常系數(shù)高階齊次線性微分方程

1、關于常系數(shù)高階齊次線性微分方程第一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式第二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標準形式(2)的特征方程第三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法將其代入上方程, 得故有特征方程特征根第四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特征根為第五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 有兩個

2、相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第九張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月解特征方程為解得故所求通解為例2第十張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征根對應的特解注1、n次代數(shù)方程恰有n個根。2、屬于不同特征根的解線性無關。第十一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作

3、于2022年6月注意n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項, 且每一項各一個任意常數(shù).第十二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月特征根為故所求通解為解特征方程為例3第十三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月四、小結二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解. (見下表)第十四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第十五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題求微分方程 的通解.第十六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題解答令則特征根通解第十七張，PPT共三十頁

4、，創(chuàng)作于2022年6月練 習 題第十八張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月練習題答案第十九張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月微分方程的應用題第二十張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1. 某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下. 現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多？注: kg表示千克，km/h表示千米/小時.第二十一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 【分析】 本

5、題是標準的牛頓第二定理的應用，列出關系式后再解微分方程即可?！窘?】 由題設，飛機的質量m=9000kg，著陸時的水平速度從飛機接觸跑道開始記時，設t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得又第二十二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月由以上兩式得 積分得 由于故得從而 當時 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.第二十三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 如圖所示，平行與 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .兩邊求導得解解此微分方程第二十四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月所求曲線為第二十五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月答:第二十六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 拋物線的光學性質實例: 車燈的反射鏡面-旋轉拋物面解如圖第二十七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月得微分方程由夾角正切公式得第二十八張，PPT