關(guān)聯(lián)矩陣回路矩陣割集矩陣

1、15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣一、有向圖電路的圖是電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的抽象描述，若圖中每一支路都賦予一個參考方向，它成為有向圖。有向圖的性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述。i3i4i5i2i6i11二、關(guān)聯(lián)矩陣1、支路和結(jié)點關(guān)聯(lián)設(shè)一條支路連接于某兩個結(jié)點，則稱該支路與這兩個結(jié)點相關(guān)聯(lián)。2、關(guān)聯(lián)矩陣設(shè)有向圖的結(jié)點數(shù)為n，支路數(shù)為b，且所有結(jié)點與支路均加以編號。于是，該有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為一個(nb)階的矩陣，用Aa表示。它的行對應(yīng)結(jié)點，列對應(yīng)支路。它的任一元素ajk定義如下：2它的任一元素ajk定義如下：ajk= +1，表示支路k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點；ajk= -1，表示支路

2、k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)并且它指向結(jié)點；ajk= 0，表示支路k與結(jié)點j無關(guān)聯(lián)。Aa=1234123456-10+10-100+1+1-1000-1+1000+1-10+10-134526133、降階關(guān)聯(lián)矩陣當(dāng)把所有行的元素按列相加就得一行全為零的元素，所以Aa的行不是彼此獨立的?；蛘哒f按Aa的每一列只有+1和-1兩個非零元素這一特點。 Aa中的任一行必能從其他(n-1)行導(dǎo)出。如果把Aa的任一行劃去，剩下的(n-1) b矩陣用A表示，并稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣。今后主要用這種降階關(guān)聯(lián)矩陣，往往省去“降階”二字。123456Aa=1234-10+10-100+1+1-1000-1+1000+1-10+10-14

3、Aa=1234123456-10+10-100+1+1-1000-1+1000+1-10+10-1降階關(guān)聯(lián)矩陣A=-10+1-100+1-100-1+100+10+10345261被劃去的行對應(yīng)的結(jié)點可以當(dāng)作參考結(jié)點。54、用矩陣A表示的KCL的矩陣形式電路中的b個支路電流可以用一個b階列向量表示i=i1 i2 ibTAi =結(jié)點1上的i結(jié)點2上的i結(jié)點(n-1)上的i因此有用矩陣A表示的 KCL的矩陣形式Ai =06A=-10+1-100+1-100-1+100+10+10345261Ai =i1i2i3i4i5i6=-i1+i4+i5i1-i2+i3-i3-i4+i6=0000=例如：-1

4、0+1-100+1-100-1+100+10+10123 1 2 3 4 5 675、用矩陣A表示的KVL的矩陣形式電路中的b個支路電壓可以用一個b階列向量表示u=u1 u2 ubT(n-1) 個結(jié)點電壓可以用一個(n-1)階列向量表示un=un1 un2 un(n-1)T用矩陣A表示的KVL的矩陣形式u= ATun 上式表明電路中的各支路電壓可以用與該支路關(guān)聯(lián)的兩個結(jié)點的結(jié)點電壓表示，這正是結(jié)點電壓法的思想。（注：轉(zhuǎn)置矩陣：A的每一行是AT的每一列）8A=-10+1-100+1-100-1+100+10+10345261=u1u2u3u4u5u6=un1un2un3un1un2un3+un3

5、+un3-un2-un2-un1-un1u= ATun 例如：是參考節(jié)點，電壓為零u= ATun KVL的矩陣形式-1-1100000-1-1011001101234561 2 3 9三、回路矩陣1、獨立回路矩陣：簡稱回路矩陣。 一回路由某些支路組成，則這些支路與該回路關(guān)聯(lián)。 設(shè)有向圖的獨立回路數(shù)為l，支路數(shù)為b，對所有獨立回路和支路均加以編號，于是， 該有向圖的回路矩陣是一個lb的矩陣，用B表示。B的行對應(yīng)一個回路，列對應(yīng)于支路，它的任一元素，bjk定義如下：bjk = +1，表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致； bjk = -1，表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反； bjk

6、 = 0，表示支路k與回路j無關(guān)聯(lián)。10B =1231234560001-1134526145635611326231010-11011001例如：獨立回路數(shù)為3，選其中一組112、基本回路矩陣如果所選獨立回路組是對應(yīng)于一個樹的單連支回路組，這種回路矩陣就稱為基本回路矩陣，用Bf表示。寫B(tài)f時，注意安排其行列次序如下：1、把l條連支依次排列在對應(yīng)于Bf的第1到第l 列，然后再排列樹支；2、取每一單連支回路的序號為對應(yīng)連支所在列的序號，（二者要一致）3、以該連支的方向為對應(yīng)的回路的繞行方向，Bf中將出現(xiàn)一個l 階的單位子矩陣，即有Bf=1l |Btl和t分別表示與連支和樹支對應(yīng)的部分12Bf =

7、123124356100010110001-10-11113452614563561132623B =123123456100010110001-10-1111選3，5，6為樹支基本回路矩陣1l每一行中只有一個元素為1，是一個l 階的單位子矩陣1l133、用回路矩陣B表示的KVL的矩陣形式Bu =回路1中的u回路2中的u回路l中的u因此有Bu =0電路中的b個支路電壓u=u1 u2 ubT回路矩陣左乘支路電壓，B =123123456100010110001-10-111114345261Bu=100010110001-10-1111u1u2u3u4u5u6=+u6u1u2+u3u4-u5+u

8、3+u6+u6-u5= 04563561132623例如：用回路矩陣B表示的KVL的矩陣形式：000=154、用矩陣B表示的KCL的矩陣形式l個獨立回路電流可用一個l 階列向量表示il=il1 il2 illTi=BTil各支路電流上式表明電路中各支路電流可以用與該支路關(guān)聯(lián)的所有回路中的回路電流表示，這正是回路電流法的基本思想。BT的列對應(yīng)于回路，行對應(yīng)一個支路，B的行對應(yīng)一個回路，列對應(yīng)于支路，B =123123456100010110001-10-1111i1i2。in=1634526145635611326231010-110110010001-11i1i2i3i4i5i6=il1il2

9、il3=il1il2il1+ il2il3-il1 -il3il1 +il2 +il3i=BTil=例如：用矩陣B表示的KCL的矩陣形式：B =123123456100010110001-10-111117四、割集矩陣 設(shè)一個割集由某些支路構(gòu)成，則稱這些支路與該割集關(guān)聯(lián)。 支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可用割集矩陣描述。 下面僅介紹獨立割集矩陣，簡稱割集矩陣。移去割集所有支路，G被分割成兩部分 后， 從其中一部分指向另一部分的方向。每一個割集只有兩個可能的方向。割集方向：18設(shè)有向圖的結(jié)點數(shù)為n，支路數(shù)為b，則該圖的獨立割集數(shù)為(n-1) 。對每個割集編號，并指定一個割集方向。 割集矩陣為一個(n-1)

10、 b的矩陣，用Q表示。Q的行對應(yīng)割集，列對應(yīng)支路。割集矩陣Q 的任一元素qjk定義如下：qjk = +1，表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致；qjk = -1，表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反；qjk = 0，表示支路k與割集j無關(guān)聯(lián)。1、獨立割集矩陣（簡稱割集矩陣）19割集矩陣 Q =123123456345261-1-10-101-1-110001001103214514261選支路3、5、6為樹支，獨立割集數(shù)為3Q1Q2Q3例如：202、基本割集矩陣如果選一組單樹支割集為一組獨立割集，這種割集矩陣就稱為基本割集矩陣，用 Qf 表示。寫 Qf 時，注意安排其行列次序如下：

11、 1、把(n-1)條樹支依次排列在對應(yīng)于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列連支； 2、取每一單樹支割集的序號與相應(yīng)樹支所在列的序號相同， 3、選割集方向與相應(yīng)樹支方向一致，則 Qf 有如下形式Qf=1t|Ql式中下標(biāo)t 和l 分別表示對應(yīng)于樹支和連支部分。21Qf =123345261-1-10-101-1-110001001103214514261選支路3、5、6為樹支Q1Q2Q3例如：356124寫出基本割集矩陣Qf ：223、用割集矩陣Q表示的KCL的矩陣形式Q i = 0345261-1-10-101-1-11000100110Q i =i1i2i3i4i5i6=-i1-i2+i6-i1-i2+i3i1+i4+i5=0-i4即：屬于一個割集的所有支路電流的代數(shù)和等于零（支路電流 i=i1 i2 ibT）Q1Q2Q3234、用基本割集矩陣Qf 表示的KVL的矩陣形式由于通常選單樹支割集為獨立(基本)割集，此時樹支電壓又可視為對應(yīng)的割集電壓，所以ut 又是基本割集組的割集電壓列向量。由于Qf 的每一列，也就是QfT 的每一行，表示一條支路與割集的關(guān)聯(lián)情況，按矩陣相乘的規(guī)則可得支路電壓：u=QfTut上式表明電路的支路電壓可以用樹支電壓（割集電壓）表示，這就是割集電壓的基本思想。假設(shè)(n-1)個樹