矩陣運(yùn)算法則

1、矩陣的轉(zhuǎn)置、乘法（初等變換）、逆1課堂上課內(nèi)容提要矩陣的下列運(yùn)算的性質(zhì)與應(yīng)用乘法轉(zhuǎn)置初等變換逆2課堂上課定義由定義，一個行矩陣與一個 列矩陣的乘積是一個一階方陣，也就是一個數(shù)：乘法3課堂上課 定義中矩陣(=AB)的元素cij是矩陣A 的 第i 行元素與矩陣B的第j 列對應(yīng)元素乘積之和. 注意 只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣(左矩陣)的列數(shù)等 于第二個矩陣(右矩陣)的行數(shù)時，兩個矩陣才 能相乘.4課堂上課矩陣的乘法滿足下述運(yùn)算規(guī)律5課堂上課矩陣的冪 A 是一個n 階矩陣, k 是一個正整數(shù),規(guī)定矩陣的冪滿足規(guī)律其中 k , l 為正整數(shù).對于兩個 n 階矩陣 A與 B，一般說例 86課堂上課矩陣的轉(zhuǎn)置定義 把

2、矩陣A的行列（按原順序互換）互換所得到的矩陣稱為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，以AT表示。 即 A(aij)mn，AT(aji)nm 7課堂上課 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運(yùn)算規(guī)律(ABC)TCTBTAT對于多個矩陣相乘，有8課堂上課證明：設(shè)記由矩陣的乘法定義，有而BT的第i行為AT的第j列為因此所以即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.9課堂上課方陣的行列式運(yùn)算滿足下述規(guī)律 : 定義 由 n 階矩陣 A 的元素（按原來的位置）稱為方陣 A 的行列式,構(gòu)成的行列式，方陣的行列式10課堂上課那么于是11課堂上課2. 設(shè) A 為 3 階矩陣, 那么于是12課堂上課初等矩陣 & 初等變換 Recall 練習(xí)三種初等變換

3、13課堂上課1 設(shè)A=計算并總結(jié)規(guī)律。()A()A14課堂上課AAAA(3)(5)(4)(6)15課堂上課16課堂上課AA17課堂上課AA18課堂上課AA19課堂上課 定義 由單位 矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.初等矩陣的概念20課堂上課第i列第j列21課堂上課22課堂上課i列j列23課堂上課第i 列24課堂上課25課堂上課26課堂上課27課堂上課28課堂上課Inverse Matrix29課堂上課按照矩陣的乘法，線性方程組可表示為矩陣的乘積 Ax = b 的形式，其中如果 m=n, 可考慮 x=b/A30課堂上課一、概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)

4、時，有其中 為 的倒數(shù)， （或稱 的逆）； 在矩陣的運(yùn)算中，單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的1。 因此在矩陣的運(yùn)算中可以相應(yīng)的引入逆矩陣的概念。31課堂上課二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的一個逆矩陣.使得例 設(shè)32課堂上課說明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是唯一的.事實(shí)上若設(shè) 和 是 的逆矩陣，則有可得所以 的逆矩陣是唯一的。A的逆記為 ，即 AA-1=A-1A=E。33課堂上課例 設(shè)解設(shè) 是 的逆矩陣,則 利用待定系數(shù)法34課堂上課又因?yàn)樗?5課堂上課矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法36課堂上課37課堂上課 先就 3 階

5、矩陣給出證明.證 設(shè)于是有因此同理可證，= 0= 0= 038課堂上課 證 設(shè) A = ( a i j )nn , 也就是于是有因此同理可證，39課堂上課定理1 矩陣 可逆的充要條件是 ，且 證明若 可逆，40課堂上課41課堂上課按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義42課堂上課推論證明逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)43課堂上課證明44課堂上課證明45課堂上課46課堂上課例1 求方陣 的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法47課堂上課同理可得故48課堂上課解 例249課堂上課50課堂上課另一種常用的求矩陣逆的方法伴隨矩陣的方法理論上完善，但計算量大下面用矩陣的初等（行）變換來求先講方法，后介紹其中的道理（也可

6、課后思考）51課堂上課逆矩陣的求法 若矩陣A可逆，則矩陣A總可以經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣。 如果把同樣的變換施加在單位矩陣上，得到的就是A的逆矩陣。 因此，我們通常把矩陣A與單位矩陣I并列，構(gòu)成一個n2n矩陣，記作A E，再經(jīng)過初等行變換化為E A-1，這樣就得到了A-1。 52課堂上課 解例53課堂上課54課堂上課利用矩陣求解方程55課堂上課按照矩陣的乘法，線性方程組可表示為矩陣的乘積 Ax = b 的形式，其中如果 m=n, 可考慮 x=b/A 56課堂上課例: 求解線性方程組 57課堂上課58課堂上課反 思 59課堂上課理論分析60課堂上課 定理1 設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次

7、初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣二、初等矩陣的應(yīng)用61課堂上課62課堂上課 定理2 設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣證即63課堂上課利用初等變換求逆陣的方法：64課堂上課即初等行變換65課堂上課例解66課堂上課67課堂上課68課堂上課列變換列變換69課堂上課解例370課堂上課71課堂上課 例1. 3 -1 設(shè)A ，求A-1 2 -1 解： 3 -1 1 0 +(-1) 1 0 1 -1 +(-2) 2 -1 0 1 2 -1 0 1 1 0 1 -1 (-1) 1 0 1

8、 -1 0 -1 -2 3 0 1 2 -3 1 -1 則A-1 2 -3 這表明A不是滿秩矩陣，則A不可逆，A-1不存在，因?yàn)锳I的左邊不能化為單位矩陣。 所以，如果在階梯化的過程中出現(xiàn)了0行，則表示矩陣不可逆。72課堂上課二、解矩陣方程 解矩陣方程AXB，即求矩陣X滿足此等式。 如果矩陣A可逆,把等式兩邊左乘A-1，即得A-1AXA-1B，于是XA-1B 因此，先求出A-1，再做矩陣的乘法即可。例4. 解矩陣方程AXB，其中 -2 1 0 5 -1 A 1 -2 1 ，B -2 3 0 1 -2 1 473課堂上課 解： -2 1 0 1 0 0 1 -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 1 -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 0 0 -4 1 2 3 1 0 0 -3/4 -1/2 -1/4 0 1 0 -1/2 -1 -1/2 0 0 1 -1/4 -1/2 -3/4 3 2 1 A-1-1/4 2 4 2 1 2 3 74課堂上課 3 2 1 5 -1 XA-1B-1/4 2 4 2 -2 3 1 2 3 1 4 12 71/4 4 18 4 1775課堂上課76課堂