專題訓練證比例式或等積式的技巧

1、沈進老師專用資料專訓2證比例式或等積式的技巧名師點金：證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則需構造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似；若不在兩個三角形中，可先將它們轉(zhuǎn)化到兩個三角形中，再證這兩個三角形相似，若在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換構造平行線法eqoac(,1)如圖，在ABC中，D為AB的中點，DF交AC于點E，交BC的延長線于點F，求證：AECFBFEC.eqoac(,2)如圖，已知ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且ADCE，DE交AC于點F，求證：ABDFBCEF.

2、-1-沈進老師專用資料求證：.三點定型法3如圖，在ABCD中，E是AB延長線上的一點，DE交BC于F.DCCFAEADeqoac(,4)如圖，在ABC中，BAC90，M為BC的中點，DMBC交CA的延長線于D，交AB于E.求證：AM2MDME.-2-沈進老師專用資料構造相似三角形法5如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N.求證：BPCPBMCN.等比過渡法6如圖，在ABC中，ABAC，DEBC，點F在邊AC上，DF與BE相交于點G，且EDFABE.求證：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.-3-沈進老師專用資料7如圖，CE是eqo

3、ac(,Rt)ABC斜邊上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，作BGAP于點G，交CE于點D.求證：CE2DEPE.求證：.兩次相似法8如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，AD是斜邊BC上的高，ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F.BFABBEBC-4-沈進老師專用資料(2).9如圖，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分別為M，N.求證：(1)AMBAND；AMMNABAC求證：.等積代換法10如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.AEACAFAB-5-沈進老師專用資料等線段代換法11如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC于點D，點P是AD上一點

4、，CFAB，延長BP交AC于點E，交CF于點F，求證：BP2PEPF.12如圖，已知AD平分BAC，AD的垂直平分線EP交BC的延長線于點P.求證：PD2PBPC.-6-沈進老師專用資料BFBD.ADECME.BD.參考答案1證明：如圖，過點C作CMAB交DF于點M.CMAB，F(xiàn)CMB，F(xiàn)MCFDBeqoac(,.)CMFBDF.CFCM又CMAD，AECM，ADECME.AEADECCMD為AB的中點，BDAD.ADBFAECMCMCFEC即AECFBFEC.EF，.ADCE，.FCDDAE.2證明：過點D作DGBC，交AC于點G，易知DGFECFeqoac(,，)ADGABC.CEABAD

5、DFDGBCDGCEADABEFDGDGBCDF即ABDFBCEF.點撥：過某一點作平行線，構造出“A”型或“X”型的基本圖形，通過相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解決問題3證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AEDC，AC.CDFE.DCCFAEAD4證明：DMBC，BAC90，BBEM90，DDEA90.BEMDEA，BD.又M為BC的中點，BAC90，BMAM.BBAM.-7-沈進老師專用資料AMME.即AM2MDME.BAMD.即EAMD.又AMEDMA.AMEDMA.MDAMBPBM.即BPCPBMCN.(2)由DEFBDE得DE.即DE2DBEF.又由DEFBDE，得GEDDGDE.即D

6、E2DGDF.5證明：如圖，連接PM，PN.MN是AP的垂直平分線，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等邊三角形，BC1360.2460.56120.又67180C120，5eqoac(,7.)BPMCNP.CNCP6證明：(1)ABAC，ABCACB.DEBC，ABCEDB180，ACBFED180.FEDEDB.又EDFDBE，DEFBDE.EFBDDEEFD.GDEEDF，GDEEDF.DEDFDGDFDBEF.7證明：BGAP，PEAB，AEPDEBAGB90.PPAB90，PABABG90.-8-沈進老師專用資料AEPE.即AEBEPEDE.AECE.即CE2AEBE.BDF

7、BAE.ABCDBA.BFAB.(2)eqoac(,由)AMBAND得，BAMDAN.又ADBC，.AMNBAC.PABGeqoac(,.)AEPDEB.DEBE又CEABEC90，CABACE90.又ACB90，CABCBE90.ACECBEeqoac(,.)AECCEB.CEBECE2DEPE.8證明：由題意得BDFBAE90.BE平分ABC，DBFABE.BDBFABBEBACBDA90，ABCDBA.ABBDBCABBEBC9證明：(1)四邊形ABCD為平行四邊形，BD.AMBC，ANCD，AMBAND90.AMBAND.AMABANADAMABANBCAMBC，ADBC，MADAMB90.BBAMMANNAD90.BMAN.AMMNABAC10證明：ADBC，DEAB，ADBAED90.又BADDAE，ABDADE.-9-ADAE.即AD2AEAB.AEABAFAC.沈進老師專用資料ABAD同理可得AD2AFAC.AEACAFAB11證明：連接PC，如圖所示CPPF，即CP2PFPE.ABAC，ADBC，AD垂直平分BC，ABCACB.BPCP.12.ABC1ACB2，即34.CFAB，3F.4F.又CPFCPE，CPFEPC.PECPBPCP，BP2PEPF.12證明：如圖