2015年福州一中自主招生數(shù)學(xué)卷

1、福州一中2015年高中招生（面向福州以外地區(qū)）綜合素質(zhì)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（滿分100分，考試時(shí)間60分鐘）學(xué) 校 姓 名 準(zhǔn)考證號(hào) 注意：請(qǐng)將選擇題、填空題、解答題的答案填寫在答題卡上的相應(yīng)位置一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）0ABCD2打開某洗衣機(jī)開關(guān)（洗衣機(jī)內(nèi)無水），在洗滌衣服時(shí)，洗衣機(jī)經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量（升）與時(shí)間（分鐘）之間滿足某種函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖像大致為（） A B C D3對(duì)福州市自行車協(xié)會(huì)某次野外訓(xùn)練的中學(xué)生的

2、年齡進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：年齡（歲）人數(shù)（人）則這些學(xué)生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A，B，C，D，4下圖是一個(gè)切去了一個(gè)角的正方體紙盒，切面與棱的交點(diǎn)均是棱的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙盒剪開展成平面，則展開圖不可能是（） A B C D5如下圖所示，矩形紙片中，將其折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得折痕，則的值是（）ABCD 第5題圖 第6題圖6如上圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為的正方形，邊、分別在軸、軸上，如果以對(duì)角線為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)角線為邊作第三個(gè)正方形，照此規(guī)律作下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）AB CD 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）7對(duì)正實(shí)數(shù)作定義，若，則8已知一個(gè)口袋中裝有個(gè)只有顏色不

3、同的球，其中個(gè)白球，個(gè)黑球，若往口袋中再放入個(gè)白球和個(gè)黑球，從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，與軸相切，與軸相切若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且的半徑是的半徑的倍，則點(diǎn)的坐標(biāo)為10若關(guān)于的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11將一副三角板按下圖1所示的位置擺放，使得兩塊三角板的直角邊和重合已知，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后（如圖2），兩個(gè)三角形重疊（陰影）部分的面積是 圖1 圖212甲、乙、丙、丁、戊與小強(qiáng)六位同學(xué)參加乒乓球比賽，每兩人都要比賽一場(chǎng)，到現(xiàn)在為止，已知甲賽了場(chǎng)，乙賽了場(chǎng)，丙賽了場(chǎng)，丁賽了場(chǎng)，戊賽了場(chǎng)，則小強(qiáng)賽了場(chǎng)三、解答題

4、（本大題共3小題，滿分40分）13（本小題滿分13分）如圖，過圓直徑的兩端點(diǎn)各引一條切線，在圓上取一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交兩切線于（1）求證：；（2）如果圓的半徑為，且，求的長14（本小題滿分13分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（1）求該拋物線的解析式； （2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)的周長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值 圖1 備用圖15（本小題滿分14分）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究各種多邊形數(shù)比如： 圖1 圖2他們研究過圖1中的， ，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的， ，這樣的數(shù)為正方形數(shù)（四邊形數(shù)）（1）請(qǐng)你寫出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)且大于的最小正整數(shù)為 ；（2）試證明，當(dāng)為正整數(shù)