數(shù)學課堂教學究的分析框架課件

1、數(shù)學課堂教學研究的分析框架華東師大數(shù)學系 鮑建生 前言：教師成為研究者教師：通過研究改進自己的教學（算法案例）教育研究：走進課堂，解決教與學中的實際問題數(shù)學課程改革：教師事關(guān)重大教師專業(yè)發(fā)展：教師的真功夫在課堂上教與學：東西方的兩個不同視角教學教材教法教學內(nèi)容的理解教學經(jīng)驗焦點：老師如何教？學習理論學習過程的理解理論模型焦點：學生如何學？課堂理論與經(jīng)驗的互動經(jīng)驗理論支持預測為研究提供分析框架具有解釋的能力能應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象有助于對復雜現(xiàn)象的思考作為資料分析的工具提供一種深層次交流的語言實用個人化嵌于特定的情境之中通過視覺逐步積累比較模糊，不易表征、把握和傳授難以跨領(lǐng)域的交流。解釋建構(gòu)一條可行的

2、研究思路青浦實驗（如變式教學）GX實驗基本圖形分析法上海育才的“讀讀、議議、練練、講講 （段力佩 ）李庾南“自學、議論、引導”教學法孫維剛的 “結(jié)構(gòu)教學法”邱學華的“嘗試教學法”馬明、陳振宣、趙憲初、吳正憲、楊象富等大批的名師和不知名的優(yōu)秀教師挖掘和提煉優(yōu)秀的教學經(jīng)驗梳理國內(nèi)外的學習理論研究成果解釋理論模型研究課題研究方法新的模型建構(gòu)一、課堂教學研究的方法課堂教學研究的焦點：PCK學科教學知識內(nèi)容知識學習者知識背景知識一般教學法課程知識教育目標教學推理理解轉(zhuǎn)化教學評價反思新理解PCK的核心成分PCK的成分指 標學科最核心、最有價值的知識 學科本身最核心、最基本的知識學科的思想、方法、精神和態(tài)度

3、對學生今后學習和發(fā)展最有價值的知識知識間的聯(lián)系 某一知識在整個學科體系中的地位和作用上位知識與下位知識的聯(lián)系新舊知識間的聯(lián)系所學知識與兒童生活、經(jīng)驗的聯(lián)系學生在學習某一知識過程中容易誤解和混淆的問題 哪些知識學生易解，教師可以少講、不講或讓學生自學？ 哪些問題是學生容易混淆或難以理解的？ 學生常見的錯誤是什么？如何辨析和糾正？如何將特定的知識呈現(xiàn)給不同學生的策略 如何做學情調(diào)查，了解不同學生的認知基礎(chǔ)、認識方式與差異呈現(xiàn)方式多樣化策略的選擇與應(yīng)用對呈現(xiàn)效果的檢測與反饋面向教學的數(shù)學知識（MKT）課堂教學的分析框架 概念界定水平模型分類模型因素模型指標體系過程模型數(shù)學課堂教學的基本任務(wù)環(huán)境、先前

4、知識、評價問題解決技能訓練概念理解數(shù)與運算測量幾何代數(shù)概率與統(tǒng)計微積分元認知、情感與態(tài)度二、概念理解的分析框架當我理解了我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有細節(jié)，而在需要的時候重新構(gòu)造；我覺得它已經(jīng)屬于我；我可以把它解釋給別人聽。 (Duffin & Simpson, 1994)數(shù)學概念理解研究的理論假設(shè) 數(shù)學教學的根本目的是學生的理解；數(shù)學概念有自身的特點；學生對數(shù)學概念的理解存在于他自己的頭腦中；可以通過一些外部的行為特征去診斷學生頭腦中的理解；學生對數(shù)學概念的內(nèi)部理解無論在質(zhì)量上還是在數(shù)量上都超過其外部的行為特征；學生的理解是按水平發(fā)展的，不同學生的理解有不同的水平；適當?shù)慕虒W可以改進

5、學生的理解水平。概念表征的分析框架概念的意義建構(gòu)概念形成的過程框架檢驗概括形式化形成概念確認本質(zhì)屬性共同屬性各種屬性刺激模式符號表示類化抽象分化辨別概念理解的類型工具性理解：是學生運用記住的規(guī)則解決問題的能力，但學生并不清楚這個規(guī)則為什么會發(fā)生作用，因此，這種的理解一般只適用于解決那些特定類型的問題；關(guān)系性理解：是學生從更一般的數(shù)學關(guān)系中演繹出特殊規(guī)則或程序的能力；形式性理解：是指在數(shù)學術(shù)語符號和數(shù)學思想之間建立聯(lián)系，并運用邏輯推理構(gòu)建數(shù)學思想體系的能力。（Skemp, 1987, p. 166）概念理解的評價模型初步了解產(chǎn)生表象形成表象關(guān)注性質(zhì)形式化觀察評述組織結(jié)構(gòu)發(fā)明創(chuàng)造概念理解的評價工具

6、：概念圖概念圖相當于思考的過程-不論是整個過程或是局部過程；概念圖可以某種方式來加以計分，以便用來偵徹不同學生間的學習成就差異，或以前后測方式（pre-test/post-test）偵測同一學生在不同學習時間內(nèi)的成就差異；所使用的分數(shù)，彼此之間是獨立的；畫出概念圖有助于學習者的理解和回憶；教師可以使用概念圖來診斷學生在某個主題上的表現(xiàn)好壞；在這些假設(shè)前提之下，于是有各式各樣的計分方式相繼被提出。 概念圖樣例概念圖計分示意圖概誤解的三種類型 直接的實際經(jīng)驗或日常生活經(jīng)驗和觀察得來；由通常的用語或隱喻的使用得來；由正式或非正式的教學而來；同伴的觀點；來自教科書的內(nèi)容或教師教學的過程；字義的聯(lián)想、混

7、淆、沖突或缺乏知識。概念教學的工具：腳手架通過搭建腳手架降低任務(wù)的難度；是在沒有完成低層次任務(wù)的情況下也可以從事高層次的任務(wù)。功能類型引發(fā)學生參與；指出所欲學習事物的關(guān)鍵特征；提供課程相關(guān)范例供學生觀摩學習；減輕學習時的負擔；進行學習活動方向管理；掌控學習過程的疑難障礙。三、技能訓練的分析框架 雖然練習不一定會達成技能的精通，但練習是技能精通的必要條件。成為優(yōu)秀的游泳選手、音樂家，沒有在明確的指導及教學之下投入大量時間的練習是不可能的。令人詫異的是，在運動中基本技能的廣泛練習是公認的事，但卻在數(shù)學教育中很少被接納。 我不斷地練習，直到困難的變成簡單，簡單的變成習慣，習慣變成一種美。高層次數(shù)學思

8、維技能深刻性對數(shù)學概念理解透徹，有合理的概念圖，對數(shù)學定理有較好的掌握，知道其條件及適用范圍；可以自如地將其他語言等價地翻譯為數(shù)學語言；能運用分析、比較、概括等思維操作，發(fā)現(xiàn)形式不同而本質(zhì)相同的數(shù)學對象之間的內(nèi)在聯(lián)系；即使解決問題的條件不是明確給定的，也能不受表面現(xiàn)象的困擾，從表象中挖掘出隱含條件，為解決題目尋找適當?shù)臈l件； 在解決具體的問題后，能主動自覺地去尋找具有普遍意義的方法、模式，將思想、方法、結(jié)論等概括、遷移、推廣到一般的情境中靈活性思維的起點靈活，能從與題目相關(guān)的各種角度和方向去考慮問題；心理轉(zhuǎn)向比較容易，從正向思維轉(zhuǎn)為反向思維，特別是對概念的正反關(guān)系的認識，公式的正反運用，定理與

9、逆定理的靈活使用，解題時分析法與綜合法的交替使用時表現(xiàn)自如；思維轉(zhuǎn)換較為迅速，可以不受先前解題方法的影響，克服思維定勢的消極作用及自我心理限制，能根據(jù)變化及時調(diào)整思路，從而可以有的放矢地解決問題；思維的過程中善于轉(zhuǎn)化，可以很容易地化生為熟，把幾個部分看成一個整體，把一個整體分成幾個部分，也就是化零為整，化整為零高層次數(shù)學思維技能獨創(chuàng)性能對數(shù)學對象進行自己獨立的思考、分析；能從與眾不同的“新”角度觀察問題，能在貌似平常的信息中發(fā)現(xiàn)不尋常之所在，從而發(fā)現(xiàn)隱含的特殊聯(lián)系，產(chǎn)生與他人不同的解題方法和結(jié)果；不受常規(guī)的限制與束縛，富于聯(lián)想，在解題時主動聯(lián)系數(shù)學的不同分支、其他學科以及生活實際，以至思維跳躍

10、，經(jīng)常產(chǎn)生有別于常規(guī)正統(tǒng)的、創(chuàng)造性的想法批判性不會不經(jīng)思考地附和他人的意見，能堅持自己的合理看法；能夠比較不同對象之間的差異和相似性，辨析一些容易混淆的概念、形式，從而對數(shù)學對象進行分類；能評估信息資源的可靠性，判斷從一個結(jié)論導出另一個結(jié)論的充分性，因而可以發(fā)現(xiàn)其他人的解題過程或結(jié)論中的錯誤；能在有多種合情思路的情況下，對各種解題思路、方法、策略進行比較，選擇更為合理的方案，從而找出最佳的方法或結(jié)論；在解題時能對全過程進行監(jiān)控，時不時地回頭審視自己的解題過程，進行有意識的自我調(diào)節(jié)，在自我檢查中修正論證的過程和結(jié)論敏捷性能夠較快而且正確地完成對題目的文字理解；能夠迅速地判別出題目的模式，從而縮短

11、解題時間；能對最近做過的題目有清晰的記憶，能迅速反應(yīng)出解題過程及結(jié)果；能夠迅速判斷，在時間緊迫的情況下做出是否放棄解決此題的決策程序性知識獲得的三個階段陳述性階段。學習者獲得有關(guān)步驟或程序的陳述性知識。比如陳述分數(shù)加法的規(guī)則或者能夠描述在駕駛汽車時該如何換檔。在此階段，學習者對活動的完成是非常艱辛的，需要逐條記憶每一項規(guī)則，并緩慢地操作每一步驟。聯(lián)合階段。在這一階段，學習者仍需思考各個步驟的規(guī)則，但經(jīng)過練習和接收到的反饋，學習者已能將各個步驟聯(lián)合起來，流暢地完成有關(guān)的活動自動化階段。隨著進一步的練習，學習者最終進入自動化階段。在此階段，學習者常常無需意識的控制或努力就能夠自動完成有關(guān)的活動步驟

12、。例如，一個人在開車時可以一邊說話，一邊流利地換擋，在交通擁擠的路面上連續(xù)地改變方向；或者一個學生不用想著分數(shù)加法的各項規(guī)則就能快速準確地計算分數(shù)加法題，表明他們已達到自動化階段，即獲得了有關(guān)的程序性知識或技能。 安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagne et al.,1993)技能訓練的注意事項（1）訓練初期將技能活動過程展開。當學生已熟練掌握某項數(shù)學技能后，其完成該項技能的活動過程則大大簡化，組成活動的單個的操作步驟只在頭腦中迅速進行而不記錄下來。但在技能訓練初期，學習該技能及其過程時則必須充分展開其操作過程，對組成該技能的所有基本的操作步驟一一進行訓練。否則、技能的

13、掌握便不可能達到自動化熟練水平。技能訓練的時間分配要適當。練習按時間的分配可分為兩類: 一類是分散練習，指將練習的時間分為若干段，一步步進行; 另一類是集中練習，指將所學技能包含的各動作在一次時間內(nèi)完成，中間沒有休息。這兩種練習形式的效果存在差異。一般認為分散練習效果優(yōu)于集中練習。這是因為，如果在一段長時間內(nèi)練習同一技能容易使人疲勞，容易產(chǎn)生消極態(tài)度，興趣減退，從而導致練習的效果下降，而適當?shù)姆稚⒕毩?，則可使每次練習的效果都比較好。蓋伊(I.R.Gay)曾經(jīng)實驗證明:代數(shù)規(guī)則的分散練習比集中練習效果好。 技能訓練的注意事項（2）練習的形式要多樣化。適當?shù)厥咕毩暦绞蕉鄻踊粌H可以引起學生的學習興

14、趣，保持學生的注意，而且還可以培養(yǎng)學生靈活地運用技能以實現(xiàn)技能的有效遷移。其中一種重要方式就是在技能練習中編人一些訓練學生掌握新技能的練習。充分利用練習中的及時反饋的強化與矯正功能。反饋對訓練有重要影響。學生獲得反饋信息的渠道有兩個。其一是練習活動本身所顯示的結(jié)果，這一結(jié)果往往易為學生所知曉和察覺。其二是教師把練習結(jié)果。告訴學生，這主要是在練習那些從表面上不易覺察正誤的技能項目時所采用的方法。通過這兩種反饋形式及時獲悉練習的結(jié)果并對結(jié)果進行分析就能對自己掌握技能的水平做出正確評價，也就能使正確掌握技能的動作成份得到鞏固，錯誤之處得到糾正。 熟能生巧？技能錯誤的技能正確的技能錯誤的方法正確的方法

15、熟能生巧熟能生笨熟能生厭熟練熟練熟練-ACT-R對“熟能生巧”的解釋-四、問題解決的分析框架波利亞的話 一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一個重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會有點滴的發(fā)現(xiàn)。你要求解的問題可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的創(chuàng)造才能得以展現(xiàn)，而且，如果你是用自己的方法去解決它們的，那么，你就會體驗到這種緊張心情，并享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅。在易塑的青少年時期，這樣的體驗會使你養(yǎng)成善于思維的習慣，并在你的心中留下深刻的印象，甚至會影響到你一生的性格。調(diào)查：您認為目前我國數(shù)學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 給學生一條教師認為是捷徑的思路，讓學生去模仿缺少“直覺”“頓悟”式的熏

16、陶答案與方法往往只有一個標準解題思路單一，缺乏創(chuàng)新、個性題目缺少開放性與實踐活動脫節(jié)，不能密切與生活相聯(lián)系強調(diào)機械化的分析推理過程的表述，簡單問題復雜化教材中的習題，把數(shù)學鑲嵌在具體問題背景中出現(xiàn)的較灌輸?shù)慕虒W方法越來越烈知識缺乏內(nèi)在的聯(lián)系調(diào)查：您認為目前我國數(shù)學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 純粹為解題而解題太注重格式和形式教科書的例題偏容易，練習題偏難，學生在練習中困難較多，教師經(jīng)常要將某些練習題做為例題來講（中高年級尤為突出）學生只會機械解題，對為什么要這樣解題很少提出自己的意見和見解，直至有時學生能提出自己獨特的思路也被老師粗暴地否定還停留在領(lǐng)會、記憶階段，教師扶得過多，讓學生自己探

17、究的機會少個別學生有些對數(shù)學不感興趣，沒有掌握基本解題方法主要問題是解題公式化，方法單一缺少學生自由發(fā)揮的空間，老師總是牽著學生走，抑制了學生的想象力調(diào)查：您認為目前我國數(shù)學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 教師只注重解題結(jié)果的教學，而忽視解題過程的展現(xiàn)，對學生解題中存在的問題缺少分析研究局限于教本，知識面不廣考試（測驗）體制有問題還沒有一個系統(tǒng)的、行之有效的數(shù)學解題教學模式喜歡去規(guī)定一種問題是一種什么樣的解題模式。比如：喜歡把應(yīng)用題分為幾種類型解題，這樣對優(yōu)生很有幫助，但是對差生只能造成一種機械記憶，不能達到舉一反三、觸類旁通的作用只教給學生特殊的解題方法，學生缺乏一般的解題策略把解題方法分

18、類，套用公式的現(xiàn)象嚴重，停留在模仿上調(diào)查：您認為目前我國數(shù)學解題教學存在的主要問題是什么 ？ 教師帶有“強制性”，學生不能生動活潑主動地來學習題目過難框框太多；各種考試制度對學生、教師的壓力太大教學的過程只展示教師已經(jīng)做熟的問題，不能與學生同步思考一個新的數(shù)學問題四化: 把問題解決模式化；把問題解決程序化；把問題解決的過程過分的規(guī)范化；套路化。太多的數(shù)學題，重復的數(shù)學題，模式化的數(shù)學題。這種題海會影響教學的靈活性、隨意性和思想性，很難培養(yǎng)學生的獨立作業(yè)能力，學生自主思考解題的機會少，聯(lián)想、總結(jié)、回顧差習題的分析框架記憶理解探究數(shù)學習題難度因素分析框架因素層次探究識記理解探究背景無個人生活公共常

19、識科學情境運算無數(shù)值計算簡單符號運算復雜符號運算推理無簡單推理復雜推理知識含量單個知識點兩個知識點三個以上認知水平的分類記憶型任務(wù)包括對已學過的事實、法則、公式以及定義的記憶重現(xiàn)或者把事實、法則、公式和定義納入記憶系統(tǒng)。使用程序不能解決，因為不存在某種現(xiàn)成的程序或因為完成任務(wù)的限定時間太短而無法使用程序。模糊這種任務(wù)包括對先前見過的材料的準確再現(xiàn)以及再現(xiàn)的內(nèi)容可以明白而直接地陳述。與隱含于已學過的或再現(xiàn)的事實、法則、公式和定義之中的意義或概念無任何聯(lián)系無聯(lián)系的程序型算法化。程序的使用要么是特別需要，要么明顯基于先前的教學、經(jīng)驗或?qū)θ蝿?wù)的安排成功完成任務(wù)需要的認知要求有限。對于應(yīng)做些什么和如何做

20、幾乎是一目了然與隱含于程序之中的意義或概念無任何聯(lián)系。更強調(diào)得出正確答案而不是發(fā)展數(shù)學的理解。不需要解釋或需要的解釋僅僅是對解題程序的描述。有聯(lián)系的程序型為了發(fā)展對數(shù)學概念和思想的更深層次理解，學生的注意力應(yīng)集中在程序的使用上。暗示有一條路徑可以遵循（顯性地或隱性地），這種路徑即是與隱含的觀念有密切聯(lián)系的、明晰的、一般性程序。常用的呈現(xiàn)方式有多種（如可視圖表、學具、符號、問題情景）。在多種表現(xiàn)形式之間建立起有助于發(fā)展意義理解的聯(lián)系。需要某種程度的認知努力。盡管有一般的程序可資遵循，但卻不能不加考慮地應(yīng)用。為了成功完成任務(wù)和發(fā)展數(shù)學的理解，學生需要參與存在于這些程序中的觀念。 做數(shù)學需要復雜的、

21、非算法化的思維。（即任務(wù)，任務(wù)講解、或已完成的例子沒有明顯建議一個可預料的、預演好的方法或路徑借鑒。要求學生探索和理解數(shù)學觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)。要求對自己的認知過程自我調(diào)控。要求學生啟用相關(guān)知識和經(jīng)驗，并在任務(wù)完成過程中恰當使用。要求學生分析任務(wù)并積極檢查對可能的問題解決策略和解法起限制作用的因素。需要相當大的認知努力，也許由于解決策略不可預期的性質(zhì)，學生還會有某種程度的焦慮。認知水平的分類什么是“好的”數(shù)學題一個好問題必須：是容易接受的（不需要大量的技巧）有多種解題方法（或者至少有多種思路）蘊涵了重要的數(shù)學思想（好的數(shù)學）不故設(shè)陷阱(通性通法)可以進一步開展和一般化（導致豐富的數(shù)學探索活動

22、） 匈菲爾德，1994 有些數(shù)學是具有開創(chuàng)性的，有發(fā)展的，這就是好的數(shù)學。還有一些數(shù)學也蠻有意思，但漸漸變成一種游戲了。 陳省身，2004問題解決過程模型結(jié)論檢驗嘗試解題實施解題方案探究計劃原理與系統(tǒng)相關(guān)問題或新信息分析給定問題小困難主要困難匈菲爾德，1985問題解決的專家-新手比較研究問題解決的專家-新手比較研究問題解決的專家-新手比較研究問題解決的專家-新手比較研究問題解決的因素模型知識與經(jīng)驗表征與探索監(jiān)控與調(diào)節(jié)情感與信念范希爾 幾何思維水平層次0視覺 ( visuality) 層次1分析(analysis) 層次2非形式化的演繹 (informal deduction) 層次3形式的演繹

23、 (formal deduction) 層次4嚴密性( rigior ) 中小學生數(shù)學能力結(jié)構(gòu) 1. 獲得數(shù)學信息 A. 對于數(shù)學材料形式化感知的能力；對問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能力。2. 數(shù)學信息加工在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數(shù)學符號進行思維的能力。B. 迅速而廣泛地概括數(shù)學對象、關(guān)系和運算的能力。C. 縮短數(shù)學推理過程和相應(yīng)的運算系統(tǒng)的能力；以簡短的結(jié)構(gòu)進行思維的能力。D. 在數(shù)學活動中心理過程的靈活性。E. 力求解答的清晰、簡明、經(jīng)濟與合理。F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉(zhuǎn)向另一個相反思路的能力（數(shù)學推理中心理過程的可逆性）。3. 數(shù)學信息保持A.

24、 數(shù)學的記憶（關(guān)于數(shù)學關(guān)系，類型特征，論據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4. 一般綜合性組成成分 A. 數(shù)學氣質(zhì)。五、幾點建議選擇一個適合自己的研究方向 數(shù)學教育涉及的研究領(lǐng)域和方向很多，教師的工作又比較繁忙，不可能關(guān)注數(shù)學教育研究的方方面面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實地做一點自己的東西?，F(xiàn)在學術(shù)界的新觀點、新口號很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領(lǐng)潮流的畢竟只有極少數(shù)的人，大多數(shù)只能隨波逐流，容易迷失方向。大約在7年前，筆者因為出國訪學的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評價是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自己的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領(lǐng)域。從“小”做起 喜歡做大做空，是我國傳統(tǒng)教育研究的一個通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文風