數(shù)值積分方法

1、關于數(shù)值積分方法第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月abf (x)數(shù)值積分的應用背景:1) 被積函數(shù)的原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)某些實際問題僅有一些離散函數(shù)值,無法給 出被積函數(shù)表達式3) 被積函數(shù)過于復雜,難以求得其原函數(shù)借助于被積函數(shù)在一些點的函數(shù)值,推算出滿足一定精度的定積分近似值-數(shù)值積分方法第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月預備知識牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，且原函數(shù)為F(x)，則可用牛頓萊布尼茲公式 來求定積分。 第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月預備知識積分中值定理若f是a, b上的連續(xù)函數(shù)，則存在xa, b，使 第四張

2、，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月預備知識廣義積分中值定理若f在a, b上連續(xù)，g在a, b上可積，且g(x)在a, b上不變號，存在x, xa, b，使 第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)值積分問題牛頓萊布尼茲公式 找原函數(shù)很困難，有些原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示 原函數(shù)表達式過于復雜 f(x)是由測量或計算得到的數(shù)據(jù)表 第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1數(shù)值積分問題第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5.1 插值型求積公式f(x)在這些節(jié)點的值f(xi)，求定積分第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定

3、義設有計算 的求積公式如其求積系數(shù) ，則稱此求積公式為插值型求積公式. 定積分轉換成被積函數(shù)的有限個函數(shù)值的線性組合，無需求被積函數(shù)的原函數(shù).5.1 插值型求積公式第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月兩點公式 x0=a, x1=b, n=1 梯形公式：5.1 插值型求積公式一、梯形公式-兩點線性插值幾何意義：用梯形面積代替被積函數(shù)的曲邊梯形面積第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月梯形公式誤差5.1 插值型求積公式廣義積分中值定理若f在a, b上連續(xù)，g在a, b上可積，且g(x)在a, b上不變號，存在x, xa, b，使 利用這一定理梯形與曲邊梯形面積的對比： 正負決定

4、第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三點二次拉格朗日插值積分-辛卜生公式x0 x2x1y=f(x)L2(x)5.1 插值型求積公式第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月辛卜生公式: 取x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b, n=2辛卜生公式：5.1 插值型求積公式誤差 精度較梯形高第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月yxoy= f(x)ab5.2 復合梯形公式 第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月分段線性插值-復合梯形法 等分求積區(qū)間，比如取步長 ，分a, b為n等分，分點為 ,k = 0, 1, 2, n2. 在區(qū)間 xk, xk+1上求

5、 3. 取和值 ，作為整個區(qū)間上的積分近似值 第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月復合梯形公式 誤差由各小區(qū)間梯形誤差累加小區(qū)間增多,誤差減小控制第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月x0 x1x2xkxk+1xn-1xn復合梯形公式(節(jié)點加密) 第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月復合梯形公式(節(jié)點加密) 由 遞推逐漸逼近，達到計算精度即停止。條件成立則終止計算并以T2n為定積分 的近似值第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月教材P68-例5.1(1) 牛頓-萊布尼茲公式0.8670(2) 梯形公式0.75(3) 辛卜生公式0.8775(4) 復合

6、梯形公式T4=0.8617第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5.3 其它復合求積公式 借用積分中值定理若f是a, b上的連續(xù)函數(shù)，則存在xa, b，使得將其用于積分的近似計算，取=b, 得-積分右矩形公式復合右矩形公式第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月如在區(qū)間a,b內(nèi)插入節(jié)點xj=a+jh(j=0,1,n), h=(b-a)/n得到復合右矩形求積公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的誤差估計復合右矩形公式第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月復合辛卜生公式 記每2個節(jié)點間增加一個中值節(jié)點, 節(jié)點數(shù)由n2n. 節(jié)距變?yōu)閔=(b-a)/2n. 展開, 得第

7、二十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月利用數(shù)據(jù)表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f (xk)43.938463.76473.50683.20002.87642.46002.265492計算積分復合求積方法比較 取n = 8用復合梯形公式=第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月取n=4, 用復合辛卜生公式復化求積方法 第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定義如果一個求積公式(a)對于次數(shù)不超過m的多項式均能準確成立，但至少對一個m+1次多項式不準確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。定理 對于求積公式(a)具有m次代數(shù)精度的充分必要條件為

8、該公式對 f(x)=1, x, . xm 精確成立，而對f(x)=xm+1，不精確成立。5.4 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月求代數(shù)精度的階數(shù)-確定以下求積公式的代數(shù)精度5.4 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度?階代數(shù)精度1階代數(shù)精度?階代數(shù)精度第二十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5.4 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度證明代數(shù)精度的階數(shù)第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月若求積節(jié)點xk任意選取，則求積公式中含有2n+2個待定參數(shù)xk和Ak (k=0,1,n),適當選取這些參數(shù)，可使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，稱這種用n+1個求積節(jié)點而具有

9、2n+1次代數(shù)精度的求積公式為高斯求積公式，n+1個節(jié)點為高斯點。5.4 高斯求積公式對于插值型求積公式第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例 ：求形如 的兩點高斯求積公式。 梯形公式：高斯公式：對求積公式中的四個待定系數(shù)A0, A1, x0, x1適當選取，使求積公式對f (x) = 1，x，x2，x3 都準確成立 3次代數(shù)精度5.4 高斯求積公式第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5.4 高斯求積公式第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月求三點高斯求積公式高斯公式：對求積公式中的6個待定系數(shù)A0, A1, A2, x0, x1 , x2，使求積公式對f

10、 (x) = 1, x, x2, x3, x4, x5都準確成立 代數(shù)精度階數(shù)(2n+1)=55.4 高斯求積公式n+1個求積節(jié)點數(shù)為3n=2得三點高斯求積公式:第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5.4 高斯求積公式高斯求積公式在定積分 中的應用構造對應函數(shù)x(t)=k+jt, 使x(-1)=a且x(1)=b 得 k=(a+b)/2, j=(b-a)/2，相應有第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月P75. 例5.6(1) 梯形公式0.75(2) 辛卜生公式0.8775(3) 復合梯形公式T4=0.8617第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月求二重積分的四點高斯求積公式(了解)其中:將二點高斯求積公式直接應用到二重積分的累次積分中第三十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 用n=8的復合梯形求積