數(shù)學(xué)建模案例分析線性代數(shù)模型住房貸款精選教學(xué)課件

1、第6講 代數(shù)模型 住房貸款問(wèn)題8/22/2022數(shù)學(xué)建模一、住房貸款問(wèn)題 隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融正在越來(lái)越多的進(jìn)入普通人的生活，比如貸款、保險(xiǎn)、養(yǎng)老金和信用卡等。個(gè)人住房抵押貸款就是其中重要的一項(xiàng)。下表是從2006年8月19日起開(kāi)始施行的貸款利率。 利率年限公積金(年利率)商業(yè)性(月利率)年 限調(diào)整前2006.4.28調(diào)整后2006.8.19調(diào)整前2006.4.28調(diào)整后 (下限可以到0.85) 2006.8.191-5年4.14%4.14%6.12%(下限5.51)6.48%(下限5.51)6-30年4.59%4.59%6.39%(下限5.75)6.84%(下限5.81)8/22/2022數(shù)學(xué)

2、建模 商業(yè)銀行的貸款還貸方式為三種形式，一次性還本付息法(只適用于一年期的貸款)；等額本金還款法和等額本息還款法。而等額本息還款法和等額本金還款法兩者相比較，則在貸款期限越長(zhǎng)時(shí)，等額本息還款法所需要支付的利息較多，但等額本息還款法在計(jì)算上比等額本金還款法較為容易，因此商業(yè)銀行通常在客戶未談及時(shí)，基本采用的為等額本息還款法。 試根據(jù)最新貸款利率制定一張完整的個(gè)人住房商業(yè)貸款(萬(wàn)元)還款表，貸款期從一年至30年，表中應(yīng)包括以下各項(xiàng)：貨款期(年、月)、年利率、月利率，月還款額和本息總額。8/22/2022數(shù)學(xué)建模 城市住房公積金是政府用于解決行政事業(yè)單位職工及中低收入的居民住房問(wèn)題的專項(xiàng)基金。城市住

3、房基金從同級(jí)財(cái)政現(xiàn)在用于住房建設(shè)、維修、管理和補(bǔ)貼的資金，當(dāng)?shù)靥崛∽》抗潭ㄙY產(chǎn)投資方向調(diào)節(jié)稅、房地產(chǎn)稅、土地使用權(quán)出讓金，以及出售屬于國(guó)有資產(chǎn)的住房回收資等渠道籌集。 二、住房貸款背景知識(shí)1. 住房公積金貸款 建立職工住房公職金是我國(guó)推行住房制度改革的一項(xiàng)措施，目的在于由國(guó)家、集體、個(gè)人三方共同負(fù)擔(dān)，解決職工住房困難。 8/22/2022數(shù)學(xué)建模 建立職工住房公積金的作用：（1）籌集住房資金；（2）提高職工個(gè)人購(gòu)房、建房能力；（3）使房屋福利分配制向房屋貨幣化分配轉(zhuǎn)變。 按照規(guī)定，凡是繳存公積金的職工均有享受此種貸款的權(quán)利，均可按公積金貸款的有關(guān)規(guī)定，申請(qǐng)公積金貸款。 住房公積金是一種義務(wù)性住

4、房?jī)?chǔ)金。它是按照國(guó)家政策規(guī)定，通過(guò)個(gè)人存儲(chǔ)、單位資助的辦法建立的一筆屬于個(gè)人的住房消費(fèi)資金，專項(xiàng)用于個(gè)人支付住房方面的費(fèi)用。8/22/2022數(shù)學(xué)建模 住房公積金貸款的優(yōu)點(diǎn): 貸款利率低，目前比商業(yè)貸款低1個(gè)百分點(diǎn)左右。在相同擔(dān)保方式下，貸款中的費(fèi)用一般也比商業(yè)貸款低，而在住房公積金貸款中采用抵押加保險(xiǎn)的較高費(fèi)用的擔(dān)保方式時(shí)，貸款費(fèi)用一般比商業(yè)貸款高，但貸款費(fèi)用和利息負(fù)擔(dān)之和仍要比商業(yè)貸款低，而且保險(xiǎn)公司要承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任和風(fēng)險(xiǎn)。 實(shí)際貸款期限要比商業(yè)貸款長(zhǎng)，雖然兩種貸款文件規(guī)定最長(zhǎng)貸款期限目前都是30年，但一般商業(yè)貸款實(shí)際不會(huì)放到30年。 抵押率高，住房公積金貸款最高可以貸到房?jī)r(jià)的90，而商業(yè)

5、貸款最高只能達(dá)到80。 8/22/2022數(shù)學(xué)建模2. 住房商業(yè)貸款 個(gè)人住房商業(yè)貸款是我國(guó)公民因購(gòu)買商品房而向銀行申請(qǐng)的一種貸款，依據(jù)有關(guān)銀行規(guī)定，凡符合下列兩種情況之一的，即可申請(qǐng)貸款品種：一是參加住房?jī)?chǔ)蓄的居民；二是住房出售商和貸款銀行有約定，由房地產(chǎn)擔(dān)保企業(yè)為居民購(gòu)房貸款向銀行提供擔(dān)保。 商業(yè)貸款合同必須由售房人、購(gòu)房人、貸款銀行三方共同簽訂合同，方能生效。個(gè)人住房商業(yè)貸款金額限制在總房?jī)r(jià)的70%，在申請(qǐng)商業(yè)貸款之前，個(gè)人必須先付出總房?jī)r(jià)30%的購(gòu)房款。8/22/2022數(shù)學(xué)建模 由于委托律師，手續(xù)相對(duì)于公積金貸款一般更簡(jiǎn)便一些，但住房公積金貸款目前也可以委托代理公司幫助辦理。由于住房

6、公積金貸款是委托貸款，商業(yè)貸款辦理速度一般相應(yīng)也更快一些。最高貸款額度比住房公積金貸款要高，住房公積金貸款目前最高只能貸到39萬(wàn)元。在住房公積金貸款采用抵押加保險(xiǎn)的擔(dān)保方式時(shí)，商業(yè)貸款前期貸款費(fèi)用一般比住房公積金貸款要少。 商業(yè)貸款的優(yōu)點(diǎn): 由于住房公積金貸款比商業(yè)貸款多了保險(xiǎn)的擔(dān)保方式，不一定必須開(kāi)發(fā)商擔(dān)保，所以商業(yè)貸款中開(kāi)發(fā)商提供保證擔(dān)保的更多一些。8/22/2022數(shù)學(xué)建模3. 等額本息還款法 等額本息還款方式是在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)，這樣由于每月的還款額固定，可以有計(jì)劃地控制家庭收入的支出，也便于每個(gè)家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。4.等額本金還款法

7、 等額本金還款法(遞減法)就是借款人每月以相等的額度償還貸款本金,利息隨本金逐月遞減,每月還款額亦逐月遞減。8/22/2022數(shù)學(xué)建模(1) 計(jì)算方法不同 等額本息還款法為借款人每月以相等的金額償還貸款本息。 等額本金還款法為借款人每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減。5、兩種還貸方式比較(2) 兩種方法支付的利息總額不一樣 在相同貸款金額、利率和貸款年限的條件下，“本金還款法”的利息總額要少于“本息還款法”。8/22/2022數(shù)學(xué)建模(4) 還款前后期的壓力不一樣 因?yàn)椤氨鞠⑦€款法”每月的還款金額數(shù)是一樣的，所以在收支和物價(jià)基本不變的情況下，每次的還款壓力是一樣的；“本金還款法”每次還款

8、的本金一樣，但利息是由多到少、依次遞減，同等情況下，后期的壓力要比前期輕得多。(3) 還款前幾年的利息、本金比例不一樣 “本息還款法”前幾年還款總額中利息占的比例較大(有時(shí)高達(dá)90%左右)，“本金還款法”的本金平攤到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高時(shí)也就各占50%左右。8/22/2022數(shù)學(xué)建模 另外，等額本息還款法操作起來(lái)比較簡(jiǎn)單，每月金額固定，不用再算來(lái)算去。一般來(lái)講，等額本息還款法適用于現(xiàn)期收入少，負(fù)擔(dān)人口少，預(yù)期收入將穩(wěn)定增加的借款人，如部分年輕人，而等額本金還款法則適合有一定積蓄，但家庭負(fù)擔(dān)將日益加重的借款人，如中老年人。8/22/2022數(shù)學(xué)建模三、等額本息貸款還款表的

9、制定1. 問(wèn)題 一個(gè)人購(gòu)房進(jìn)行商業(yè)貸款，并按照等額本息還款方式還款，試制定一張完整的個(gè)人住房商業(yè)貸款(萬(wàn)元)還款表，貸款期從一年至30年，表中應(yīng)包括以下各項(xiàng)：貨款期(年、月)、年利率、月利率，月還款額和本息總額。2. 變量假設(shè) M：貸款總額 n： 貸款時(shí)間(月) R： 貸款年利率 r： 貸款月利率 m：月還款數(shù) Ak：貸款后第k個(gè)月時(shí)欠款余數(shù)8/22/2022數(shù)學(xué)建模3. 模型建立 Ak+1= Ak+ r Ak - m k=0,1 , , n (1)這是一個(gè)差分方程，其中A0=M（貸款總額），n為貸款時(shí)間(月)。 由于貸款第k個(gè)月時(shí)欠款余數(shù)為Ak元，月還款m元，那么到了第k+1個(gè)月，Ak變化到

10、Ak+1,除了還款數(shù)m以外,還有利息，根據(jù)月利率r，則到了第k+1個(gè)月增加的利率是rAk ,由此可以得到下面的關(guān)系式： 8/22/2022數(shù)學(xué)建模3. 模型求解 如果貸款時(shí)間為n個(gè)月，則逐月還款后，到第n個(gè)月的還款余額即為 An=0 (2) 在這里我們主要是為了求解每月的還款額m，為此令 Bk=Ak-Ak-1 ， k=1,2 , , n (3)于是由 Ak+1= Ak+ r Ak - m Ak= Ak-1+ r Ak-1 m二式相減得到： Bk+1=(1+r)Bk k=1,2 , , n (4)可以遞推出 Bk+1= B1 (1+r)k k=1,2 , , n (5)8/22/2022數(shù)學(xué)建模

11、于是由Bk=Ak-Ak-1可以推出 Ak =Bk +Ak-1= Bk +Bk-1+Ak-2= . = Bk +Bk-1+.+B1+A0再由(5)得到 Ak -A0 = B1 +B2+ . + Bk = B11+(1+r)+.+ (1+r)k-1Bk= B1 (1+r)k-1 8/22/2022數(shù)學(xué)建模于是由可以解得 (6) 取k=n,并令A(yù)n=0，解得月還款額： (7) 也就是每月等額還本付息額=其中：還款期數(shù)=貸款年限12。 (8) 8/22/2022數(shù)學(xué)建模 如果向商業(yè)銀行貸款1萬(wàn)元，即A0=M=10000元，貸款兩年，即n=24，根據(jù)最新商業(yè)貸款年利率R=6.48%，則求得月利率r=R/

12、12=6.48%/12=5.4。將這些數(shù)據(jù)代入上式得到月還款額每月還款445.37元，兩年后還清。共計(jì)還款 445.3724=10688.93元兩年的利息共計(jì)688.93元。由此可以制定出商業(yè)貸款等額本息還款表。8/22/2022數(shù)學(xué)建模年份月數(shù)年利率(%)月利率()月還款額 本息總額總利息1126.485.40到期一次還本付息10648.0000648.00002246.485.40445.372110688.9310688.93103366.485.40306.399011030.36421030.36424486.485.40237.057311378.75031378.75035606

13、.485.40195.567811734.06901734.06906726.845.70169.722812220.04222220.04227846.845.70150.145912612.2520 2612.2520 8966.845.70135.542313012.0618 3012.0618 91086.845.70124.2539 13419.4190 3419.4190 101206.845.70115.285513834.26473834.2647111326.845.70108.004014256.53354256.5335121446.845.70101.987214686

14、.15384686.1538131566.845.7096.942615123.04835123.0483141686.845.7092.661515567.13425567.1342151806.845.7088.990716018.32306018.3230表一：商業(yè)貸款等額本息還款表 8/22/2022數(shù)學(xué)建模年份月數(shù)年利率(%)月利率()月還款額 本息總額總利息161926.845.7085.815216476.52146476.5214172046.845.7083.047216941.63106941.6310182166.845.7080.618317413.54907413.5

15、490192286.845.7078.474417892.16847892.1684202406.845.7076.572418377.37818377.3781212526.845.7074.877218869.06358869.0635222646.845.7073.360319367.10649367.1064232766.845.7071.997819871.38609871.3860242886.845.7070.770120381.778310381.7783253006.845.7069.660520898.157410898.1574263126.845.7068.655121

16、420.394811420.3948273246.845.7067.741921948.360611948.3606283366.845.7066.910522481.9232 12481.9232 293486.845.7066.152223020.949813020.9498303606.845.7065.459223565.306813565.3068如果貸款20萬(wàn)，期限20年，則每月還款 76.572420=1531.45元，共計(jì)還款18377.378120=367547.56元，利息共計(jì)167547.56元。 8/22/2022數(shù)學(xué)建模 針對(duì)公積金貸款1-5年的年利率為R=4.14%

17、，6-30年的年利率為R=4.59%，按照公式(7)可以制作出同樣的公積金貸款等額本息還款表，留作練習(xí)。 (7) 表二：公積金貸款等額本息還款表 年份月數(shù)年利率(%)月利率()月還款額 本息總額總利息1124.143.45到期一次還本付息10414.0000 414.0000 2244.143.453364.143.454484.143.455604.143.45184.797711087.86081087.86086724.593.8258/22/2022數(shù)學(xué)建模四、等額本金貸款還款表1. 問(wèn)題 一個(gè)人購(gòu)房進(jìn)行商業(yè)貸款，并按照等額本金還款方式還款，試制定一張完整的個(gè)人住房商業(yè)貸款(萬(wàn)元)還款

18、表，貸款期從一年至30年，表中應(yīng)包括以下各項(xiàng)：貨款期(年、月)、年利率、月利率，月還款額和本息總額。2. 變量假設(shè) M：貸款總額 n： 貸款時(shí)間(月) R： 貸款年利率 r： 貸款月利率 m：月還款數(shù) Ak：貸款后第k個(gè)月時(shí)欠款余數(shù)8/22/2022數(shù)學(xué)建模3. 模型的建立根據(jù)等額本金還款方式，每月的還款金額計(jì)算公式為每月還款額= (9)也就是(10)其中(11) 因?yàn)槊吭職w還的本金M/n是等額的，所以到第k個(gè)月歸還的本金總額由(11)計(jì)算。8/22/2022數(shù)學(xué)建模4. 具體計(jì)算 假設(shè)某人貸款一萬(wàn)元，期限兩年，并計(jì)劃按照等額本金還款方式進(jìn)行還款，試建立一張還款計(jì)劃表。 %zhufangdk0

19、2.mM=10000;n=input(請(qǐng)輸入貸款月數(shù)n=) %貸款時(shí)間R=input(請(qǐng)輸入貸款利率R=) %商業(yè)貸款：1-5年6.48%， 6-30年6.84%R=R/100; %公積金貸款：1-5年4.14%，6-30年4.59%r=R/12; k=1:24;m=M/n+(M-(k-1)*M/n)*r；fprintf(%d個(gè)月每月的還款金額,n)m=m解：已知商業(yè)貸款1-5年的利率為R=6.48%, 貸款總額M=10000元, 貸款時(shí)間n=24個(gè)月，根據(jù)計(jì)算公式編寫出每個(gè)月還貸的計(jì)算程序。8/22/2022數(shù)學(xué)建模表三：商業(yè)貸款等額本金還款表(2年貸款1萬(wàn)元) 月數(shù)年利率(%)月利率()月

20、還款額月還款本金月還款利息累積還款總額16.485.40470.6667416.666754.0000470.666726.485.40468.4167416.666751.7500939.083436.485.40466.1667416.666749.50001405.250146.485.40463.9167416.666747.25001869.166856.485.40461.6667416.666745.00002330.833566.845.70459.4167416.666742.75002790.250276.845.70454.1667416.666737.50003244.

21、416986.845.70454.9167416.666738.25003699.333696.845.70452.6667416.666736.00004152.0003106.845.70450.4167416.666733.75.004602.417116.845.70448.1667416.666731.50005050.5837126.845.70445.9167416.666729.25005496.5004136.845.70443.6667416.666727.00005940.16718/22/2022數(shù)學(xué)建模 兩年后該貸款人還款總額為10672元，所還利息為672元。 如果

22、兩年貸款10萬(wàn)元，則兩年后還款總額為1067210=106720元。所還利息總額為67210=6720元。 月數(shù)年利率(%)月利率()月還款額月還款本金月還款利息累積還款總額146.845.70441.4167416.666724.75006381.5838156.845.70439.1667416.666722.50006820.7505166.845.70436.9167416.666720.25007257.6672176.845.70434.6667416.666718.00007692.3339186.845.70432.4167416.666715.75008124.7506196

23、.845.70430.1667416.666713.50008554.9173206.845.70427.9167416.666711.25008982.834216.845.70425.6667416.66679.00009408.5007226.845.70423.4167416.66676.75009831.9174236.845.70421.1667416.66674.500010253.0841246.845.70418.9167416.66672.250010672.00088/22/2022數(shù)學(xué)建模五、后記 從某種意義上說(shuō)，購(gòu)房還貸，等額本金法(遞減法)未必優(yōu)于等額本息法(等額法)，到底選擇什么樣的還貸方法還要因人而異。 “等額本息還款法”就是借款人每月始終以相等的金額償還貸款本金和利息，償還初期利息支出最大，本金就還得少，以后隨著每月利息支出的逐步減少，歸還本金就逐步增大； 1.等額本息還款法和等額本金還款法的比較 “等額本金還款法”(遞減法)就是借款人每月以相等的額度償還貸款本金，利息隨本金逐月遞減，每月還款額亦逐月遞減。8/22/2022數(shù)學(xué)建模 兩種還款方法都是隨著剩余本金的逐月減少，利息也將逐月遞減，都是按照客戶占用管理中心資金的時(shí)間價(jià)值來(lái)計(jì)算的。 由于“等額本金還款法”較“等額本息還款法”而言同期較多地歸還貸款本金，因此以后各期