高二數(shù)學(xué)文科選修1-2獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想及其初步應(yīng)用

1、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 引例: 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買一塊1000g 的面包，并記錄下買回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的平均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)“面包分量足”，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g ；“這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)“面包分量足”矛盾的小概率事件；這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。 這種變量的不同取“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這類變量稱為分類變量分類變量 對于性別變量，取值為：男、女 分類變量在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的，如是否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，出生月份等等

2、。 吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965問題:為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大0.54%2.28%1)通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：三維柱狀圖2) 通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：二維條形圖3)通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：患肺癌比例不患肺癌比例通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：吸煙與患肺癌有關(guān)結(jié)論的可靠程度如何？ H0

3、： 假設(shè)吸煙和患肺癌之間沒有關(guān)系 吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d即獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量卡方統(tǒng)計(jì)量（英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson1900年提出）作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)變量有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn) 。獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立性檢驗(yàn)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表0.1%把握認(rèn)為A與B無關(guān)1%把握認(rèn)為A與B無關(guān)99.9%把握認(rèn)A與B有關(guān)99%把握認(rèn)為A與B有關(guān)9

4、0%把握認(rèn)為A與B有關(guān)10%把握認(rèn)為A與B無關(guān)沒有充分的依據(jù)顯示A與B有關(guān)，但也不能顯示A與B無關(guān) 獨(dú)立性檢驗(yàn)的初步應(yīng)用 吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965通過公式計(jì)算已知在 成立的情況下，即在 成立的情況下，K2 大于6.635概率非常小，近似為0.01現(xiàn)在的K2=56.632的觀測值遠(yuǎn)大于6.635 獨(dú)立性檢驗(yàn)的初步應(yīng)用例1.在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.請列出22列聯(lián)表 患心臟病 沒患心臟病 總計(jì) 禿頂 沒有禿頂 總

5、計(jì) 解： 22列聯(lián)表如下 214665451 772 597 175 1437 389 1048例2.為考察高中生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生,得到如下列聯(lián)表: 喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程 總計(jì) 男 37 85 122 女 35 143 178 總計(jì) 72 228 300由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得 ,高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間是否有關(guān)系?為什么?acdb解：在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”的前提下，事件 的概率為因此事件A是一個(gè)小概率事件。而由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 的觀測值k=4.514,即小概率事件A發(fā)生。因此應(yīng)該斷定“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)

6、系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯(cuò)的可能性約為5%。所以，約有95%的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。例3.在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。未感冒感冒合計(jì)使用血清252248500未使用血清224276500合計(jì)4765241000試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？并進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。解：設(shè)H0：感冒與是否使用該血清沒有關(guān)系。因當(dāng)H0成立時(shí)，K26.635的概率約為0.01，故有99%的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)防感冒的作用。P(kk0)0.500.400.250.150.

7、100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828有效無效合計(jì)口服584098注射643195合計(jì)12271193解：設(shè)H0：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系。因當(dāng)H0成立時(shí)，K21.3896的概率大于15%，故不能否定假設(shè)H0，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論。例4：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關(guān)，進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果列在表中，根據(jù)所選擇的193個(gè)病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果和給藥方式有關(guān)的結(jié)論？P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例5：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進(jìn)行對比，所得數(shù)據(jù)如表所示，問：它們的療效有無差異？有效無效合計(jì)復(fù)方江剪刀草18