專題16 數(shù)列中項(xiàng)數(shù)問(wèn)題(原卷版)

1、n專題 16數(shù)列中項(xiàng)數(shù)問(wèn)題數(shù)列中項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，不僅是存在性問(wèn)題，而且是整數(shù)解問(wèn)題. 會(huì)利用整除性質(zhì)、奇偶分析法、“范圍”控制 解決，常用到分類討論思想類型一 整數(shù)解問(wèn)題典例 1. 已知集合 ， , 對(duì)于數(shù)列 ， ，且對(duì)于任意 ， ，有 記 為數(shù)列的前 項(xiàng)和.()寫(xiě)出 ，的值；()數(shù)列()數(shù)列類型二中，對(duì)于任意 ，存在 ，使 ，求數(shù)列中，對(duì)于任意 ，存在 ，有 .求使得存在性問(wèn)題的通項(xiàng)公式；成立的 的最小值典例 2 已知數(shù)列a 中，a =1，前 n 項(xiàng)和為 S ，且 S n 2 n（1）求 a ；1（2）證明數(shù)列a 為等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；nn( a a ) n 12（3）設(shè) lg b nan

2、 13n，試問(wèn)是否存在正整數(shù) p，q(其中 1pa_(n-1)記 S_n 為數(shù)列a_n的前 n 項(xiàng)和.()寫(xiě)出 a_7，a_8 的值；()數(shù)列a_n中，對(duì)于任意 nN*，存在 k_nN*，使 a_(k_n )=2(n-1)，求數(shù)列k_n的通項(xiàng)公式；()數(shù)列a_n中，對(duì)于任意 nN*，存在 kN*，有 a_(k+1)=2n+1.求使得 S_(k+1)27a_(k+1)成立的 k 的最小值【答案】(1) a_7=8, a_8=9 (2) k_n=2(n-2)+n-1(n3) (3)57【解析】（I）A=x|x=2n+1,nN*=3,5,7,9,11,13,2n+1,=x|x=2(n-1),nN*=

3、1,2,4,8,16,32,2(n-1),，=AB=1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,.因?yàn)?a_1=1，且對(duì)于任意 n2,nN*，a_n=minxC|xa_(n-1)，所以 a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5,a_6=7,a_7=8,a_8=9.（II）對(duì)于任意 n2，nN*，有 a_n=minxC|xa_(n-1)，所以對(duì)于任意 n2，nN*，有 a_na_(n-1)，即數(shù)列a_n為單調(diào)遞增數(shù)列.因?yàn)閷?duì)于任意 nN*，存在 k_nN*，使 a_(k_n )=2(n-1)，所以 k_1k_2k_3k_n27a_(k+1)，n(n+2)+2(log

4、_2 n+2)-127(2n+1)，即 n2-52n-28+2(log_2 n+2)0，(n-26)2+42(log_2 n)704.當(dāng)log_2 n=0 時(shí)，即 n=1 時(shí)，(n-26)2+42(log_2 n)=629704，不合題意；當(dāng)log_2 n=1 時(shí)，即 n=2,3 時(shí)，(n-26)2+42(log_2 n)242+8704，不合題意；當(dāng)log_2 n=2 時(shí)，即 4n7 時(shí)，(n-26)2+42(log_2 n)222+16704，不合題意；當(dāng)log_2 n=3 時(shí)，即 8n15 時(shí)，(n-26)2+42(log_2 n)182+48704，不合題意；當(dāng)log_2 n=4 時(shí)，

5、即 16n31 時(shí)，(n-26)2+42(log_2 n)102+4 16704,此時(shí)，(n-26)2576.而 n=50 時(shí)，(n-26)2=576.所以 n50.又當(dāng) n=51 時(shí)，(51-26)2+42(log_2 51)=753704；所以 k=n+log_2 n+151+log_2 51+1=51+5+1=57.綜上所述，符合題意的 k 的最小值為 k=57.類型二 存在性問(wèn)題典例 2 已知數(shù)列an中，a2=1，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 求 a1；證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；設(shè) ，試問(wèn)是否存在正整數(shù) p，q(其中 1pq)，使 b1，bp，bq 成等比數(shù)列？若存在，求出

6、所有滿足條 件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）0（2）an=n1（3） ，【解析】（1）令 n=1，則 a1=S1= =0（2）由 ，即 ， 得 ，得 于是， +，得 ，即 又 a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，數(shù)列an是以 0 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列所以，an=n1（3）解法 1：假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使 b1，bp，bq 成等比數(shù)列，則 lgb1，lgbp，lgbq 成等差數(shù)列， 于是， 時(shí)， 0，故數(shù)列 ( )為遞減數(shù)列，時(shí)， 0，故數(shù)列 ( )為遞減數(shù)列， ，即 時(shí)，又當(dāng) 時(shí)， ，故無(wú)正整數(shù) q 使得 成立解法 2：同上有， ，且數(shù)列 ( )為遞減

7、數(shù)列，當(dāng) 時(shí)， 成立；當(dāng) 時(shí)， ，因此，由 得， ，此時(shí)類型三 否定性問(wèn)題典例 3 等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 求數(shù)列 的通項(xiàng) 與前 項(xiàng)和 ；設(shè) ，求證：數(shù)列 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列【答案】（1） （2）見(jiàn)解析【解析】（1）由已知得 ， ，故 （2）由（1）得 假設(shè)數(shù)列 中存在三項(xiàng) （ 互不相等）成等比數(shù)列，則 即 ，與 矛盾所以數(shù)列 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列1.公差 d0 的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a122，S31232求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an 及其前 n 項(xiàng)和 Sn；記 cnSnn，試問(wèn)：在數(shù)列cn中是否存在三項(xiàng) cr，cs，ct(rst，r,s,t

8、N*)恰好成等比數(shù)列？ 若存在，求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1） ， （2）見(jiàn)解析【解析】（1） ， ，所以 ，（2）易知 ，假設(shè)存在三項(xiàng) 成等比數(shù)列，則 ，即 ,整理得且 ， ,解得 ,這與 矛盾.綜上所述，不存在滿足題意的三項(xiàng)2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 的公比為 ，且 .在數(shù)列 中是否存在三項(xiàng)，使其成等差數(shù)列？說(shuō)明理由； 【答案】見(jiàn)解析【解析】由 知，數(shù)列 是遞減數(shù)列，假設(shè)存在 成等差數(shù)列，不妨設(shè) ，則 ，即即而 ， ，故矛盾因此在數(shù)列 中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列3.設(shè) ，試問(wèn)數(shù)列 中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由 【答案】見(jiàn)解析

9、【解析】解：假設(shè)數(shù)列 中存在三項(xiàng)，它們可以夠成等差數(shù)列；不妨設(shè)為第 項(xiàng)，由得 ， ， ， 又 為偶數(shù)， 為奇數(shù)故不存在這樣的三項(xiàng)，滿足條件4.已知數(shù)列 滿足： ， ，數(shù)列 滿足： 求數(shù)列 ， 的通項(xiàng)公式；證明：數(shù)列 中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列【答案】(1) ， (2)見(jiàn)解析【解析】（1）由題意可知，令 ，則又 ，則數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，即，故 ，又 ，故 ， （2）假設(shè)數(shù)列 存在三項(xiàng) 按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，于是有 ， 則只有可能有 成立，即即：由于 ，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾因此數(shù)列 中任意三項(xiàng)不可能

10、成等差數(shù)列5.已知等比數(shù)列 的首項(xiàng)是 ，公比為 2，等差數(shù)列 的首項(xiàng)是 ，公差為 ，把 中的各項(xiàng)按照如下規(guī)則依次插入到 的每相鄰兩項(xiàng)之間，構(gòu)成新數(shù)列 ： ，即在 和 兩項(xiàng)之間依次插入 中 個(gè)項(xiàng)，則 _. 【答案】【解析】對(duì)數(shù)列 分組(a1), (b1,a2),(b2,b3,a3),(b4, )，前 n 組的個(gè)數(shù)之和靠近 2013 即可，可能 前 63 組之和為 2016，用 2013 個(gè)數(shù)剔除 an 中的項(xiàng)即可6.設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 且 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和公式；設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，問(wèn)：是否存在正整數(shù) t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【

11、答案】(1) (2) 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 【解析】（1）（2） ，要使得 成等差數(shù)列，則即：即： ， 只能取 2，3，5當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 7. 設(shè) 是公差不為零的等差數(shù)列， 為其前 項(xiàng)和，且求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和 ；試求所有的正整數(shù) ，使得 為數(shù)列 中的項(xiàng)【答案】(1) , (2) 2【解析】（1）設(shè)公差為 ，則 ，由性質(zhì)得 ，因?yàn)?，所以 ，即 ，又由 得 ，解得 ， ,所以 的通項(xiàng)公式 為 ，前 n 項(xiàng)和 (2) = ，若其是 中的項(xiàng)，則 ，令 ，則 = ,即：所以 為 8 的約數(shù)因?yàn)?是奇數(shù)，所以 可取的值為 ，當(dāng) ，即 時(shí)， ；當(dāng) ，即 時(shí)， （舍去

12、）所以滿足條件的正整數(shù) 8. 若 A_n=(a_1 a_2a_n )(a_i=0 或 1,i=1,2,n)，則稱 A_n 為 0 和 1 的一個(gè) n 位排列，對(duì)于 A_n，將排列(a_n a_1 a_2a_(n-1) )記為 R1 (A_n)，將排列(a_(n-1) a_n a_1a_(n-2) )記為 R2 (A_n)，依此類推，直至 Rn (A_n)=A_n，對(duì)于排列 A_n 和 Ri (A_n)(i=1,2,n-1)，它們對(duì)應(yīng)位置數(shù)字相同的個(gè)數(shù)減去對(duì)應(yīng)位置數(shù)字不同的數(shù)，叫做 A_n 和 Ri (A_n)的相關(guān)值，記作 t(A_n,Ri (A_n)，例如 A_3=110，則R1 (A_3)

13、=011，t(A_3,R1 (A_3)=-1，若 t(A_n,Ri (A_n)=-1(i=1,2,n-1)，則稱 A_n 為最佳排列 （）寫(xiě)出所有的最佳排列 A_3（）證明：不存在最佳排列 A_5（）若某個(gè) A_(2k+1)（k 是正整數(shù)）為最佳排列，求排列 A_(2k+1)中 1 的個(gè)數(shù)【答案】詳見(jiàn)解析【解析】（）最佳排列 A_3 為110、101、100、011、010、011（）設(shè) A_5 = (a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 )，則 R1 (A_5)=(a_5 a_1 a_2 a_3 a_4 )，因?yàn)?t(A_5,R1 (A_5)=-1，所以|a_1-a_5 |，|a_2-a_

14、1 |，|a_3-a_2 |，|a_4-a_3 |，|a_5-a_4 |之中有 2 個(gè) 0，3 個(gè) 1，按 a_5a_1a_2a_3a_4a_5 的順序研究數(shù)碼變化，有上述分析可知由 2 次數(shù)碼不發(fā)生改變，有 3 次數(shù)碼發(fā)生了改變，但是 a_5 經(jīng)過(guò)奇數(shù)次數(shù)碼改變不能回到自身，所以不存在 A_5，使得 t(A_5,R(A_5)=-1，從而不存在最佳排列 A_5（）由 A_(2k+1)=(a_1 a_2 a_3a_(2k+1) )(a_i=0 或 1，i=1.2，2k+1)，得 R1 (A_(2k+1)=(a_(2k+1) a_1 a_2a_2k )，R2 (A_(2k+1)=(a_2k a_2

15、k _(+1) a_1 a_2a_(2k-1) )， ，|a_1-a_3 |+|a_2-a_4 |+|a_2k-a_1 |+|a_(2k+1)-a_2 |=k_1+1，|a_1-a_2 |+|a_2-a_3 |+|a_2k-a_(2k+1) |+|a_(2k+1)-a_1 |=k+1，以上各式求和得，S=(k+1)2k，另一方面，S 還可以這樣求和：設(shè) a_1， a_2a_2k，a_(2k+1)中有 x 個(gè) 0，y 個(gè) 1，則 S=2xy，所以(x+y=2k+12xy=2k(k+1) ，得(x=ky=k+1) 或(x=k+1y=k) ，所以排列 A_(2k+1)中 1 的個(gè)數(shù)是 k 或 k+1

16、 個(gè)9設(shè)數(shù)列a_n的前 n 項(xiàng)和為 S_n，已知 a_1=1，S_(n+1)-2S_n=1（nN*）求證：數(shù)列a_n為等比數(shù)列；若數(shù)列b_n滿足：b_1=1，b_(n+1)=b_n/2+1/a_(n+1) 求數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù) n，使得_(i=1)n b_i =4-n 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 由【答案】（1）數(shù)列a_n為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公比為 2（2）b_n=n/2(n-1) ，n=2【解析】（1）解：由 S_(n+1)-2S_n=1，得 S_n-2S_(n-1)=1（n2），兩式相減，得 a_(n+1)-2a_n=0，即 a_(n+1)/

17、a_n =2（n2）因?yàn)?a_1=1，由(a_1+a_2)-2a_1=1，得 a_2=2，所以 a_2/a_1 =2，所以 a_(n+1)/a_n =2 對(duì)任意 nN*都成立，所以數(shù)列a_n為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公比為 2（2） 由（1）知，a_n=2(n-1)，由 b_(n+1)=b_n/2+1/a_(n+1) ，得 b_(n+1)=b_n/2+1/2n ，即 2n b_(n+1)=2(n-1) b_n+1，即 2n b_(n+1)-2(n-1) b_n=1，因?yàn)?b_1=1，所以數(shù)列2(n-1) b_n 是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列所以 2(n-1) b_n=1+(n-1)1=n

18、，所以 b_n=n/2(n-1) 設(shè) T_n=_(i=1)nb_i ，則 T_n=1(1/2)0+2(1/2)1+3(1/2)2+n(1/2)(n-1)，所以 1/2 T_n= 1(1/2)1+2(1/2)2+3(1/2)3+n(1/2) n，兩式相減，得 1/2 T_n=(1/2)0+(1/2)1+(1/2)2+(1/2)(n-1)-n(1/2)n =(1-(1/2) n)/(1-1/2)-n(1/2)n =2-(n+2)(1/2)n，所以 T_n=4-(2n+4)(1/2)n由_(i=1)nb_i =4-n，得 4-(2n+4)(1/2)n=4-n，即(n+2)/n=2(n-1)顯然當(dāng) n

19、=2 時(shí)，上式成立，設(shè) f(n)=(n+2)/n-2(n-1)（nN*），即 f(2)=0因?yàn)?f(n+1)-f(n)=(n+3)/(n+1)-2n)-(n+2)/n-2(n-1)=-2/(n(n+1)+2(n-1) 0，所以數(shù)列f(n)單調(diào)遞減，所以 f(n)=0 只有唯一解 n=2，所以存在唯一正整數(shù) n=2，使得_(i=1)nb_i =4-n 成立10已知數(shù)列a_n的前 n 項(xiàng)和為 S_n=1/2 n2+1/2 n.求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式 a_n；令 b_n=a_n/2(n-1) ，求數(shù)列b_n的前 n 項(xiàng)和 T_n；令 c_n=a_n/(a_n+a_(n+1) )，問(wèn)是否存在正整數(shù) m

20、,k(1mk)使得 c_1,c_m,c_k 成等差數(shù)列？若存在， 求出 m,k 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）a_n=n(nN* )；（2）4- (n+2)/2(n-1) ；（3）存在 m=2,k=7.【解析】（1）a_n=S_n-S_(n-1) (n2)(=1/2 n2+1/2 n-1/2 (n-1)2-1/2 (n-1)=1/2 n2+1/2 n-1/2 n2+n-1/2-n/2+1/2)=n ,當(dāng) n=1 時(shí) a_1=S_1=1 滿足上式,故 a_n=n(nN* ).（2）b_n=n/2(n-1)T_n=1+2/2+3/22 +.+n/2(n-1) , 1/2 T_n=1/2

21、+2/22 +.+(n-1)/2(n-1) +n/2n , 由得：1/2 T_n=1+1/2+1/22 +.+1/2(n-1) -n/2n=(1(1-1/2n )/(1-1/2)-n/2n =2(1-1/2n )-n/2n=2-(n+2)/2n ,T_n=4-(n+2)/2(n-1) .（3）假設(shè)存在 m,k(1m1 且 mN*則 9/(k+2)為奇整數(shù)，k=1（舍去）或 k=7，又由 km1 則 k=7 代入*式得 m=2,故存在 m=2,k=7 使得 c_1,c_m,c_k 為等差數(shù)列 .11數(shù)列 A_n:a_1,a_2,a_n (n4)滿足：a_1=1,a_n=m,a_(k+1)-a_k

22、=0 或 1（k=1,2,n1）對(duì)任意 i，j，都存在 s，t，使得 a_i+a_j=a_s+a_t，其中 i，j，s，t1,2，n且兩兩不相等 （I）若 m=2，寫(xiě)出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)；1,1,1,2,2,2； 1,1,1,1,2,2,2,2； 1,1,1,1,1,2,2,2,2記 S=a_1+a_2+a_n若 m=3，求 S 的最小值；若 m=2018，求 n 的最小值【答案】（）；（）見(jiàn)解析；（）2026【解析】（I）數(shù)列 A_n:a_1,a_2,a_n (n4)滿足：a_1=1,a_n=m,a_(k+1)-a_k=0 或 1（k=1,2,n1）對(duì)任意 i，j，都

23、存在 s，t，使得 a_i+a_j=a_s+a_t，其中 i，j，s，t1,2，n且兩兩不相等在中，1，1，1，2，2，2，不符合題目條件；在中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件；在中,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合題目條件故所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)為（II）當(dāng) m=3 時(shí)，設(shè)數(shù)列 A_n 中 1,2,3，出現(xiàn)頻數(shù)依次為 q_1,q_2,q_3，由題意 q_i1(i=1,2,3) 假設(shè) q_14，則有 a_1+a_2t2），與已知矛盾，所以 q_14同理可證：q_34假設(shè) q_2=1，則存在唯一的 k1,2,n，使得 a_k=2則對(duì)s,t，有 a_1+a_k=1+2a

24、_s+a_t（k，s，t 兩兩不相等），與已知矛盾，所以 q_22綜上 q_14，q_34，q_22，所以 S=_(i=1)3 iq_i 20，故 S 的最小值為 20.（III）設(shè) 1，2，2018 出現(xiàn)頻數(shù)依次為 q_1,q_2,q_2018同（II）的證明，可得 q_14,q_20184,q_22,q_20172，所以 n2026取 q_1=q_2018=4,q_2=q_2017=2，q_i=1,i=3,4,5,2016，得到的數(shù)列為：B_n:1,1,1,1,2,2,3,4,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018.下面證明 B_n 滿足題目要求對(duì)i

25、,j1,2,2026，不妨令 a_ia_j，如果 a_i=a_j=1 或 a_i=a_j=2018，由于 q_1=4,q_2018=4，所以符合條件；如果 a_i=1,a_j=2 或 a_i=2017,a_j=2018，由于 q_1=4,q_2018=4，q_2=2,q_2017=2，所以也成立；如 果 a_i=1,a_j2 ， 則 可 選 取 a_s=2,a_i=a_j-1 ； 同 樣 的 ， 如 果 a_i2017,a_j=2018 ， 則 可 選 取 a_s=a_i+1,a_i=2017，使得 a_i+a_j=a_s+a_t，且 i，j，s，t 兩兩不相等；如果 1a_ia_j2018，

26、則可選取 a_s=a_i-1,a_i=a_t+1，注意到這種情況每個(gè)數(shù)最多被選取了一次，因 此也成立綜上對(duì)任意 i，j，總存在 s，t，使得 a_i+a_j=a_s+a_t ，其中 i，j，s，t1,2 ， n且兩兩不相等 因此 B_n 滿足題目要求，所以 n 的最小值為 202612已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn均不是常數(shù)列，若 a1b11，且 a1，2a2，4a4 成等比數(shù)列， 4b2， 2b3，b4 成等差數(shù)列求an和bn的通項(xiàng)公式；設(shè) m，n 是正整數(shù)，若存在正整數(shù) i，j，k（ijk），使得 ambj，amanbi，anbk 成等差數(shù)列，求 m n 的最小值；令 cna_n/b_n

27、，記cn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，1/a_n 的前 n 項(xiàng)和為 An若數(shù)列pn滿足 p1c1，且對(duì) 2, nN*，都有 pn(T_n-1)/nAncn，設(shè)pn的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求證：Sn44lnn 【答案】（1）a_n=n,b_n=2(n-1)（2）(m=4n=2) 或 (m=3n=3) （3）見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為 d（d0），等比數(shù)列在公比為 q（q1），由題意得：(4a_22=4a_1 a_4，4b_3=4b_2+b_4 ) (a_1+d)2=a_1 (a_1+3d)，4b_1 q2=4b_1 q+b_1 q3 )解得 d1，q2，所以 a_n=n,b_n=2(n-1

28、).（2）由 ambj，amanbi，anbk 成等差數(shù)列，有 2a_m a_n b_i=a_m b_j+a_n b_k，即 2mn2(i-1)=m2(j-1)+n2(k-1) ，由于 ij0，2/m2，則有 m+n6；所以 m+n 的最小值為 6，當(dāng)且僅當(dāng) j-i=1，k-i=2 且(m=4n=2) 或 (m=3n=3) 時(shí)取得（3）由題意得：p_2=c_1/2+(1+1/2)c_2p_3=(c_1+c_2)/3+(1+1/2+1/3)c_3(S_n=p_1+p_2+p_3+p_n =(1+1/2+1/3+1/n)(c_1+c_2+c_3+c_n) =(1+1/2+1/3+ +1/n)T_n

29、 )T_n=c_1+c_2+c_3+c_n （1）1/2 T_n= 1/2 c_1+1/2 c_2+1/2 c_n （2）（1）（2）得 1/2 T_n=1+1/2+1/4+1/8+1/2(n-1) -n/2n=2-2(1/2)n-n(1/2)n ，求得 T_n=4-(n+2)(1/2)(n-1)4，所以 S_n1)，則 f (x)=1/x-1/x2 =(x-1)/x2 0，所以 f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增，有 f(x)f(1)=0，可得 lnx1-1/x.當(dāng) k2，且 kN*時(shí)，k/(k-1)1，有 ln k/(k-1)1-(k-1)/k=1/k ，所以 1/2ln 2/1,1/3ln

30、3/2,1/nln n/(n-1)，可得 1+ 1/2+1/3+1/n1+ln 2/1+ln 3/2+ln n/(n-1)=1+lnn，所以 S_n4(1+1/2+1/3+1/n)1，若 n 排在第 i 位，則它之后的 n-i 位數(shù)完全確定，只能是 n-i，n-i-1，2，1而它之前的(i-1)位，n-i+1，n-i+2，n-1 有 A_(i-1)種排法，令 i=1，2，n，則 A_n=1+A_1+A_(n-2)+A_(n-1)，=(1+A_1+ +A_(n-2)+A_(n-1)，=A_(n-1)+A_(n-1)=2A_(n-1)，A_n=2(n-1)15設(shè)數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，已知 （p

31、、q 為常數(shù)， ），又 ， ， .求 p、q 的值；求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù) m、n，使 成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì) ；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1） ， ；（2） ；（3）存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)： 、 、 、 、 、 .【解析】由題意，知 ，解之得由（1）知，Sn+1= Sn+2，當(dāng) n2 時(shí)，Sn= Sn1+2，得，an+1= an（n2），又 a2= a1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為 2，公比為 的等比數(shù)列，所以 an= （3）由（2）得， = ，由 ，得 ，即 ，即 ，因?yàn)?2m+10，所以 2n（4m）2，所以 m4，且 22n（4m）2m+1+4，因

32、為 mN*，所以 m=1 或 2 或 3。當(dāng) m=1 時(shí)，由得，22n38，所以 n=1；當(dāng) m=2 時(shí)，由得，22n212，所以 n=1 或 2；當(dāng) m=3 時(shí)，由得，22n20，所以 n=2 或 3 或 4，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3， 4）16已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，數(shù)列an2的前 n 項(xiàng)和為 Tn，且 3TnSn2 2Sn，nN*（）求 a1 的值；（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若 k，tN*，且 S1，SkS1，StSk 成等比數(shù)列，求 k 和 t 的值 【

33、答案】（1）1（2）an2n1，nN*(3) k2，t3【解析】（1）由 3T1S122S1，得 3a12a122a1，即 a12a10 因?yàn)?a10，所以 a11（2）因?yàn)?3TnSn22Sn， 所以 3Tn1Sn122Sn1，得 3an12Sn12Sn22an1因?yàn)?an10，所以 3an1Sn1Sn2， 所以 3an2=Sn2Sn12，得 3an23an1an2an1，即 an22an1， 所以當(dāng) n2 時(shí)， 2又由 3T2S222S2，得 3(1a22)(1a2)22(1a2)，即 a222a20因?yàn)?a20，所以 a22，所以 2，所以對(duì) nN*，都有 2 成立， 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n1，nN*(3)由(2)可知 Sn