量子力學(xué)導(dǎo)論chap101

1、第十章 定態(tài)問(wèn)題的常用近似方法1、非簡(jiǎn)并態(tài)微擾論微擾的定義非簡(jiǎn)并態(tài)微擾展開(kāi)法2、簡(jiǎn)并態(tài)微擾論簡(jiǎn)并態(tài)與體系對(duì)稱性簡(jiǎn)并態(tài)微擾展開(kāi)法3、變分法變分原理(Ritz) 變分法哈特利自洽場(chǎng)方法4、分子玻恩-(Born-Oppenheimer)近似雙原子分子轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)5、氫分子與共價(jià)鍵6、Fermi 氣體模型Fermi氣體模型的概念電子氣的磁化率內(nèi)容提要1近似方法的出發(fā)點(diǎn)近似方法通常是從簡(jiǎn)單問(wèn)題的精確解（解析解）出發(fā)，來(lái)求較復(fù)雜問(wèn)題的近似（解析）解近似解問(wèn)題分為兩類(lèi)（1）體系 Hamilton 量不是時(shí)間的顯函數(shù) 定態(tài)問(wèn)題1.定態(tài)微擾論； 2.變分法（2）體系 Hamilton 量顯含時(shí)間 狀態(tài)之間的躍遷問(wèn)

2、題與時(shí)間 t 有關(guān)的微擾理論210.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論1、微擾的定義可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系 Hamilton 量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分： 設(shè) H0 所描寫(xiě)的體系可以精確求解的H 是很小，視為微擾。如何求解整個(gè)體系的薛定諤方程32、非簡(jiǎn)并微擾展開(kāi)法1) 薛定諤方程微擾展開(kāi)設(shè) 1，可將 En 、 n 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)：將 En 、 n 展開(kāi)式代入上式左右兩邊，得略去下標(biāo) n4比較 同冪次項(xiàng)，得即(1)和(2)滿足的方程，可得能量和態(tài)矢的一、二級(jí)修正項(xiàng)H0 的本征方程，零級(jí)項(xiàng)5根據(jù)完備性假定，可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開(kāi)代回前面的一級(jí)修正項(xiàng)并計(jì)及零級(jí)

3、項(xiàng)，得左乘m(0)*，積分，利用 H0 的本征函數(shù)正交歸一性質(zhì) 2) 態(tài)矢(波函數(shù))和能量的一級(jí)修正6其中(1) m = k能量一級(jí)修正就是微擾在零級(jí)波函數(shù)下的平均值(2) m k7在一級(jí)近似下，體系能量本征值和本征波函數(shù)為ak(1)0n = k 求和項(xiàng)舍去83) 能量的二級(jí)修正令代回前面的二級(jí)修正項(xiàng)并計(jì)及零級(jí)項(xiàng)、一級(jí)修正項(xiàng)的結(jié)果，得左乘m(0)*, 積分, 考慮其正交歸一性質(zhì) 9m = k在二級(jí)近似下，體系能量本征值為10總結(jié)上述, 在非簡(jiǎn)并情況下，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，我們只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。

4、4) 微擾理論適用條件11由此我們得到微擾理論適用條件是：這就是本節(jié)開(kāi)始時(shí)提到的關(guān)于 H很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時(shí)，由上式計(jì)算得到的一級(jí)修正通常可給出相當(dāng)精確的結(jié)果12微擾適用條件表明：(2) |Ek(0) En(0)| 要大，即能級(jí)間距要寬例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù) n2成反比，即 En = - Z2 e2 /2 2 n2 ( n = 1, 2, 3, .) 由上式可見(jiàn)，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（n小）的修正。(1) |Hnk| = | 要小，即微擾矩陣元要小13例1.一電荷為 e 的線性諧振子，受恒

5、定弱電場(chǎng)作用。電場(chǎng)沿 x 正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton 量將 Hamilton 量分成 H0 + H 兩部分，在弱電場(chǎng)下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。實(shí)例14（2）寫(xiě)出 H0 的本征值和本征函數(shù) E(0), k(0)（3）計(jì)算 E(1)上式積分等于 0, 因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)15（4）計(jì)算能量二級(jí)修正欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算 Hnk 矩陣元利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：16由此式可知，能級(jí)移動(dòng)與 n 無(wú)關(guān)，即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無(wú)關(guān)。17（5）討論：1.電諧振子問(wèn)題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元18計(jì)算二級(jí)修正：代入能量二級(jí)修正公式：1

6、92. 電諧振子的精確解實(shí)際上這個(gè)問(wèn)題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：20其中x = x e/2 ，可見(jiàn)，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無(wú)電場(chǎng)時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低e22 / 22 ，而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了e/2 距離。由于勢(shì)場(chǎng)不再具有空間反射對(duì)稱性，所以波函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱。這一點(diǎn)可以從下式擾動(dòng)后的波函數(shù)k已變成k(0), k+1(0), k-1(0) 的疊加看出。21例2. 設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c 1，應(yīng)用微擾論求 H 本征值到二級(jí)近似； （2）求 H 的精確本征值； （3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致?22解：（1）c 1，可取 0 級(jí)和微擾 Hamilton 量分別為：H0 是對(duì)角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 級(jí)近似為：E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2由非簡(jiǎn)并微擾公式得能量一級(jí)修正：23能量二級(jí)修正為：24準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量本征值