方差分析概論

1、關(guān)于方差分析概論第一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月方差分析(analysis of variance) 對多個樣本進行比較并評估其顯著性時，可以克服 t 檢驗存在的問題。它能夠幫助我們回答一個問題：是否可用一個總的指標說明實驗處理導(dǎo)致各個不同組間的平均數(shù)有差異？12.2 平方和的概念從公式可以看出，若離差大，則方差也大，離差小，數(shù)據(jù)緊聚在平均數(shù)周圍，則方差也小。第二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月回憶一下 兩樣本 t 檢驗計算公式：問：分子和分母分別表示意思?答：分子表示平均數(shù)之間的差異，而分母表示各組內(nèi)變異相加的估計值，稱為平均數(shù)差異的標準誤。平均數(shù)之間差異越大，則 t

2、 值越大，否者 t 值越小第三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月圖12-1 要想得到統(tǒng)計學(xué)顯著性，平均數(shù)差異大小與變異大小之間的關(guān)系如果變異較小，則統(tǒng)計顯著性所需的平均數(shù)差異也較小如果變異較大，則統(tǒng)計顯著性所需的平均數(shù)差異也較大第四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月方差分析包括對兩個方差的獨立估計：組間方差 (between-group variance)組內(nèi)方差 (with-group variance)方差分析一個基本概念就是平方和SS總= SS組內(nèi) + SS組間第五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12.3 舉例說明：兩個組的情形12.3.1 總平方和分解為組內(nèi)平

3、方和與組間平方和實驗組X136313620413432343233和329X212969611296400168111561024115610241089和11083控制組X229342733102826313035和283X2841115672910891007846769619001225和8461實驗組平均數(shù) =32.9，控制組平均數(shù) =28.3 SS總=(11083+8461)(612)2/20=1954418727.2=816.8SS1=11083(329)2/10=1108310824.1=258.9SS2=8461(283)2/10=84618088.9=452.1SS組內(nèi)=25

4、8.9+452.1=711第六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月=10824.1+8008.918727.2=1883318727.2=105.8K=2，df=21=1方差的估計值S2=SS組間/1=105.8組內(nèi)自由度df=NK=202=18SS組內(nèi)=711/18=39.5查F表，F(xiàn) 0.05（1，18）=4.41注意：當組間自由度=1時，F(xiàn)=t2 ,2.678=1.6362 df2 單側(cè)Pdf11180.018.290.054.412.678 4.41，不拒絕H0。結(jié)論與前面的 t 檢驗一致。第七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12.4 方差分析的基本思想1. 總方差分為

5、 組間方差 + 組內(nèi)方差a. 組間方差：由于受到實驗處理，包括自變量以及混雜因素影響而產(chǎn)生的系統(tǒng)差異，這些變量引起因變量的變化。 b. 組內(nèi)方差：由個體差異和非控制因素引起的因變量的變化。精良的設(shè)計需要使這個方差最小化。2. H0: 1=2=k 什么意思？所有樣本來自一個總體。3. H1: 1,2,k 不全相等什么意思？所有樣本不是來自一個總體。第八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月4. F 統(tǒng)計量 =組間方差組內(nèi)方差通過查F 臨界值以確定是否拒絕或接受H0。12.5 以三個實驗組為例-單因素方差分析例題：某項研究為了評價三種不同教學(xué)效果，從學(xué)生總體中隨機抽取21名被試，并隨機分為三組

6、，讓他們接受三種不同的教學(xué)，完成教學(xué)后就進行測驗，測驗成績越高，說明解決邏輯問題的能力越高。是否有證據(jù)表明哪種方法更有效？方法13272524方法23379475方法3945910811第九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(a) 從 1=2=3 的總體中抽3個組，憑機遇很可能獲得(F比率小) (b) 有時偶然可能獲得，F(xiàn)比值大，但是概率小于0.01.(c) 憑機遇幾乎無法獲得，(F比率很大)，發(fā)生概率小于萬分之一第十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第1步：計算總平方和方法13272524X1=25X29449425416X12=111方法23379475X2=38X2994

7、981164925X22=238方法3945910811X3=56X28116258110064121X32=488第十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月方法13272524X1=25X29449425416X12=111方法23379475X2=38X2994981164925X22=238方法3945910811X3=56X28116258110064121X32=488第2步. 三組的組間平方和為；第十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第3步： 已知組間SS，總的SS，計算組內(nèi)SS。SS組內(nèi)=162.6769.24=93.43第4步；計算組間方差估計值 df組間=K

8、1=3 1=2第5步：計算組內(nèi)方差估計值 df組內(nèi)= N K =213=18第6步：計算F 值在本例?？傋杂啥?N1=20第7步；列出分析分析表第十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月表 12-3 方差分析表變異源平方和自由度方差估計值F比率組間69.24234.626.67組內(nèi)93.43185.19總計162.672012.6 F 值的解釋查F 臨界值表，F(xiàn)0.05(2,18)=3.55請問：這個問題是否到此就結(jié)束了？ df2 單側(cè)Pdf12180.018.290.054.416.673.55, 所以按照0.05拒絕H0，三個總體平均數(shù)不同，不是來自一個總體。第十四張，PPT共二十九

9、頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 事前比較或者計劃比較：如果想在研究前進行比較，可使用事前檢驗而不用做方差分析。2. 事后比較：事前心中無數(shù)或者計劃不好，可先進行方差分析再事后做比較(也稱為兩兩比較)。1953年，普林斯頓大學(xué)Tukey提出HSD檢驗(honestly significant difference,即真正的顯著性差異)，使用條件：F檢驗要有顯著性，并且各組樣本量相等。其中：q=根據(jù)給定的水平以及組內(nèi)自由度和k(平均值的個數(shù))，從附表查得。第十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月表12-4 樣本平均數(shù)以及各組之間平均數(shù)差異的矩陣 =3.57 =5.43 =8.00 =3.57

10、1.864.43 =5.432.57 =8.00查附表6 q界值表當df=18 , r=3 ,=0.05時，查得q=3.61.因為只有第1和3組平均數(shù)之間的差異4.433.10，結(jié)論：第3種教學(xué)方法能夠顯著提高學(xué)生解決邏輯問題的能力。 df 1- r 等級差數(shù)3180.953.610.994.70第十六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12.7 單變量實驗設(shè)計-相關(guān)樣本 行為或醫(yī)學(xué)研究中諸多因素都能導(dǎo)致分數(shù)的變異。諸如個體差異，在獨立樣本中無法識別和量化，其結(jié)果會增大誤差。剔除這些誤差的方法，可考慮相關(guān)樣本設(shè)計。這好比選擇天線一樣，長天線噪音最低，電臺信號就清晰了。12.8 三個配對組

11、設(shè)計挑選21名業(yè)余籃球隊員，按照投籃水平分為七個區(qū)組，每組3人投籃水平比較一致。每組站在罰球線位置，隨機使用三種不同的投籃方法，每個人投20次。試問這21人在不同的區(qū)組和不同的投籃方法上是否存在差異？第十七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月表12-5 接受不同訓(xùn)練后3個配對組的投籃分數(shù)(每投20次投中的次數(shù))訓(xùn)練方法分組X1X2X3合計1151311392139103231210931411131236595721686418775214合計756155191第十八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12.9 計算平方和與方差估計值SS總=SS處理+SS區(qū)組+SS誤差 12-81

12、.計算總平方和 12-9矯正項CT表12-6 實驗處理情況區(qū)組X1X12X2X22X3X32區(qū)組和1152251316911121392131699811010032312144101009813141112113169121443659815257492168646364161877495252414和T1=75853T2=61605T3=55515191第十九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月X2=225+4=853+605+515=1973矯正項CT=(X)2/nik=1912/21=1737.19SS總= X2CT=1973 1737.19=235.81 df總=nk 1=73

13、 1=20 12-10SS處理=(752+612+552)/7 1739.19=30.10 12-11 df處理=k 1=3 1=2 12-12區(qū)組X1X12X2X22X3X32區(qū)組和11522513169111213977495252414和T1=75853T2=61605T3=555151912.計算SS處理及估計方差S2第二十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月SS處理=(752+612+552)/7 1739.19=30.10 12-11 df處理=k 1=3 1=2 12-12所以 S2處理=30.102=15.05 12-13區(qū)組blbl2139152123210243319

14、614361296521441618324714196和19157633. 計算SS區(qū)組及估計方差S2=(1521+.+196)/31737.19=183.81 df區(qū)組理=bl 1=7 6所以 S2區(qū)組=183.816=30.64 12-16第二十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月SS總= 235.81SS處理=30.10SS區(qū)組=183.81SS誤差=235.8130.10183.81=21.90 df誤差= df總df處理df區(qū)組=20 2 6=123. 計算SS誤差及估計方差S2所以 S2誤差=21.9012=1.82 12-17 表 12-7 隨機區(qū)組設(shè)計單因素方差分析表變

15、異源平方和自由度方差估計值F比率實驗處理30.10215.058.27區(qū)組183.81630.6416.84誤差21.90121.82總計235.8120第二十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月變異源平方和自由度方差估計值F比率實驗處理30.10215.058.28區(qū)組183.81630.6416.84查F臨界值表，F(xiàn)0.01(2,12)=6.93 , 8.286.93，所以拒絕H0，認為這些訓(xùn)練項目在三種情境中有差異查F臨界值表，F(xiàn)0.01(6,12)=4.82 .12.10 平均數(shù)之間Tukeys HSD顯著性檢驗進行三種實驗情境平均數(shù)差異的兩兩比較 df2 單側(cè)Pdf12120

16、.053.890.016.9316.844.82，所以拒絕H0，配對變量有效解釋了變異的總方差的大部分，可以解釋總平方和中的183.81/235.81=0.7795，或者78%。 df2單側(cè)Pdf16120.014.82第二十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月區(qū)組X1X2X311513117752和T1=75T2=61T3=55平均數(shù)10.718.717.86表12-8 平均數(shù)之間的差異的矩陣 =10.71 =8.71 =7.86 =10.712.00*2.85* =8.710.85 =7.86查q表(N-K檢驗用)當df=12 , k=3 ,=0.05時，查得q=3.77.=3.7

17、70.5099=1.92 df2 單側(cè)Pr3120.053.770.015.05第二十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12.11 小結(jié)咋一看，方差分析計算復(fù)雜，不易理解，其實這些計算都是遵循一定程序，并且可預(yù)測。復(fù)雜計算也是由簡單模型演變而來。例如：獨立樣本設(shè)計的方差分析先計算：SS總，SS組間，SS組內(nèi)及各自的自由度，再計算各自的方差。相關(guān)樣本的單因素方差分析先計算：SS總，SS處理，SS區(qū)組，SS誤差。再計算自由度以及各自的方差。而SS區(qū)組的計算與SS處理計算類似的。12.11.1 單因素獨立樣本方差分析第1步 計算總平方和第二十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 df 總=N-1 df組間=k-1 df誤差=N-K第2步 計算組間或?qū)嶒炋幚淼钠椒胶偷?步 計算組內(nèi)平方和第4步 計算自由度第5步 計