數(shù)學(xué)分析課件第16章多元函數(shù)極限

1、2 二元函數(shù)的極限 一、二元函數(shù)的極限 定義1 設(shè)二元函數(shù) 定義在上, 為 D 的 一個聚點, A 是一實數(shù). 若 使得當(dāng) 時, 都有 在對不致產(chǎn)生誤解時, 也可簡單地寫作 則稱在 D 上當(dāng)時以 A 為極限, 記作 當(dāng) P, 分別用坐標(biāo) 表示時, 上式也 常寫作 例1 依定義驗證證 因為 不妨先限制在點(2, 1)的方鄰域 內(nèi)來討論, 于是有當(dāng) 時, 就有 這就證得 所以例2 設(shè) 證明證(證法一) 可知 故注意 不要把上面的估計式錯寫成：因為的過程只要求 即 而并不要求 (證法二) 作極坐標(biāo)變換 這時 等價于( 對任何 ). 由于 因此，對任何 都有 下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸

2、結(jié)原則(而且證明方法也相類似). 定理16.5 的充要條件是：對于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚點,就有推論1 若, P0 是 E1 的聚點, 使 不存在, 則 也不存在 推論2 若 是它們的聚點，使得都存在，但, 則不存在推論3 極限 存在的充要條件是：D 中任 一滿足條件 它所 對應(yīng)的函數(shù)列都收斂 下面三個例子是它們的應(yīng)用 例3 討論當(dāng)時是否存在極限( 注: 本題結(jié)論很重要, 以后常會用到. ) 解 當(dāng)動點 (x, y) 沿著直線 而趨于定點 (0, 0) 時，由于, 因此有 這說明動點沿不同斜率 m 的直線趨于原點時, 對應(yīng) 的極限值不相同，因而所討論的極限不存在如圖 16

3、-15 所示, 當(dāng) (x, y) 沿任何直線趨于原點時, 相應(yīng)的 都趨于 0, 但這并不表明此函數(shù)在 時的極限為 0. 因為當(dāng) (x, y) 沿拋物線 趨于點 O 時, 將趨于1. 所以極限 不存在. 例5 討論在 時不 存在極限 解 利用定理 16.5 的推論 2, 需要找出兩條路徑, 沿 著此二路徑而使 時, 得到兩個相異 的極限 第一條路徑簡單地取 此時有 第二條路徑可考慮能使的分子與 分母化為同階的無窮小, 導(dǎo)致極限不為 0. 按此思路 的一種有效選擇, 是取 此時得到 這就達(dá)到了預(yù)期的目的 ( 非正常極限 ) 的定義 定義2 設(shè) D 為二元函數(shù)f的定義域， 是 D 的一個聚點. 若

4、使得 則稱 f在 D 上當(dāng) 時, 有非正常極限 , 記作 下面再給出當(dāng) 時, 或 仿此可類似地定義：例6 設(shè) . 證明 證 此函數(shù)的圖象見圖16 -16. 因 , 故對只需取 這就證得結(jié)果 二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿, 特 同, 這里不再一一敘述.看作點函數(shù)別把 時, 相應(yīng)的證法也相 二、累次極限是以任何方式趨于 這種極限也稱為重 極限. 下面要考察 x 與 y 依一定的先后順序, 相繼趨 在上面討論的中, 自變量 于 與 時 f 的極限, 這種極限稱為累次極限. 定義3 如果進(jìn)一步還存在極限 累次極限, 記作 則稱此 L 為 先對 后對的 它一般與 y 有關(guān), 記作 類似地可以

5、定義先對 y 后對 x 的累次極限: 注 累次極限與重極限是兩個不同的概念, 兩者之間沒有蘊涵關(guān)系. 下面三個例子將說明這一點. 例7 設(shè) . 由例 3 知道 當(dāng)時的重極限不存在. 但當(dāng)時, 有 從而又有 同理可得 這說明 f 的兩個累次極限都存在而且相等. 累次極限分別為 例8 設(shè) , 它關(guān)于原點的兩個 當(dāng)沿斜率不同的直線時, 有 訴我們, 這個結(jié)果是必然的. ) 因此該函數(shù)的重極限不存在. ( 下面的定理 16.6 將告 例 設(shè), 它關(guān)于原點的兩 個累次極限都不存在. 這是因為對任何 時, f 的第二項不存在極限. 同理, f 的第一 項當(dāng) 時也不存在極限. 但是由于 故按定義知道 時 f

6、 的重極限存在, 且 下述定理告訴我們: 重極限與累次極限在一定條件 下也是有聯(lián)系的. 定理16.6 若 f (x, y) 的重極限 與 累次極限 都存在, 則兩者必定相等. 證 設(shè) 則使得當(dāng)時, 有的 x, 存在極限 另由存在累次極限之假設(shè), 對任一滿足不等式 回到不等式(1), 讓其中, 由 (3) 可得故由 (2), (4) 兩式, 證得, 即由這個定理立即導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用的推論. , 推論1 若重極限 和累次極限 都存在, 則三者必定相等. 推論2 若累次極限都存在但不相等, 則重極限必定 不存在. 請注意: (i) 定理 16.6 保證了在重極限與一個累次 極限都存在時, 它們必相等. 但對另一個累次極限的 存在性卻得不出什么結(jié)論, 對此只需考察本節(jié)習(xí)題 之 2(5). (ii) 推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個充分條件. (iii) 推論 2 可被用來否定重極限的存在性(如例8 ). 例10 設(shè) 試證明: 證 根據(jù)柯西準(zhǔn)則