-高考全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)立體幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)(附詳細(xì)解析)

1、2012-2018年新課標(biāo)全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)匯編立體幾何一、選擇題【2017，6】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是（）【2016，7】如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是283，則它的表面積是（）A17B18C20D28【2016，11】平面過(guò)正方體ABCDABCD的頂點(diǎn)A，平面CBD，平面ABCDm，111111平面ABBAn，則m,n所成角的正弦值為（）11A32321BCD323【2015，6】九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如

2、下問(wèn)題：“今有委M依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為M幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放M（如圖，M堆為一個(gè)圓錐的四分之一），M堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，M堆的高為5尺，M堆的體積和堆放的M各位多少？”已知1斛M的體積約為162立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的M有()A14斛B22斛C36斛D66斛【2015，11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20，則r=()BA1B2C4D8【2015，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】【2014，8】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，

3、粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()A三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱【2013，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168B88C1616D816【2012，7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為A6B9C12D151/17【2012，8】平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為2，則此球的體積為（）A6B43C46D63【2018，5】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，該圓柱的表面積為A.12B.12C.8D.10【2018，9】

4、某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A.2B.C.3D.2【2018，10】在長(zhǎng)方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積BB1C1C所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的體積為A.8B.6C.8D.8二、填空題【2017，16】已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)【2013，15】已知H是球

5、O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)三、解答題【2017，18】如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱錐832/17【2016，18】如圖所示，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G（1）求證：G是AB的中點(diǎn)；（2）在題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積PAEGDCB【2015，18】如圖四邊形

6、ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE平面ABCD，()證明：平面AEC平面BED；()若ABC=120，AEEC，三棱錐E-ACD的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積【2014,19】如圖，三棱柱ABCABC中，側(cè)面BBCC為菱形，BC的中點(diǎn)為O，且AO平111111面BBCC.11（1）證明：BCAB;1（2）若ACAB,CBB60,BC1,求三棱柱ABCABC的高.111113/17【2013，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的體積4/172【2012，19】如圖，三棱

7、柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90，AC=BC=1AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：平面BDC1平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比A1C1B1DCBA【2018，18】如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，ACM=90，以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA。（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）Q為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，且BP=DQ=DA，求三棱錐Q-ABP的體積。解讀一、選擇題【2017，6】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接AB

8、與平面MNQ不平行的是（）【解法】選A由B，ABMQ，則直線(xiàn)AB平面MNQ；由C，ABMQ，則直線(xiàn)AB平面MNQ；由D，ABNQ，則直線(xiàn)AB平面MNQ故A不滿(mǎn)足，選A【2016，7】如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是28，則它的表面積是（）35/17A17B18C20D28得R2該幾何體的表面積等于球的表面積的，加上3個(gè)截面的面積，每個(gè)截面是圓面的，所以該幾何體的表面積為S717428解讀：選A由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球截去球的，設(shè)球的半徑為R，則R388337184142232214317故選A84，解【2016，11】平面過(guò)正方體

9、ABCDABCD的頂點(diǎn)A，平面CBD，111111平面ABBAn，則m,n所成角的正弦值為（）11平面ABCDm，A32321BCD323解讀：選A解法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖所示通過(guò)尋找線(xiàn)線(xiàn)平行構(gòu)造出平面，即平面AEF，即研究AE與AF所成角的正弦值，易知EAFEDACBFD1A1C1B133，所以其正弦值為故選A2：解法二（原理同解法一）過(guò)平面外一點(diǎn)A作平面，并使平面CBD，不妨將點(diǎn)A變換成B，作11使之滿(mǎn)足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面ABD，如圖所示，即研究AB與BD所成角11的正弦值，易知ABD133，所以其正弦值為故選A26/17DCBD1AA1C1B1

10、【2015，6】九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委M依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為M幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放M（如圖，M堆為一個(gè)圓錐的四分之一），M堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，M堆的高為5尺，M堆的體積和堆放的M各位多少？”已知1斛M的體積約為162立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的M有()BA14斛B22斛C36斛D66斛116解：設(shè)圓錐底面半徑為r，依題23r8r43，所以M堆的體積1116320320為3()25，故堆放的M約為16222，故選B43399【2015，11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三

11、視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20，則r=()BA1B2C4D8解：該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為2r2+r2r+r2+2r2r=5r2+4r2=16+20，解得r=2，故選B【2014，8】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()BA三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱解：幾何體是一個(gè)橫放著的三棱柱故選B【2013，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()V半圓柱12248，V長(zhǎng)方體42216所以所求體積為168故選AA168B88C1616D816解讀：選

12、A該幾何體為一個(gè)半圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的一個(gè)組合體2【2012，7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A6B9C12D157/17【解讀】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐A-BCD，底面BCD為底邊為6，高為3的等腰三角形，側(cè)面ABD底面BCD，AAO底面BCD，因此此幾何體的體積為BOD11V(63)39，故選擇B32C【2012，8】8平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為2，則此球的體積為（）A6B43C46D63【解讀】如圖所示，由已知OA1，OO2，11在RtOOA中，球的半徑ROA3，14所以此球的體積VR343，故

13、選擇B3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察球面的性質(zhì)及球的體積的計(jì)算【2011，8】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）【解讀】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形故選D【2018，5】已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，該圓柱的表面積為B【2018，9】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑

14、的長(zhǎng)度為BA.2B.C.3D.2【2018，10】在長(zhǎng)方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平BB1C1C所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的體積為C面A.8B.6C.8D.88/17二、填空題【2017，16】已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)【解讀】取SC的中點(diǎn)O，連接OA,OB，因?yàn)镾AAC,SBBC，所以O(shè)ASC,OBSC，因?yàn)槠矫鍯CSAC平面SB，所以O(shè)A平面SB，設(shè)OAr，33233VASBC11111SOA2rrrr3，所以r39r3，SBC所以球的表

15、面積為4r236【2013，15】已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)答案：92解讀：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則AH2RR，OH又EH2，EH1在eqoac(,Rt)OEH中，R2333+12，R2S球4R2R29982【2011，16】已知兩個(gè)圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的316，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為【解讀】設(shè)圓錐底面半徑為r，球的半徑為R，則由r24R2，知r2R233164根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過(guò)球心O，且兩圓錐的頂

16、點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn)，因此PBQB設(shè)POx，QOy，則xy2R又POeqoac(,B)BOQ，知r2OB2xy即xyr234R2由及xy可得x3RR,y229/171則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為3故答案為13PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積三、解答題【2017，18】如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱錐83【解法】（1）BAPCDP90，ABAP,CDDP又ABCDABDP又AP平面PAD，DP平面PAD，且APDPPAB平面PADAB平面PAB，所

17、以平面PAB平面PAD（2）由題意：設(shè)PAPDABDC=a，因?yàn)锳PD90，所以PAD為等腰直角三角形即AD=2a取AD中點(diǎn)E，連接PE，則PE又因?yàn)槠矫鍼AB平面PAD所以PE平面ABCD因?yàn)锳B平面PAD，ABCD所以ABAD，CDAD又ABDC=a所以四邊形ABCD為矩形22a，PEAD10/17PABCD1所以V332a1ABADPEa即a211S=223+226=6+23側(cè)22218aa3233【2016，18】如圖所示，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G（1）求證：G是AB的中

18、點(diǎn)；（2）在題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積PAEGDCB解讀：（1）由題意可得ABC為正三角形，故PAPBPC6因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，故PD平面ABC又AB平面ABC，所以ABPD因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，故DE平面PAB又AB平面PAB，所以ABDE因?yàn)锳BPD，ABDE，PDDED，PD,DE平面PDG，所以AB平面PDG又PG平面PDG，所以ABPG因?yàn)镻APB，所以G是AB的中點(diǎn)（2）過(guò)E作EFBP交PA于F，則F即為所要尋找的正投影11/17PFAEGDCB理由如下，因?yàn)镻BPA，PBEF，故EFPA同理EF

19、PC，又PAPCP，PA,PC平面PAC，所以EF平面PAC，故F即為點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影eqoac(,S)PEFDEPFEFDE所以VDPEF1136在PDG中，PG32，DG6，PD23，故由等面積法知DE2EF2，故V由勾股定理知PE22，由PEF為等腰直角三角形知PF43DPEF【2015，18】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE平面ABCD，()證明：平面AEC平面BED；()若ABC=120，AEEC，三棱錐E-ACD的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積解：()BE平面ABCD，BEACABCD為菱形，BDAC，AC平面BED，又AC平面AEC，平面AEC平面BE

20、D6分()設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120可得，x，GB=GD=在RtAEC中，可得EG=xAG=GC=32x322在RtEBG為直角三角形，可得BE=22x9分EACDACGDBE1166Vx3，解得x=232243由BA=BD=BC可得AE=ED=EC=6AEC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為5所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2512分12/1718解讀（1）因?yàn)锽E平面ABCD，所以BEAC又ABCD為菱形，所以ACBD又因?yàn)锽DBEB，BD，BE平面BED，所以AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（2）在菱形ABCD中，取ABBCCDAD2

21、x，又ABC120，所以AGGC3x，BGGDx在AEC中，AEC90，所以EG12AC3x，所以在RtEBG中，BEEG2BG22x，所以VEACD11662x2xsin1202xx3，解得x13233在RtEBA，eqoac(,Rt)EBC，eqoac(,Rt)EBD中，可得AEECED6所以三棱錐的側(cè)面積S11側(cè)2225266325【2014,19】如圖，三棱柱ABCABC中，側(cè)面BBCC為菱形，BC的中點(diǎn)為O，且AO平111111面BBCC.11CBB1=60，所以CBB1為等邊三角形，又BC=1，可得OD=，由于ACAB1，OABC，ADOD2OA2，（1）證明：BCAB;1（2）若

22、ACAB,CBB60,BC1,求三棱柱ABCABC的高.11111證明：()連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)，AO平面BB1C1C.AOB1C，2分因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，BC1B1C，4分BC1平面ABC1，AB平面ABC1，故B1CAB.6分()作ODBC，垂足為D，連結(jié)AD，AOBC，BC平面AOD，又BC平面ABC，平面ABC平面AOD，交線(xiàn)為AD，作OHAD，垂足為H，OH平面ABC.9分34111722413/17由OHAD=ODOA，可得OH=2114，又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。12分212177另解(等

23、體積法)：CBB1=60，所以CBB1為等邊三角形，又BC=1，由于ACAB1，OABC，AB=1，AC=，9分可得BO=321121222則等腰三角形ABC的面積為122712()22248，設(shè)點(diǎn)B1到平面ABC的距離為d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，d,解得d所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。12分731218427217【2013，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C6，求三棱柱ABCA1B1C1的體積證明：(1)取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB由于AB

24、AA1，BAA160，故eqoac(,AA)1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C又AC平面OA1C，故ABA1Ceqoac(,1)(2)解：由題設(shè)知ABC與eqoac(,AA)1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)COA13又A1C6，則A1C2OC2OA12，故OA1OC因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1平面ABC，OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積eqoac(,S)ABC3，故三棱柱ABCA1B1C1的體積Veqoac(,S)ABCOA13【2012，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90，AC=BC=14/1712AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：平面BDC1平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【解讀】（1）在RtDAC中，ADAC，得：ADC45，同理：ADC45CDC90，111C1A1B1D得：DCDC1ACB由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACCA11又DC平面ACCA，所以DCBC1111而DCBCC，所以DC平面BDC1又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC（2）由已知