中考?？蓟編缀文Ｐ?6類

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)中考?？蓟編缀文Ｐ?6類模型是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)與提煉出的基本類型，注重基本知識(shí)的教學(xué)是強(qiáng)化模型思想意識(shí)的前提，注重模型在知識(shí)與知識(shí)中的應(yīng)用，在具有實(shí)際背景中的應(yīng)用等，可有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模與解題能力(數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題)模型1:將軍飲馬模型如圖1，已知直線和直線外同側(cè)兩定點(diǎn)

2、、，在直線上求一點(diǎn)，使的值最小作法：作（）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線相交于一點(diǎn)，則此點(diǎn)為所求作的點(diǎn)，的值也最小 說明：這里利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)，將一定直線同側(cè)兩定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一定直線異側(cè)兩定點(diǎn)問題來達(dá)到求解的目的細(xì)細(xì)分析這個(gè)基本幾何模型，會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含有如下兩個(gè)基本結(jié)論：其一：同側(cè)兩三角形相似的問題 如圖1，若連接，交直線于點(diǎn)，并過點(diǎn)作于點(diǎn)，則有，如圖2所示例 如圖2-1，點(diǎn)為長方形邊上一點(diǎn)，在線段上作一點(diǎn)，使（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）解：由于點(diǎn)、點(diǎn)均為定點(diǎn)且在定直線的同側(cè)，要在上求一點(diǎn)，使，所以本題符合基本模型中隱含的第一類問題，于是作點(diǎn)（或點(diǎn)）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)（或

3、點(diǎn)），連接（或），（或）與的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)，如圖2-2所示其二：同側(cè)兩線段差值最大的問題 如圖3所示 ，連接(不妨假設(shè)點(diǎn)到直線的距離大于點(diǎn)到直線的距離)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，借助三角形的三邊關(guān)系，可證明：即：一定直線同側(cè)兩定點(diǎn)到這條直線上一動(dòng)點(diǎn)的距離之差有最大值，其最大值是兩定點(diǎn)的距離 同側(cè)兩線段差值最大問題的變式：如圖4所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接 (不妨假設(shè)點(diǎn)到直線的距離大于點(diǎn)到直線的距離)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，借助三角形的三邊關(guān)系，可證明：即：一定直線異側(cè)兩定點(diǎn)到這條直線上一動(dòng)點(diǎn)的距離之差有最大值，其最大值等于其中一定點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱后的點(diǎn)與另一定點(diǎn)之間的距離例 如圖4-1

4、，在正方形中，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為 解：由于點(diǎn)、點(diǎn)是兩個(gè)定點(diǎn)，并在定直線的異側(cè)，要在上求一點(diǎn)，使的值最大，這顯然屬于基本模型中隱含的第二類問題中的變式形式，于是不妨作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，則的最大值就是線段的長，如圖4-2所示 四邊形是正方形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)， ，則點(diǎn)在上，且是的中點(diǎn)，則，即練習(xí)：2015年陜西中考副題第14題；2018年陜西中考副題第25題(三線段共線問題)模型2：三垂直模型 如圖5，中，點(diǎn)在直線上，若過、點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為、，則；若時(shí)，則有練習(xí)：2014年陜西中考副題第14題模型3:邊定角等模型如圖6，已知及其所對(duì)

5、邊的長均為定值時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)或符合條件的三角形的最大面積作法：先作一個(gè)符合條件的特殊，再作它的外接圓O，那么在上任取一點(diǎn)（不與、重合），它與所構(gòu)成的三角形都滿足的長及所對(duì)的角是定值的要求由圓的知識(shí)可知：所有符合題意的三角形就是上面點(diǎn)與所構(gòu)成的三角形要它的面積最大，只要三角形邊上的高最長即可作的垂直平分線，設(shè)它與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，于是的最大值就是例 如圖6-1，以正方形的一邊為邊向四邊形內(nèi)作等腰，過作于，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接，若，則的最小值為 （請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑）.解：點(diǎn)是的內(nèi)心，連接、，如圖6-2所示，又等腰是以為邊向正方形內(nèi)作的，且，的長是確定的，位置是不確定的.若連接，由等腰三

6、角形的性質(zhì)可知：與關(guān)于所在的直線成軸對(duì)稱，且點(diǎn)在直線上，于是在中研究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，就可轉(zhuǎn)化在中來研究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，在中，為定邊，點(diǎn)應(yīng)在以、三點(diǎn)確定的圓上，設(shè)圓心為，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為（不含、兩點(diǎn)），如圖6-3所示.求的最小值就轉(zhuǎn)化為求圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離了，于是連接、，過作于，則為的弧，則為等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，又，即圓半徑為，則，由勾股定理得：，則的最小值為. 練習(xí)：2014年陜西中考第25題、中考副題第25題；2016年陜西中考第25題第問（存在性作圖）；2017年陜西中考副題第25題.模型4:點(diǎn)、線平移模型如圖7所示，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)線段平移至?xí)r，若已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)

7、坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)就是練習(xí)：2014年陜西中考副題第14題；第24題常用模型5:平行四邊形中，過中心的線平分平行四邊形的面積模型如圖8，中，與相交于點(diǎn)若過點(diǎn)任作一條直線，則將平分成兩部分，且這兩部分全等（面積相等）練習(xí)：2013年陜西中考第25題；2017年陜西中考第25題第問模型6：角的頂點(diǎn)在一圓中相切線上，則這些角中必有最大值的問題模型如圖9，直線與相切于點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，則有.練習(xí)： 2015年陜西中考第25題2015年陜西中考副題第25題模型7：共斜邊的直角三角形的所有頂點(diǎn)在同一圓上的問題模型如圖10，在與中，則、 、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且圓心在的中點(diǎn)上，就是圓的直徑例（20

8、17陜西中考第14題）：如圖11，在四邊形中，連接，若，則四邊形的面積為 ，、四點(diǎn)共圓，過作于，過作于，如圖12所示，則，又=，又，則，則，則=18模型8：點(diǎn)到直線上的所有連線中，垂線段最短的問題模型如圖13，定點(diǎn)與定直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短 例 如圖14-1，在中，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作，連接，則的最小值為 解：是以、為鄰邊作的平行四邊形，對(duì)角線與的交點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)平分與，而的長與位置是固定的，則點(diǎn)就是一個(gè)定點(diǎn)，又點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，因此要最小，只要即可，如圖14-2所示，由勾股定理可得：，則，的最小值為練習(xí)： 2016年陜西中考副題第14題模型9:過圓內(nèi)一點(diǎn)，有最長（短）弦的問題模型

9、如圖15，在中，點(diǎn)是內(nèi)部異于圓心的一點(diǎn)，則過點(diǎn)所作的弦中，有最長弦直徑即過點(diǎn)、過圓心的弦；有最短弦即過點(diǎn)、且與垂直的弦例 如圖16，是的弦，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則長的最大值是 . 解：由于點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則.要最大，則只要最大.由于是的弦，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，就有可能過圓心，于是就變?yōu)閳A中最長的弦直徑了，如圖17所示. ，=6，最大為，則.練習(xí)：2014年陜西中考副題第16題2016年陜西中考副題第25題模型10：借三邊關(guān)系可求最值的問題模型如圖18，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，（）.則的最大值為；的最小值為.例 如圖19，在中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿

10、所在的直線翻折，得到，連接，則長度的最小值為 解：在圖19中，由勾股定理得：；由折疊性質(zhì)知：在中，由三角形的三邊關(guān)系有：，、的長均為定值，要的長有最小值，只要有即點(diǎn)能落在上時(shí)，的長有最小值（這解決了求長度有最小值的可能性問題）另一方面：當(dāng)所在的直線是的平分線時(shí)，將沿所在的直線翻折，得到，此時(shí)點(diǎn)恰好落在上即有（這解決了求長度有最小值的存在性問題），如圖20所示，長度的最小值是1練習(xí)：2014年陜西中考副題第23題2016年陜西中考副題第25題模型11:圓（內(nèi)）外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題模型如圖21所示，點(diǎn)是的圓內(nèi)或圓外的任意一點(diǎn)，則過圓心點(diǎn)、點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，則線段的長就是點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)

11、連線的最大值；線段的長就是點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)連線的最小值.用幾何直觀性來分析：當(dāng)過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)直徑所在的直線所構(gòu)成的夾角越小，則相對(duì)來說的長也就越大了.例 如圖22，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則的最小值為 解：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是沿所在直線翻折得到的，又點(diǎn)是射線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)也隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，但點(diǎn)到定點(diǎn)的長是定值1，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓?。ㄔ诰匦蝺?nèi)）上，如圖23所示,從而把求的長轉(zhuǎn)化成求圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題，如圖24所示，連接，則=，的最小值為練習(xí)： 2017年陜西中考第25題第問模型12:直角三角形中，三邊的函數(shù)關(guān)系問題模型

12、如圖25，中，當(dāng)為定值時(shí)，對(duì)來說：當(dāng)有最大（小）值時(shí)，則也有最大（小）值；反之，當(dāng)有最大（小）值時(shí)，則也有最大（小）值；當(dāng)為定值時(shí)，對(duì)來說：當(dāng)有最大（?。┲禃r(shí)，則也有最?。ù螅┲道?如圖26，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且，則的最小值為 .解：設(shè)（），則.四邊形是正方形，且，則，.由于為定值，在直角三角形中，要最小，則要最小即要最大即可.，又且，當(dāng)時(shí)，有最大值，則最小為，由勾股定理可得：的最小值為.模型13:已知四邊形兩條對(duì)角線的長，求四邊形面積最大值的問題模型如圖27，四邊形中，已知、的長是確定的，要求四邊形面積的最大值，則.練習(xí)：如圖27-1，在中，點(diǎn)，在所在的平面內(nèi)，且，點(diǎn)在的上方，連接，.若，則四邊形面積的最大值為 .模型14:已知三角形兩邊之和為定值，且夾角確定，求三角形面積最大值的問題模型如圖28，已知中，點(diǎn)、分別是、上的兩動(dòng)點(diǎn)，且.則有，當(dāng)時(shí)，有最大面積為當(dāng)時(shí)，最大面積為.練習(xí)：如圖28-1，在邊長為1的菱形中，點(diǎn)、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、.若，則面積的最大值為 .模型15:圓上一點(diǎn)到與圓相離直線的距離，有最值的問題模型如圖29，與直線相離，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，的半徑為.則點(diǎn)到直線的最小距離為；最大距離為.例 如圖29-1，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，則面積的最小