2020年中考數(shù)學(xué)專題突破專題九直角三角形的存在性問(wèn)題

1、專題九：直角三角形的存在性問(wèn)題【導(dǎo)例引入】引例如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C(0，4)，射線CEx軸，直線yxb交線段OC于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，D是射線CE上一點(diǎn)若ABD恰為等腰直角三角形，則b的值為【方法指引】是否存在一點(diǎn)，使之與另外兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的問(wèn)題：首先弄清題意，注意區(qū)分直角頂點(diǎn)；其次借助于動(dòng)點(diǎn)所在圖形的解析式，表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；然后按分類的情況，利用幾何知識(shí)建立方程(組)，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，注意要根據(jù)題意舍去不符合題意的點(diǎn)解決方法如下方法一：利用勾股定理進(jìn)行邊長(zhǎng)的計(jì)算，從而來(lái)解決問(wèn)題；方法二：往往可以利用到一線等三角之K字（90）類型和母子相似型類型，嘗試建構(gòu)相應(yīng)的相似來(lái)進(jìn)行處理

2、；ADBEC方法三：可利用直徑所對(duì)的圓周角為90來(lái)處理導(dǎo)例解析：分三種情況討論：當(dāng)ABD90時(shí)，如圖1，b；當(dāng)ADB90時(shí)，如圖2，b；當(dāng)DAB90時(shí)，如圖3，b21【例題精講】類型一：利用勾股定理來(lái)解決直角三角形的存在性問(wèn)題例1.如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對(duì)稱軸為直線x1，且經(jīng)過(guò)A(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.(1)若直線ymxn經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求拋物線和直線BC的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)第2題圖【分析】（1）首先由題意，根據(jù)拋物線的對(duì)稱稱軸公式，待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，c的方程組，解方

3、程組可得答案；（2）首先利用勾股這事不師古求得BC，PB，PC的長(zhǎng)，然后分別從點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)去分析求得答案類型二：構(gòu)造相似來(lái)解決直角三角形存在性問(wèn)題例2.如圖，拋物線yx2bx8與x軸交于點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l與拋物線交于點(diǎn)E，連接AE,EC.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖，當(dāng)ECx軸時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使AEG是以AE為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由2【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，令x=0

4、時(shí)，求出y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再分兩種情況計(jì)算：當(dāng)AEG=90時(shí)，判斷出EMGAPE，得出比例式求解即可；當(dāng)EAG=90時(shí)，判斷出GNAAPE，得到比例式計(jì)算【專題過(guò)關(guān)】1.如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線yxm與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PEEF的最大值；(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)2.如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A(3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線BCx軸，交直線y2x

5、于點(diǎn)C.(1)求該拋物線的解析式；(2)求該拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷頂點(diǎn)D是否在直線y2x上；(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P(點(diǎn)A除外)，使PBC是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22xc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；(2)請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出

6、符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PEDE.求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由45已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，4）（1）試寫出b，c之間的關(guān)系式；（2）當(dāng)a0時(shí)，若一次函數(shù)y=x+4的圖象與y軸及該拋物線的交點(diǎn)依次為D，E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)x1

7、與x2之間滿足關(guān)系x2=6x1求ODE與OEF的面積比；是否存在a，使得EPF=90？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6.已知開(kāi)口向下的拋物線yax22ax+3與x軸的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸的交點(diǎn)為C，OC3OA（1）請(qǐng)直接寫出該拋物線解析式；（2）如圖，D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD，BC，P為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)若ABDBCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）在（2）的條件下，M，N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)若MPN90，直線MN必過(guò)一定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)5答案：例1.(1)由題意得，解得拋物線的解析式為yx22x3.對(duì)稱軸為直線x1，拋物線經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC

8、的解析式y(tǒng)mxn，把B(3，0)，C(0，3)分別代入ymxn,得解得直線BC的解析式為yx3M(1，2)；(2)設(shè)P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若B為直角頂點(diǎn)，則BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C為直角頂點(diǎn)，則BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P為直角頂點(diǎn)，則PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個(gè)，分別為：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)例2(1)點(diǎn)A(6，0)在拋物線yx

9、2bx8上，0(6)2(6b)8，解得b拋物線的解析式為yx2x8，令x0，得y8，C(0，8)；6(2)存在如圖，連接EG，AG，過(guò)點(diǎn)G作GMl，GNx軸，垂足分別為M，N，圖ECx軸，EPCO8把y8代入yx2x8，則8x2x8，解得x0(舍去)或x2P(2，0)APAOPO4()如圖，當(dāng)AEG90時(shí)，MEGAEP90，AEPEAP90，MEGEAP又APEEMG90，EMGAPE=設(shè)點(diǎn)G(m，m2m8)(m0)，則GNMPm2m8EMEPMP8(m2m8)m2m，MGPNPOON2m=，m2(舍去)或mG(，)；()如圖，當(dāng)EAG90時(shí)，7圖NAGEAP90，AEPEAP90，NAGAE

10、PAPEGNA90，GNAAPE=n2n86n33設(shè)點(diǎn)G(n，n2n8)(n4)，GNn2n8，ANAOON6n12n6(舍去)或nG(，)48綜上，符合條件的G點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(，)【專題過(guò)關(guān)】1(1)由題意得，解得拋物線的解析式為yx24x3；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PGCF交CB與點(diǎn)G圖由題可知，直線BC的解析式為yx3，OCOB3，OCB45.同理可知OFE45CEF為等腰直角三角形PGCF，GPE為等腰直角三角形F(0，m)，C(0，3)，CF3mCEFGEP，EFCF(3m),PEPG8設(shè)P(t，t24t3)(1t3),則G(t，t3)PEPG(t3tm)(m2t3)點(diǎn)P是直線yxm

11、與拋物線的交點(diǎn)，t24t3tmPEEF(3m)(m2t3)(2t2m6)(tm3)(t24t)(t2)24當(dāng)t2時(shí)，PEEF最大，最大值為4；(3)由(1)知對(duì)稱軸x2，設(shè)點(diǎn)D(2，n)，如圖.圖當(dāng)BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，分兩種情況討論：()D在C上方D1位置時(shí)，由勾股定理得CD12BC2BD12，即(20)2(n3)2(3(32)2(0n)2，解得n5；()D在C下方D2位置時(shí)，由勾股定理得BD22BC2CD22)2即(23)2(n0)2(3)2(20)2(n3)2，解得n1，綜上所述，當(dāng)BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，D為(2，5)或(2，1)2.：(1)yx2bxc與

12、x軸交于A(3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，9解得，拋物線的解析式為yx2x1；(2)由yx2x1=（x-1）2，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)把x1代入y2x中得y22，頂點(diǎn)D不在直線y2x上；(3)存在理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，與該拋物線交于點(diǎn)P1，P2，連接BP1，BP2.直線BCx軸，Peqoac(,1)BC、P2BC都是直角三角形把x1代入y2x中得y2(1)2C(1，2)把y2代入yx2x1中，得x2x12，解得x11，x21.P1(1，2)，P2(1，2)3.(1)設(shè)拋物線解析式為ya(x1)(x3)，即yax22ax3a2a2，解得a1，拋物線解析式為yx22x3.當(dāng)x

13、0時(shí)，yx22x33，則C(0，3)設(shè)直線AC的解析式為ypxq，10把A(1，0)，C(0，3)代入得解得直線AC的解析式為y3x3.(2)yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)如圖，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，則B(3，0)，連接DB交y軸于M.MBMB，MBMDMBMDDB，此時(shí)MBMD的值最小BD的值不變，此時(shí)BDM的周長(zhǎng)最小易得直線DB的解析式為yx3.當(dāng)x0時(shí)，yx33，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，3)(3)存在，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)4(1)在RtABC中，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB1.OC2OB，OC2，則BC3.又tanABC2，AC2BC6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6)

14、把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線yx2bxc中，得解得該拋物線的解析式為yx23x4.(2)由點(diǎn)A(2，6)和點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)易得直線AB的解析式為y2x2.11如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m23m4)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，2m2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)則PEm2m2，DE2m2，由PEDE得m2m2(2m2)，解得m1.又2m1，m1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，6)M在直線PD上，且P(1，6)，設(shè)M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三種情況：()當(dāng)AMB90時(shí)，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3M(1，3)

15、或(1，3)；()當(dāng)ABM90時(shí)，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1，M(1，1)()當(dāng)BAM90時(shí)，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y，M(1，)綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，)5（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），拋物線解析式為y=a（x2）2+4=ax24ax+4a+4，b=4a，c=4a+4b+c=4；12（2）由題意可知ODE和ODF的底邊DE、DF邊上的高相同，eqoac(,S)ODE：SODF=DE：DF=x1：x2=1：6SODEeqoac(,：S)OEF=1：5；如圖，分別過(guò)E，F(xiàn)作x軸的垂線，垂足分別為G

16、、H，交直線DP于點(diǎn)M、N，直線y=x+4，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，m+4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6m，6m+4）EM=EGMG=m+44=m，F(xiàn)N=FHNH=6m+44=6m，PM=PDMD=2m，PN=DNPD=6m2，EPF=90，EPM+FPN=90，且FPN+PFN=90EPM=PFNEPMPEN，即整理可得6m2+7m+2=0，解得m=或m=，當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)E（，），F(xiàn)（3，7），把F點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得a+4=7，解得a=3，拋物線解析式為y=3（x2）2+4，當(dāng)x=時(shí)，代入可求得y=，即點(diǎn)E不在該拋物線圖象上，不符合題意當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)E（,），F(xiàn)（4，8），把F點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可

17、求得a=1拋物線解析式為y=（x2）2+4當(dāng)x=時(shí)，代入可求得y=，即點(diǎn)E不在拋物線圖象上，不符合題意，綜上可知不存在滿足條件的a的值136.（1）當(dāng)x0時(shí)，yax22ax+33，C（0，3），OC3OA3OA1，A（1，0）把點(diǎn)A（1，0）代入拋物線解析式,得：a+2a+30，解得a1拋物線解析式為yx2+2x+3；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且在x軸上方，過(guò)點(diǎn)P作PEy軸交BC于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DHx軸于點(diǎn)H，CFPBHD90當(dāng)yx2+2x+30時(shí)，解得：x11，x23A（1，0），B（3，0）yx2+2x+3（x1）2+4，頂點(diǎn)D（1，4）DH4，BH312BDB

18、H2DH222422514RtBDH中，sinABDDH425BD255C（0，3）BC3232=32，PCp2(p22p)2設(shè)直線BC解析式為ykx+b，3kb0,0b3.b3.eqoac(,S)BCPPEOBBCPF，PFk1,解得：，直線BC解析式為yx+3設(shè)P（p，p2+2p+3）（1p3），則E（p，p+3），PEp2+2p+3（p+3）p2+3p11PEOB3(P23P)P23PBC22322ABDBCP，RtCPF中，sinBCPPE25sinABDPC52解得p1（舍去），p253PF255PCPF2PC451p2+2p+332532點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）939如圖2，若點(diǎn)P在x軸下方，tanABDDHBH2tan45，ABD45BCPBOC即BCP45，ABD與BCP不可能相等15綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（532，）；39（3）如圖3，過(guò)P作PHy軸，分別過(guò)點(diǎn)M、N作MGPH于G，NHPH于HGMPNH，MPGeqoac(,)PNHMGP坐標(biāo)為（5，），MGx1，PHy1，HNx，GP393939設(shè)直線MN的解析式為ykx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3），令kx+nx2+2x+3，即x2+（k2）x+n30，x1+x22k，x1x2n3y1+y2k（x1