高二數(shù)學(xué)教案：《圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理》（新人教A版選修4-1）

1、三圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理課標(biāo)解讀1.掌握切線(xiàn)的性質(zhì)定理及其推論，并能解決有關(guān)問(wèn)題2.掌握切線(xiàn)的判定定理，會(huì)判定直線(xiàn)與圓相切.1切線(xiàn)的性質(zhì)定理及推論圖231(1)性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑如圖231，已知AB切O于點(diǎn)A，則OAAB.(2)推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)(3)推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心2切線(xiàn)的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)1“以圓的兩條平行切線(xiàn)的切點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段是圓的直徑”這句話(huà)對(duì)嗎？為什么？【提示】正確如圖AB、CD分別切O于E、F，連接EO并延長(zhǎng)交CD于F，AB是O的切線(xiàn)，OEAB.ABCD，OFCD，F(xiàn)為

2、切點(diǎn)，F(xiàn)與F重合，即EF是O的直徑2判定直線(xiàn)與圓相切共有哪幾種方法？【提示】判定直線(xiàn)與圓相切共有三種方法：(1)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；(2)到圓心距離等于圓的半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；(3)過(guò)半徑外端且和半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)3從圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理及推論，你能得出怎樣的結(jié)論？【提示】分析圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可以得出如下結(jié)論：如果一條直線(xiàn)具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可以推出第三個(gè)垂直于切線(xiàn)；過(guò)切點(diǎn)；過(guò)圓心于是在利用切線(xiàn)性質(zhì)時(shí)，通常作的輔助線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)的半徑圓的切線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用圖232如圖232所示，已知AB是O的直徑，直線(xiàn)CD與O相切于點(diǎn)C，AC平分DA

3、B，ADCD.(1)求證：OCAD；(2)若AD2，ACeq r(5)，求AB的長(zhǎng)【思路探究】(1)要證OCAD，只需證明OCCD.(2)利用ADCACB可求得【自主解答】(1)如圖所示，連接BC.CD為O的切線(xiàn)，OCCD.又ADCD，OCAD.(2)AC平分DAB，DACCAB.AB為O的直徑，ACB90.又ADCD，ADC90，ADCACB.eq f(AD,AC)eq f(AC,AB)，AC2ADAB.AD2，ACeq r(5)，ABeq f(5,2).1利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)證明或進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算時(shí)，常用連接圓心與切點(diǎn)的半徑與切線(xiàn)垂直這一理論產(chǎn)生垂直關(guān)系2常作的輔助線(xiàn)：(1)連接切點(diǎn)與圓心的半

4、徑(2)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角如圖233，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交BC于D，過(guò)D作O的切線(xiàn)交AC于E.求證：DEAC.圖233【證明】如圖，連接OD、AD.AB為O直徑，ADBC.ABAC，即ABC為等腰三角形，AD為BC邊上的中線(xiàn)，即BDDC.又OAOB，OD為ABC的中位線(xiàn)ODAC.DE切O于D，ODDE.DEAC.圓的切線(xiàn)的判定如圖234，AB是O的直徑，AE平分BAF交O于點(diǎn)E，過(guò)E作直線(xiàn)與AF垂直，交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，且交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C.求證：CD是O的切線(xiàn)圖234【思路探究】利用圓的切線(xiàn)的判定定理進(jìn)行切線(xiàn)的證明，關(guān)鍵是找出定理的兩個(gè)條件：過(guò)半徑的外端；該直線(xiàn)與某

5、一條半徑所在的直線(xiàn)垂直【自主解答】如圖，連接OE.OAOE，12.又AE平分BAF，23.13，OEAD.ADCD，OECD.CD與O相切于點(diǎn)E.1解答本題的關(guān)鍵是證明OECD，而已知ADCD，故只需證明OEAD.2判斷一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，常用輔助線(xiàn)的作法(1)如果已知這條直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)法證明連接所得到的半徑與這條直線(xiàn)垂直，簡(jiǎn)記為“連半徑，證垂直”；(2)若題目未說(shuō)明這條直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，得垂線(xiàn)段，再證明這條垂線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑，簡(jiǎn)記“作垂直，證半徑”圖235(2013洛陽(yáng)模擬)如圖235，直角梯形ABCD中，AB90，ADBC，E為AB

6、上的點(diǎn)，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB為直徑的圓與CD有怎樣的位置關(guān)系？【解】如題圖，過(guò)E作EFCD于F，DE平分ADC，CE平分BCD，AB90，AEEFBEeq f(1,2)AB.以AB為直徑的圓的圓心為E，EF是圓心E到CD的距離，且EFeq f(1,2)AB，以AB為直徑的圓與邊CD是相切關(guān)系.圓的切線(xiàn)性質(zhì)和判定定理的綜合應(yīng)用如圖236，AB為O的直徑，D是eq xto(BC)的中點(diǎn)，DEAC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，O的切線(xiàn)BF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.圖236(1)求證：DE是O的切線(xiàn)；(2)若DE3，O的半徑為5，求BF的長(zhǎng)【思路探究】(1)利用圓的切線(xiàn)判定定理證明(2)作DGAB

7、于G，利用ADGAFB求解【自主解答】(1)連接OD，D是eq xto(BC)中點(diǎn)12.OAOD，23，13，ODAE.DEAE，DEOD，即DE是O的切線(xiàn)(2)過(guò)D作DGAB，12，DGDE3.在RtODG中，OGeq r(5232)4，AG459.DGAB，F(xiàn)BAB，DGFB.ADGAFB，eq f(DG,BF)eq f(AG,AB).eq f(3,BF)eq f(9,10)，BFeq f(10,3).1解答本題(2)的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)DGAB于G，然后利用三角形相似求解2對(duì)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn)，其解答思路常常是先證明某直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，再利用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)求解相關(guān)結(jié)果已知

8、如圖237，A是 O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交于B點(diǎn)，OCBC，ACeq f(1,2)OB.圖237(1)求證：AB為O的切線(xiàn)；(2)若ACD45，OC2，求弦CD的長(zhǎng)【解】(1)證明：如圖，連接OA，OCBC，ACeq f(1,2)OB，OCBCCAOA，ACO為等邊三角形，O60，B30，OAB90，AB為O的切線(xiàn)(2)作AECD于點(diǎn)E，O60，D30.又ACD45，ACOC2，在RtACE中，CEAEeq r(2)，在RtADE中，D30，AD2eq r(2)，DEeq r(6).CDDECEeq r(6)eq r(2).(教材第32頁(yè)習(xí)題2.3第3題)如圖238，AB是

9、O的直徑，BC是O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD.求證：DC是O的切線(xiàn)圖238(2013江蘇高考)圖239如圖239，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.【命題意圖】考查圓的切線(xiàn)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)考查推理論證能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力【證明】連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以ADOACB90.又因?yàn)锳A，所以RtADORtACB.所以eq f(BC,OD)eq f(AC,AD).又BC2OC2OD，故AC2AD.1AB是O的切線(xiàn)，能確定CDAB的條件是()AOCDBCD過(guò)切點(diǎn)COCD，且CD過(guò)切點(diǎn) DCD是O

10、的直徑【解析】由切線(xiàn)的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C正確【答案】C2.圖2310如圖2310所示，直線(xiàn)l與O相切，P是l上任一點(diǎn)，當(dāng)OPl時(shí)，則()AP不在O上BP在O上CP不可能是切點(diǎn)DOP大于O的半徑【解析】由切線(xiàn)性質(zhì)定理的推論1，經(jīng)過(guò)圓心O垂直于切線(xiàn)l的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)，故P為切點(diǎn)，應(yīng)選B.【答案】B圖23113如圖2311，AP為圓O的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，OA交圓O于點(diǎn)B，若A40，則APB等于()A25B20C40 D35【解析】如圖，連接OP，AP為圓O的切線(xiàn)，OPA90，A40，AOP904050.OPOB，OPBeq f(1,2)(18050)65.APBOPAOPB906525.【答案】A4如圖

11、2312，AB是半圓O的直徑，BAC30，BC為半圓的切線(xiàn)，且BC4eq r(3)，則點(diǎn)O到AC的距離OD_.圖2312【解析】如圖，BC為半圓的切線(xiàn)，ABBC.又BAC30，C60.設(shè)AC交半圓O于E，連接BE，則BEAC，CBE30，ECeq f(1,2)BC2eq r(3)，BEeq r(BC2EC2)eq r(4r(3)22r(3)2)6，ODeq f(1,2)BE3.【答案】3一、選擇題1下列說(shuō)法：與圓有公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；垂直于圓的半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；與圓心的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；過(guò)直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)其中正確的有()ABC D【解析】根據(jù)切線(xiàn)的定

12、義及判定定理知正確【答案】C2AB是O的直徑，BC是O的切線(xiàn)，AC交O于D，AB6，BC8，則BD等于()A4B4.8C5.2D6【解析】AB是O的直徑，BC是O的切線(xiàn)，ABCB，BDAC.ACeq r(AB2BC2)10，BDeq f(ABBC,AC)eq f(68,10)4.8.【答案】C圖23133如圖2313所示，O是正ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E、F、G，點(diǎn)P是弧EG上的任意一點(diǎn)，則EPF()A120 B90C60 D30【解析】如圖所示，連接OE、OF.OEAB，OFBC，BEOBFO90.EOFABC180.EOF120.EPFeq f(1,2)EOF60.【答案】C圖23144

13、如圖2314所示，AC切O于D，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交O于B，且ABBC，若ADAC12，則AOOB()A21 B11C12 D1【解析】如圖所示，連接OD、OC，則ODAC.ABBC，ODCOBC90.OBOD，OCOC，CDOCBO.BCDC.eq f(AD,AC)eq f(1,2)，ADDC.BCeq f(1,2)AC，又OBBC，A30，OBODeq f(1,2)AO，eq f(AO,OB)eq f(2,1).【答案】A二、填空題5.圖2315(2013開(kāi)封模擬)如圖2315，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，O分別與邊AB、AC相切，切點(diǎn)分別為E、C.則O的半徑是_【解析】連接O

14、E，設(shè)OEr，OCOEr，BC12，則BO12r，ABeq r(12252)13，由BEOBCA，得eq f(BO,AB)eq f(OE,AC)，即eq f(12r,13)eq f(r,5)，解得req f(10,3).【答案】eq f(10,3)6(2012廣東高考)圖2316如圖2316所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿(mǎn)足ABC30，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線(xiàn)與OC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，則PA_.【解析】連接OA.AP為O的切線(xiàn)，OAAP.又ABC30，AOC60.在RtAOP中，OA1，PAOAtan 60eq r(3).【答案】eq r(3)三、解答題圖23177如圖2317，AB

15、是O的直徑，BAC30，M是OA上一點(diǎn)，過(guò)M作AB的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，直線(xiàn)CF交EN于點(diǎn)F，且ECFE.求證：CF是O的切線(xiàn)【證明】如圖，連接OC，AB是O的直徑，ACB90.BAC30，ABC60，又OBOC.OCBOBC60，在RtEMB中，EMBE90，E30.EECF，ECF30，ECFOCB90.又ECFOCBOCF180，OCF90.CF為O的切線(xiàn)8如圖2318，AB是O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，弦CDAB于E，POCPCE.圖2318(1)求證：PC是O的切線(xiàn)；(2)若OEEA12，PA6，求O半徑【解】(1)證明：在OCP與CEP中，POCPCE，OP

16、CCPE，OCPCEP.CDAB，CEP90，OCP90.又C點(diǎn)在圓上，PC是O的切線(xiàn)(2)法一設(shè)OEx，則EA2x，OCOA3x.COEAOC，OECOCP90，OCEOPC，eq f(OC,OE)eq f(OP,OC).即(3x)2x(3x6)，x1，OA3x3，即圓的半徑為3.法二由(1)知PC是O的切線(xiàn)，OCP90.又CDOP，由射影定理知OC2OEOP，以下同法一9如圖2319，AD是O的直徑，BC切O于點(diǎn)D，AB、AC與圓分別相交于點(diǎn)E、F.圖2319(1)AEAB與AFAC有何關(guān)系？請(qǐng)給予證明；(2)在圖中，如果把直線(xiàn)BC向上或向下平移，得到圖(1)或圖(2)，在此條件下，(1)題的結(jié)論是否仍成立？為什么？【解】(1)AEABAFAC.證明：連接DE.AD為O的直徑，DEA90.又BC與O相切于點(diǎn)D，ADBC，即ADB90，ADBDEA.又BADDAE，BADDAE，eq f(AB,AD)eq f(AD,AE)，即AD2ABAE.同理AD2AFAC，AEABAFAC.(2)(1)中的結(jié)論仍成立因?yàn)锽C在平移時(shí)始終與AD垂直，設(shè)垂足為D，則ADB90.AD為圓的直徑，AEDADB90.又DAEBAD.ABDADE.eq f(AB,AD)eq f(A