7.7楔形體頂端受集中力或集中力偶

1、7.6帶圓孔平板的均勻拉伸學(xué)習(xí)思路:平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對(duì)應(yīng)力分布產(chǎn)生影響?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)力集中?？卓诘膽?yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。根據(jù)上述分析，在與小圓孔同心的厚壁圓筒上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，另一部分是以三角函數(shù)變化的法向力和切向力。對(duì)于前者是軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；或者根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)可以確定應(yīng)力函數(shù)后求解?？卓趹?yīng)力分析表明，孔口應(yīng)力集中因子為3。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：帶圓孔平板拉伸問(wèn)題；厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)；應(yīng)力與邊界條件；孔口應(yīng)力。設(shè)平板在x方向受均勻

2、拉力q作用，板內(nèi)有一個(gè)半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對(duì)應(yīng)力分布產(chǎn)生影響。如圖所示?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)力集中?？卓诘膽?yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。隨著距離增加，在離孔口較遠(yuǎn)處，這種影響也就顯著的減小。根據(jù)上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應(yīng)力與無(wú)圓孔平板的分布應(yīng)該是相同的。因此的應(yīng)力可用軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力計(jì)算公式：計(jì)算。則上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑為b的圓周上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為/?；另一部分是隨申變化的法向力/cos2申和切向力/sin2申。對(duì)于沿厚壁圓

3、筒外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為/2。由此產(chǎn)生-Xq2-q1顯-尸_產(chǎn)廬b2-a2這里，將均勻法向應(yīng)力作為外加載荷作用于內(nèi)徑為a，外徑為b的厚壁圓筒的外圓周處。使得問(wèn)題成為一個(gè)典型的軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力。對(duì)于厚壁圓筒的外徑作用隨2申變化的法向外力心cos2申和切向外力兀sin2申,如圖所示。根據(jù)面力邊界條件，厚壁圓筒的應(yīng)力分量也應(yīng)該是2申的函數(shù)。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系可以看出，由此產(chǎn)生的應(yīng)力可以由以下形式的應(yīng)力函數(shù)求解，即仇S）二訶將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程3魁+13爲(wèi)+pSpbdtp気）二0，可得f（P）所要滿(mǎn)足的方程唏+2曙如工呵dp=0上述方程是歐拉（Euler）方程，通過(guò)變換可

4、成為常系數(shù)常微分方程，其通解為因此，將其代入公式爲(wèi)94）二產(chǎn)3）皿2訶，可得應(yīng)力函數(shù)為訶f（妙訶）=Ap2+D）cos2因此，應(yīng)力分量為1d仍丄1SVf鬥心6C丄4+=+）2PSP3毋pp馮二二（2貝+12%，+）cos2dpp3lcos+Esin爐+?（Ccos+Dsin爐）其中A,B,C和D為待定常數(shù)，將上式代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式可得，因此可以訶f（Q,訶）=Apcosq+Epsinq?+p訶（Ceos訶+Dsinp）由于為線性項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量的計(jì)算,刪去。因此應(yīng)力函數(shù)為訶f（P，訶）二#訶（Ucos訶+Dsin訶）由應(yīng)力分量表達(dá)式，可得楔形體的應(yīng)力分量現(xiàn)在的問(wèn)題是利用面力邊界條件確定待定常

5、數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為ba二0,匸=0Pl?-y已經(jīng)自然滿(mǎn)足。此外還有一個(gè)應(yīng)力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒(méi)有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個(gè)截面，例如圓柱面ab，如圖所示。則該截面的應(yīng)力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來(lái)的平衡條件將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上式，則2J(Deos2tp-Csin訶訶+Fcos-02J(Deos2繆一Csin訶cos級(jí))d繆+Fsin=0Ec積分可得D(sina+a)+Fcos0二0Fsin/JC(sina-a)+Fsin=0二?DFTa:-

6、sinct?sinff+ct將常數(shù)C和D代入應(yīng)力分量表達(dá)式p3pp2cos訶一Csin繆)，則本問(wèn)題的解答為上述楔形體應(yīng)力在等于0時(shí)，將趨于無(wú)限大。即在載荷作用點(diǎn)的應(yīng)力無(wú)限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點(diǎn)，而是按照上述應(yīng)力分布作用于一個(gè)小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點(diǎn)附近，解答是有足夠精度的。在上述楔形體問(wèn)題中，如果令=冗，卩=0,則轉(zhuǎn)化為彈性半無(wú)限平面作用集中力問(wèn)題。將兀，卩=0代入楔形體應(yīng)力表達(dá)式sinpsin-r0,則彈性半無(wú)限平面作用集中力作用的應(yīng)力表達(dá)式為彈性半無(wú)限平面作用集中力作用的應(yīng)力場(chǎng)具有以下特點(diǎn):Qp為主應(yīng)力,其余主應(yīng)力為0。在直徑

7、為d，圓心在x軸并且與y軸相切于原點(diǎn)O的圓上，由于該圓上任意一點(diǎn)滿(mǎn)足p=dcos申,所以，圓上任意一點(diǎn)應(yīng)力為Q=-2F/冗d。這就是說(shuō)，圓上任意一點(diǎn)應(yīng)力，除載荷作用點(diǎn)以外,P各點(diǎn)應(yīng)力和Q相同。P此圓為等徑向應(yīng)力的軌跡線，稱(chēng)為壓力泡。由于此圓最大切應(yīng)力Tma=cn/2=const，因此在光彈性實(shí)驗(yàn)中，又稱(chēng)maxp為等色線。主應(yīng)力軌跡為一組以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的放射線。最大切應(yīng)力軌跡為一組與主應(yīng)力軌跡夾45度角的曲線，其軌跡為對(duì)數(shù)螺線。以下討論楔形體的頂端受有集中力偶作用問(wèn)題，如圖所示。設(shè)單位寬度的力偶矩為M。根據(jù)和楔形體受集中力相同的量綱分析，可見(jiàn)在各應(yīng)力分量的表達(dá)式中只能是以p負(fù)二次冪出現(xiàn)，因此應(yīng)

8、力函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該與p無(wú)關(guān)。也就是將上式代入變形協(xié)調(diào)方程足的方程可得例（訶）所要滿(mǎn)求解這一關(guān)于申的常微分方程，可得訶f（訶）=Acos2?+Esin2訶+Ctp+D其中A，B，C和D為待定常數(shù)。求解前，首先作結(jié)構(gòu)分析。由于楔形體頂端作用集中力偶，因此為反對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。其正應(yīng)力應(yīng)為申的奇函數(shù)，而切應(yīng)力分量應(yīng)為申的偶函數(shù)。由此可見(jiàn)，A=D=0,則應(yīng)力函數(shù)簡(jiǎn)化為（級(jí)）=Bsinlp+Cp則由極坐標(biāo)應(yīng)力分量表達(dá)式，楔形體的應(yīng)力分量為對(duì)于楔形體問(wèn)題，邊界條件要求由應(yīng)力分量表達(dá)式可見(jiàn)，前一條件總能滿(mǎn)足，而后一條件要求C=-2Bcosa同樣考慮ab以上部分的平衡條件，則積分后可得2B=-sins-cosff將計(jì)算所得的系數(shù)回代應(yīng)力分量表達(dá)式得，可_2Msin2j護(hù)(sina-acosa)/_M(cqs2?-cosct)何(sina-orcosct)/?2大家可以自己證明上述應(yīng)力分量也可滿(mǎn)足以上部分的另外兩個(gè)平衡條件，即在楔形體問(wèn)題中，我們?cè)俣ㄐㄐ误w頂端所受的力或力偶是集中作用的，因此計(jì)算所得的應(yīng)力分量在=0處成為無(wú)限大。實(shí)際上，集中在一點(diǎn)的力或力偶是不存在的，因此也就不會(huì)發(fā)生無(wú)限大的應(yīng)力。而且，只要面力的集度超過(guò)楔形體材料的比例極限，彈性力學(xué)的基本方程將不再適用，因此上述解答也不適用。因此應(yīng)該