函數(shù)及其表示知識(shí)點(diǎn)與題型歸納2

1、有用文檔 高考明方向 1. 明白構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡潔函數(shù)的 定義域和值域,明白映射的概念2. 在實(shí)際情境中,會(huì)依據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng) 的方法 如圖象法、 列表法、解析法 表示函數(shù)3. 明白簡潔的分段函數(shù),并能簡潔地應(yīng)用 . 備考知考情 從近三年的高考試題看,函數(shù)的表示方法多以 選擇題、填空題形式顯現(xiàn),高考命題仍將集中在 懂得函數(shù)的概念,會(huì)求一些簡潔函數(shù)的定義域,而且經(jīng)常與其他學(xué)問結(jié)合考查,如解不等式、能 夠利用解析式求函數(shù)值,并且多以分段函數(shù)形式 給出. 函數(shù)的圖象主要表達(dá)在選擇與填空題中用 數(shù)形結(jié)合法解題和識(shí)圖才能,大題常在應(yīng)用題中 給文案大全有用文檔 出圖象求解析式一、學(xué)問梳理名師

2、一號(hào)P10 學(xué)問點(diǎn)一 函數(shù)的基本概念1、函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集,假如按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 f ,使對于集合 A 中的任 意一個(gè)數(shù) x,在集合 B中都有唯獨(dú)確定的數(shù) fx 和它對應(yīng),那么 就稱 f ：AB 為集合 A到集合 B的一個(gè)函數(shù),記作 yfx ,xA.其中, x 叫做自變量, x 的 取值范疇A 叫做函數(shù)的定義域,與 做函x 的值相對應(yīng)的 y 值叫數(shù)值,函數(shù)值的集合 fx|xA叫做函數(shù)的值域明顯,值域是集合 B的子集從映射的角度看,函數(shù)是由一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集 的映射溫馨提示：1A 、B都是非空數(shù)集,因此定義域 文案大全 或值域 為有用文檔空集的函數(shù)不存在2 函數(shù)關(guān)系

3、的判定要留意“ 每一個(gè)” 、“ 都 有” 、“ 唯獨(dú)” 等關(guān)鍵詞3 留意 fx 與 fa 的區(qū)分,fa 表示當(dāng) xa 時(shí) 的函數(shù)值,是一個(gè)常量；而 fx 是關(guān)于 x 的函數(shù),一般情形下是一個(gè)變量, fa 是 fx 的一個(gè)特殊 值2、函數(shù)的構(gòu)成要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系準(zhǔn)備的,所以,假如兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全 一樣,我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等3、函數(shù)的表示法有：解析法 、 列表法、 圖像法 學(xué)問點(diǎn)二 映射 映射的概念：設(shè) A、B是兩個(gè)集合,假如依據(jù)某種對應(yīng)法 就 f ,對于集合 A中的 任何 一個(gè)元素, 在集合 B 中都有唯獨(dú)確定的元素與它對應(yīng),這樣的

4、對應(yīng)關(guān) 系 叫做從集合 A到集合 B的映射,記作 f ：AB.文案大全有用文檔（補(bǔ)充）象和原象：給定一個(gè)集合 A到 B的映射,且 aA,bB,假如元素 a 和元素 b 對應(yīng),那么我們把元素 b 叫 做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象留意：名師一號(hào) P11 問題探究 問題 2 函數(shù)與映射的區(qū)分與聯(lián)系 1 函數(shù)是特殊的映射, 其特殊性在于, 集合 A與 集合 B只能是非空數(shù)集,即函數(shù)是非空數(shù)集 A到 非空數(shù)集 B的映射；2 映射不愿定是函數(shù), 從 A到 B的一個(gè)映射, 如 A,B不是數(shù)集,就這個(gè)映射便不是函數(shù)學(xué)問點(diǎn)三 分段函數(shù)如函數(shù)在其定義域內(nèi),對于自變量 x 的不同 取值區(qū)間,有著

5、不同的對應(yīng)法就,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù)（補(bǔ)充）復(fù)合函數(shù)yfg x文案大全有用文檔二、例題分析：（一 映射與函數(shù)的概念例 1（1）補(bǔ)充 （1） AxR,By y0,f:xy|x ；（2）Ax x2,xN*,By y:0,yN ,f:yx22x2；R ,fxyx （3）Ax x0,By y上述三個(gè)對應(yīng)答案：（2）是 A到 B 的映射留意： 補(bǔ)充 判定對應(yīng)是否為映射,即看“ 每元有像” 且“ 像唯獨(dú)”A中元素是否中意；即要留意：答應(yīng)一對一、多對一,但不答應(yīng)一對多；B中元素可有剩余（即答應(yīng) 原象） . B中有的元素沒有例 1（2）補(bǔ)充 點(diǎn) a b 在映

6、射 f 的作用下的象文案大全有用文檔是ab ab ,就在映射 f 的作用下點(diǎn)3,1 的原象是答案：2, 1例 2. 名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 例 1 有以下判定：fx |x| x與 gx 1 表示同一函數(shù)；函數(shù) yfx 的圖象與直線 x1 的交點(diǎn)最多有 1 個(gè)；22x1 與 gt t22t 1 是同fx x一函數(shù)；如 fx |x 1| |x| ,就 f f1 20. 其中正確判定的序號(hào)是 _文案大全有用文檔答案 : .域?yàn)榻馕觯簩τ?由于函數(shù) fx |x| x的定義x|x R 且 x 0 ,而函數(shù) gx 1 ,的定義域是 R,所以二者不是同一函數(shù)；對于,如x1 不是 yfx 定義域內(nèi)的值,就

7、直線 x1 與 yfx 的圖象沒有交 點(diǎn),假如 x1 是 yfx 定義域內(nèi)的值,由函數(shù) 定義可知,直線 x1 與 yfx 的圖象只有一個(gè) 交點(diǎn),即 yfx 的圖象與直線 x1 最多有一個(gè) 交點(diǎn)；對于, fx 與 gt 的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同,所以fx 和 gt 表示同一函數(shù)；對于,由于 f 1 2 1 21 1 20,所以 f f 1f0 1. 綜上可知,正確的判定是.文案大全有用文檔留意：名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 方法例 1 規(guī)律函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯獨(dú)確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同 一函數(shù),值得留意的是,函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是就效 果而言的 判定兩個(gè)函數(shù)的對

8、應(yīng)關(guān)系是否相同,只 要看對于函數(shù)定義域中任意一個(gè)相同的自變量的 值,依據(jù)這兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相 同 簡而言之 1、函數(shù)是一類特殊的映射, 是由一個(gè)非空數(shù)集到 另一個(gè)非空數(shù)集的映射；f:xy是一對一或多對一2、函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應(yīng)法就）可簡化為兩要素（定義域、對應(yīng)法就）練習(xí)：名師一號(hào) P10 對點(diǎn)自測 1- 圖像練習(xí)：溫故知新 P11 第 9 題文案大全有用文檔解析式為y2 x ,值域?yàn)?1,4 的函數(shù)共有個(gè)；答案： 9 （二）求函數(shù)解析式例 1. （1）名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 例 2 1 已知 f x1 xx21 x 2,求 fx 的解析式解析： 1 由于 f x1

9、xx2 1 x 2 x1 x22,所以 fx x 22,x2 或 x 2,故 fx 的解析式是 fx x 22x 2 或 x文案大全有用文檔2 留意：名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 方法 求函數(shù)解析式常用以下解法：例 2 規(guī)律1 配湊法：由已知條件 fgxFx ,可將 Fx改寫成關(guān)于 gx 的表達(dá)式,然后以 便得 fx 的表達(dá)式x 替代 gx ,例 1. （2）名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 例 2 2 已知 f 2 x1 lgx ,求 fx ；解析： 2 令 t 2 x1,就 xt 1,2ftlg2 t 1,即 fx lg2 x1. 留意：名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 文案大全例 2 規(guī)律有用文檔 方

10、法 求函數(shù)解析式常用以下解法：3 換元法：已知復(fù)合函數(shù) fgx的解析式,可用換元法,此時(shí)要留意新元的取值范疇例 1. （3）名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 例 2 3 已知 fx 是二次函數(shù)且 f0 2, fx1fx x1,求 fx ；解析： 3 設(shè) fx ax 2bxca 0 ,由 f0 2,得 c2,2bx 1 ax2fx 1 fx ax 1bxx1,即 2axabx1. 文案大全有用文檔2a1,即a1 2,ab1,b3 2.fx 1 2x23 2x2. 留意：名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 方法 求函數(shù)解析式常用以下解法：例 2 規(guī)律 2 待定系數(shù)法：如已知函數(shù)的類型 如一次 函數(shù)、二次函數(shù)等

11、可用待定系數(shù)法（補(bǔ)充）（1）一次函數(shù)解析式：f x kxb k0（2）二次函數(shù)解析式： 一般式：f x ax2bxc a0000 頂點(diǎn)式：f a xh2k a頂點(diǎn)為h k a 兩根式：f x a xx 1xx2的兩根）（x 1、x 2為相應(yīng)方程f x 文案大全有用文檔例 1. （4）名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 例 2 4 已知 fx 2f 1 xxx 0 ,求 fx 解析： 4 fx 2f 1 xx,f 1 x2fx1 x. 解方程組得 fx 2f 1 xx,f 1 x1 x,2 3xx 3x 0 留意：名師一號(hào) P11 高頻考點(diǎn) 方法 文案大全例 2 規(guī)律有用文檔求函數(shù)解析式常用以下解法：

12、4 方程組法：已知關(guān)于 fx 與 f 1 x或 f x 的表達(dá)式,可依據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè) 等式組成方程組,通過解方程組求出 fx 例 1. （5）（補(bǔ)充）已知函數(shù) fx 中意 f0 1,fa b fa b2ab1a 、bR,求 fx 解析：解法 1：令 a0,就 f b f0 b b文案大全有用文檔1 1bb 1 b fx x 2x1. 2b1,再令 bx 得,解法 2：令 ba,就 1f0 fa a2aa1 xfa aa 1 ,2a1,即 fx fa aa 1 1a2x1. 留意：（補(bǔ)充）求函數(shù)解析式常用以下解法：賦值法 此類解法的依據(jù)是：假如一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中的變 量對某個(gè)范疇的一切

13、值都成立,就對該范疇內(nèi)的 某些特殊值必成立,結(jié)合題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),給變量適當(dāng)取值,從而使問題簡潔化,具體化,從而獲解；（三 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)例 1. （1） 名師一號(hào) P11 對點(diǎn)自測 4 已知函數(shù) fx ,gx 分別由下表給出文案大全有用文檔x 1 2 3 1 2 3 f1 3 1 x x 就 fg1 中意 fgxgx3 2 1 的值為 _；gfx的 x 的值是_解析fg1f3 1. x 1 2 3 fgx 1 3 1 文案大全有用文檔gfx 3 1 3 故 fgxgfx 的解為 x2. 例 1. （2）名師一號(hào) P11 對點(diǎn)自測 6 2022 浙江卷 設(shè)函數(shù) fx x 2x,x0,x

14、2,x0.如 ffa2,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是_解析由題意得f2,文案大全有用文檔或f2,解得 fa 2. 由a0,cosx,x0,就以下結(jié)論正確選項(xiàng) Afx 是偶函數(shù) B fx 是增函數(shù)Cfx 是周期函數(shù) D fx 的值域?yàn)?1,文案大全有用文檔A 項(xiàng),f 2cos 20,而 f 2 221 244,明顯 f 2 f 2,所以函數(shù) fx不是偶函數(shù),排除 A. B 項(xiàng),當(dāng) x0 時(shí),函數(shù) fx 單調(diào)遞增,而 fxcosx 在區(qū)間 2 , 上單調(diào)遞減,故函數(shù) fx 不是增函數(shù),排除 B. C項(xiàng),當(dāng) x0 時(shí),fx x21,對任意的非零實(shí)數(shù) T,fx T fx 均不成立,故該函數(shù)不 是周期函數(shù),

15、排除 C. D項(xiàng),當(dāng) x0 時(shí),fx x211；當(dāng) x0 時(shí),fx cosx 1,1 故函數(shù) fx 的值域?yàn)?1,1 1 , ,即 1, ,所以該項(xiàng)正 確,選 D. 留意：名師一號(hào) P12 高頻考點(diǎn)文案大全例 3 規(guī)有用文檔律方法 1 處理分段函數(shù)問題時(shí),第一要明確自變量的 取值屬于哪個(gè)區(qū)間段,再選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系,代入求解 2 假如分段函數(shù)中每一段上的解析式都是我 們常見的基本初等函數(shù),通?？梢詫⑦@個(gè)分段函 數(shù)的圖象畫出來,然后結(jié)合圖象解決一些函數(shù)單 調(diào)性問題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定問題、參數(shù)取值 范疇的爭辯等問題例 3名師一號(hào) P12 特色專題 典例設(shè) x0 時(shí),fx 2；x0 的不同區(qū)間,爭

16、辯x1 與 x2 的符號(hào)可求出 gx 的表達(dá)式當(dāng) 0 x1 時(shí),x10,x20,gx 31 21；當(dāng) 1x2 時(shí), x10,x20,x20,gx 62 22. 1 ,故 gx 5 2其圖象如下圖文案大全有用文檔留意：分段函數(shù)意義懂得不清致誤【易錯(cuò)分析】對函數(shù)的對應(yīng)法就不懂得,誤認(rèn)為fx 1 fx 2 2,雖然都是 x0 但已知函數(shù) yfx ,x 是作為對應(yīng)法就 f 下的自變量,而函數(shù) yfx1 是復(fù)合函數(shù),對應(yīng)法就f 不是直接作用于 x,而是作用于 x1 只有 x1 時(shí),x10,此時(shí) fx 1 2 才成立不懂得分段函數(shù)的概念, 不會(huì)對 x1,x2 的符號(hào)進(jìn)行爭辯或爭辯時(shí)易遺漏1x0 也是對于分

17、段函數(shù)問題是高考的熱點(diǎn),在解決分段函 數(shù)問題時(shí),要留意自變量的限制條件課后作業(yè)計(jì)時(shí)雙基練 P213 基礎(chǔ) 1-11、培優(yōu) 1-4 課本 P11-12 變式摸索 1、2、3；對應(yīng)訓(xùn)練 1、2、3 預(yù)習(xí) 其次章其次節(jié)函數(shù)的定義域與值域補(bǔ)充：練習(xí) 1：已知f2x194x26x5,求f x ；答案：f x x25x文案大全有用文檔練習(xí) 2：已知 f1 cosx sin2x,求 fx 解析：令 t 1cosx,就 cosx1t sin 2x1cos 2x11t 2t 22t fx x 22x,但 t 1cosx0,2 fx x 22x x0,2 練習(xí) 3：設(shè)二次函數(shù) fx 中意 fx 2 f2 x ,且

18、 fx 0 的兩實(shí)根平方和為10,圖象過點(diǎn)0,3 ,求 fx 的解析式解析：設(shè) fx ax 2bxca 0 由 fx 2 f2 x 知,該函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x2 對稱b 2a2,即 b4a 又圖象過點(diǎn) 0,3 ,c3 由方程 fx 0 的兩實(shí)根平方和為 10,得 b a 22c a10,即 b 22ac10a 2 由、得 文案大全a1,b4,c3a0有用文檔應(yīng)舍去 fx x 24x3 練習(xí) 4：已知函數(shù) fx 中意條件： fx 2f 1 xx,就 fx _. 解：用1 x代換條件方程中的把它與原條件式聯(lián)立即得x 得,f 1 x 2fx 1 x,1 xx,1 x1 x. 2得2 fx 2x 3x . 練習(xí) 5：已知 f x 是奇函數(shù),g x 是偶函數(shù),且f x g x x11,求f x 的解析式；文案大全有用文檔答案：f x xx12練習(xí) 6：（05 山東）函數(shù)如f1f a2就a 的全部可能值為文案大全有用文檔A.1 B.2 C.1,2 D.1,2222答案： C 留意：（補(bǔ)充）轉(zhuǎn)化法（后置至奇偶性）已知 fx 在某個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式及 fx 具 有某種性質(zhì) 如奇偶性、對稱性等 ,求 fx 在另 一個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式,常