形的不足近似和過剩近似兩種近似面積的求法?！窘虒W過程】一、創(chuàng)設情境，引入新課介紹我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽以及他的“割圓.術以劉徽（約公元225年一295年），山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基者之籥/ 一。他的杰作九章算術，是中國最寶貴的數(shù)學遺劉徽（約公元225年一29奔）產(chǎn)，影響、支配中國古代數(shù)學的發(fā)展1000余年，是東方數(shù)學的典范之一，與希臘歐幾里得的幾何原本所代表的古代 西方數(shù)學交相輝映。他對數(shù)學的主要貢獻是創(chuàng)造十進小數(shù)、證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理；定義許多重

3、要數(shù)學概念解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題；創(chuàng)造了割圓術，運用極限觀念計算圓面積和 圓周率。在右圖中的圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形，通、f過變量來改變正多邊形的邊數(shù)，用正多I 0 0邊形面積來近似估計圓的面積。I/提問：圓內(nèi)接正6邊形圓內(nèi)接正12邊形.可以用正六邊形的面積來表示圓的面積嗎？可以用正12邊形來表示嗎？.要使用多邊形的面積近似表示圓的面積更精確，應該怎么辦？.用內(nèi)接正多邊形的面積來表示圓的面積， 怎么計算圓周率兀？割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體無所失矣。二、新課講授曲邊梯形的概念：由三條直線x軸、x=a、x=b和一條曲線y 圍成的封閉圖形，就叫做曲邊梯形。提

4、問：我們知道多邊形、圓形、扇形等規(guī)則圖形的面積求法，那2 x怎么求曲邊梯形的面積?探究一、求曲邊梯形的面積問題1 :求由x軸、直線x=1和曲線y成圖形的面積（一） 分割為了計算曲邊梯形的面積S,將它分割成許多小曲邊梯形，如下 圖所示。圖1圖2圖3（二）近似代替提問：.我們將曲邊梯形分割后，可以用圖1或者圖2中的小矩形的面 積和來代替由x軸、x=a、x=b和曲線y x2圍成的圖形的面積嗎？.如果還有比較大的誤差，我們可以怎么做使誤差變小?.將區(qū)間0,1分的越細，誤差越小嗎?在圖1和圖2中不斷增加小矩形的數(shù)量，得到的陰影部分的面積會越來越接近由X軸、直線x=1和曲線y x2 圍成的面積，而圖3中的

5、面積會越來越小， 直至無限接近于0.因此，只要區(qū)間分的夠細 小，我們就可以用圖1或者圖2中的矩形的 面積來近似代替由x軸、x=a、x=b和曲線 y x2圍成的圖形的面積。下面以圖1為例求不足近似的面積。把區(qū)間0, 1等分成n個小區(qū)間：0,-,-,-,LJ,*；n n n n n n TOC o 1-5 h z 每個區(qū)間長度為1,第i個小矩形的高度為（L）2,所以第i個小矩形 nn的面積為1（）20 n n求和S S1 S2Sn12/2012n。(0)2 (1)2()2(U)2n n nnn211(n 1) 3 (n 1)n(2n 1)n 6逼近（求極限）當分割無限變細，即n 時，S 3 1（n

6、 1）n（2n 1） 1 ,所以 n 63所求曲邊梯形的面積為3。練習i:仿照上面求不足近似面積的方法求圖2中由x軸、直線x=1和曲線y x2 成的圖形的過剩近似面積探究二、變速運動的路程問題提問:.勻速直線運動路程公式是什么?.若以時間為橫坐標，速度為縱坐標建立坐標系，那么路程可以用什么表示？.如果是變速直線運動，路程怎么求?問題2: 一輛汽車的司機猛踩剎車，汽車滑行 5s后停下，在這一過程中汽車的速度V是時間t的函數(shù)：v(t) t2 10t 25(0 t 5),請估計汽車在剎車過程中滑行的距離 S。用橫坐標表示時間，縱坐標表示速度，可以得到速度關于時間的函數(shù)圖象如右圖所示。提問：.仿照問題

7、1中的近似方法將時間區(qū)間0,55等分，得到的不 足近似面積和過剩近似面積分別怎么計算？將區(qū)間 0,510等分呢？.哪種分法得到的面積誤差較??？，如果還要使誤差更小，怎 么辦？首先將滑行時間5等分，若用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似表示各時間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是Si v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) 1 55(m)；若用 v,v(2),v(3),v(4),v(5)近似表示各時間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是S1 v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 30(m)。為了使誤差更小，將滑行時間10等分，用類似的方法求得過剩近似值為 S2

8、v(0) v(0.5) v(1) v(1.5)v(4) v(4.5) 0.5 48.125(m)；不足近似值為 s2 v(0.5) v(1) v(1.5) v(2)v(4.5) v(5) 0.5 35.625(m)。按照這樣的思路繼續(xù)將時間分細，我們就會得到更精確的估計值，當小時間間隔長度趨于0時，這兩種估計值就都趨于汽車滑行的 路程。方法歸納總結：求曲邊梯形的面積分為以下幾個步驟.將區(qū)間分割；.近似代替(一般用不足近似和過剩近似兩種代替方法);.求近似面積和；.求極限，讓n ,得到準確面積。練習2:由直線x=1,y=0和曲線y x3圍成一個曲邊 梯形，將區(qū)間0,14等分，則曲邊梯形面積的近 似值(過剩近似)是( ).A B. g C. Md.經(jīng) 1925627064三、小結求曲邊梯形面積四步曲：.分割化整為零.近似代替以直代曲.求和積零為整.逼近刨光磨平四、作業(yè)：(思考題)一根彈性系數(shù)為0.4N/cm的彈簧, 其拉力隨