南京中考數(shù)學專題訓練-圓的綜合的綜合題分類

1、一.圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.（1）如圖1,在矩形4BCD中，點0在邊AB上，ZAOCNBOD,求證：AO=OB；（2）如圖2,AB是O0的直徑，網(wǎng)與O0相切于點A,0P與O0相交于點C,連接CB,Z0網(wǎng)二40。，求ZABC的度數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）25?！窘馕觥吭囶}分析：（1）根據(jù)等量代換町求得zAOD=ZBOC,根據(jù)矩形的對邊相等，每個角都是直角，可知ZA=ZB=90,AD=BC,根據(jù)三角形全等的判定AAS證得AOD妥BOC,從而得證結論.（2）利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)得到圓心角ZPOA的度數(shù)，然后利用圓周角定理來求ZABC的度數(shù).試

2、題解析：（1）ZAOC=ZBODZAOC-ZCOD=ZBOD-ZCOD即ZAOD=ZBOC四邊形ABCD是矩形ZA=ZB=90,AD=BCAAOD=ABOCAO=OB（2）解：TAB是OO的直徑，PA與OO相切于點A,PA丄AB,ZA=90.又ZOPA=40,ZAOP=50,OB=OC,ZB=ZOCB又ZAOP=ZB+ZOCB,ZB=ZOCB=二ZAOP=25。22.如圖，在銳角AABC中，AC是最短邊.以AC為直徑的OO,交BC于D,過O作OEIIBC,交OD于E,連接AD、AE、CE.（1）求證：ZACE=ZDCE；（2）若ZB=45ZBAE=15,求ZEAO的度數(shù)；2若AC=4,-=求C

3、F的長.(3)TO是AC中點【答案】（1）證明見解析，（2）60。；（3）【解析】【分析】易證ZOEC二ZOCE9ZOEC=ZECD,從而可知ZOCE二ZECD,即ZACE=ZDCEx延長AE交BC于點G,易證ZAGC=AB+ZBAG=60,由于OEIIBC,所以ZAEO二ZAGC=609所以ZEAO=AAEO=60q；S1S2S1易證于竺=亍，由于=所以=由圓周角定理可知“CAE“COE3心E3ZAEC=AFDC=90,從而可證明CDF-CEA,利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】-：OC=OE.乙OEC二乙OCEOEWBC,ZOEC二ZECD,ZOCE二ZECD,即ZACE=ZDCE

4、；延長AE交BC于點G.ZAGC是厶ABG的外角，ZAGC=ZB+Z8/46=60.OEIIBC,ZAEO二ZAGC=60OA=OE9ZEAO=AAEO=60.ZACE=ZFCD,CDFCEA,二【點睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，需要學生靈活運用所學知識3.如圖，A3為（30的直徑，點D為AB卜方00上一點，點C為弧ABD的中點，連接CD,CA（1）求證：ZABD=2ABDC；（2）過點C作CH丄AB于H,交AD于E,求證：EA=EC：（3）在（2）的條件下,若0H=5,40=24,求線段DE的長度

5、.Q【答案】（1）證明見解析：（2）見解析；（3）DE=2【解析】【分析】（1）連接&D,如圖1,設ZBDC=a,ZADC邙，根據(jù)圓周角定理得到ZCAB=ZBDC=a,由AB為O0直徑，得到Z408=90%根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結論；（2）根據(jù)已知條件得到ZACE=ZADC,等量代換得到ZACE=ZCAE,于是得到結論：（3）如圖2,連接0C,根據(jù)圓周角定理得到ZC0B=2ACAB,等量代換得到ZC0B=ZABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到0H=5,根據(jù)勾股定理得到AB=yjAD2+BD2=26,由相似三角形的性質(zhì)即可得到結論【詳解】（1）連接&D.如圖1,設ZBDC=a,ZADC邙，則ZCAB

6、=Z.BDC=a,點C為弧4BD中點，AOCD，ZADC二ZDAC邙，ZDAB邙-a,AB為OO直徑，/.ZADB=90/.a+p=90,/.p=90-a,/.Z/4BD=90-ZD/AB=90-（p-a）,ZABD=2a.二ZABD二2ZBDC；ZCAB=ACDB,:.ZACE=AADC,ZCAE=ADC,:.ZACE=ZCAE,:.AE=CE；如圖2,連接OC,:.ACOB=2ACAB,ZABD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB,/.ZCOB=Z.ABD,OHOC1ZOHC=AADB=90,:.OCH-ABD,:.=-,BDAB2：OH=5,.-.80=10,AB=JaD、+ED=26,:.

7、AO=13,:.AH=18,AHAE18AE399AHF-ADB,=一，即一=一，AE=，DE=.ADAB242622【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵.4.如圖，A是以BC為直徑的30上一點，AD丄BC于點D,過點B作O0的切線，與CA的延長線相交于點E,G是AD的中點，連結CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的延長線相交于點P.（1）求證：BF=EF：（2）求證：是O0的切線；（3）若FG=BF,且OO的半徑長為3近,求BD的長度.【答案】證明見解析；（2）證明見解析：（3）22【解析】分析：（1）利用平行線截三角

8、形得相似三角形，得厶BFC-。66且厶FEC-GAC,得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對等角，得到ZFAO=ZEBO,結合BE是圓的切線，得到網(wǎng)丄04從而得到網(wǎng)是圓0的切線；（3）點F作FH丄AD于點H,根據(jù)前兩問的結論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出BD的長度.詳解：證明：（l）TBC是圓0的直徑，BE是圓0的切線,EB丄BC.又ADBC9/.ADWBE.BFC-DGC,FEC-GAGBFCFEFCFDGCG*AGCGBF_EFdgagG是AD的中點，DG=AG,BF二EF；（2）連接AO,AB.3C是圓O的直徑，ZBAC=90由

9、得：在RtABAE中，F(xiàn)是斜邊BF的中點,af=fb=ef9可得zfba二zfab,又OA=OB,ZABO=ABAO9BE是圓O的切線，Z30=90。，ZFBA+ZABO=909ZFAB+Z8/40=90%即ZFAO=90網(wǎng)丄04,網(wǎng)是圓O的切線：（3）過點F作FH丄AD于點H,/BDAD.FH丄AD,FHWBC,由(2),知ZFBA二ZBAF,BF=AF.AF=FG,AFG是等腰三角形.AH=GH.DG=2HGFHWBD,BFllAD,ZFBD=9Q四邊形BDHF是矩形,BD二FH,FHWBCHFGDCG,FH_HG1CDDG2BD_1CD2TO的半徑長為3BC=6忑,BD丄BC=2J2.3

10、點睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)結合已知條件準確對圖形進行分析并應用相應的圖形性質(zhì)是解題的關鍵.5.己知：AB是30直徑,C是30外一點，連接BC交00于點D,BD二CD,連接AD、AC.OF=OBBF,AK二ABBK、AK=20F.如圖匕求證:ZBAD=ZCAD(2)如圖2,過點C作CF丄AB于點F,交/105【解析】試題分析：(1)由直徑所對的圓周角等于90。，得到ZADB=90。，再證明ZMBD雯aACD即可得到結論；(2連接BE.由同弧所對的圓周角相等，得到ZGABMBEG.再證KFE里BFE,得到BF二KF二丄BK.由OF=OB-BF,AK=A

11、B-BK,即可得到結論.2(3)連接CO并延長交AG于點A4,連接BG.設ZGAB=C(.先證CA4垂直平分AG,得到AM=GM,ZAGC+ZGCM=90。.再證ZGAF=AGCM=a通過證明AGB妥CMG,得到BG=GM=-AG.再證明ZBGCNMCG二a.設BF二KF二a,可得GF=2a,AF=4a.2由得到OF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得到3a+2=4a,解出a的值,得到AF,HkAB.GF,FC的值.由tana=tanZHAK=-,AK二6,可以求出AH的長.再由ZG4D=45。，貝ijAAjjAH,即可得到結論試題解析：解：(1)TAB為OO的直徑,AZ4DB=9

12、0%/.ZZIDC=90o.BD二CD,ZBDA=ACDA,AD=AD,.二ABDACD,:.ZBADMCAD.(2)連接BE.JBG二BG,:.ZGAB=ABEGCF丄AB,ZKFE=90./EHAGZAHE二ZKFE=90,ZAKH=ZEKF,:.ZHAK=AKEF=Z.BEF.FE二FE,ZKFENBFE=90,/.KFE里BFE9:.BF=KF=-BK.A(3)連接CO并延長交AG于點M,連接BG.設AGAB=a-.-AC=CG,:.點C在AG的垂直平分線上.OA=OG,點0在AG的垂直平分線上,CM垂直平分AG,:.AM=GM9ZAGC+ZGCA4=90。/AFICG,ZAGC+ZG

13、AF=90。，二ZGAF=ZGCM二aVAB為00的直徑,AZ4GB=90,AZ4GB=ZC/WG=90.1/AB=AC=CG,AGBCMG,.IBGGM=-AG.2在RtAAGB中,GbtanZGAB=taiia=-AG2BF1&BF=KF=a,tanZBGF=tai=-GF=2a,tanZGAF=tana=GF1ZAMC=Z.AGB=90%/.BGWCM,:.ZBGC=ZMCG二a.AF二4aOK,OFp+1,AK=2OF=2(a+1),二AF二AK+KF二a+2(a+1)=3a+2,/.3a+2=4a,/.a=2.AK=6.:.AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4.FC

14、二CGGF=6tana=tanZHAK二HK177設KH二m,則AH=2rrhAK=6,解得:墮，.知2“座.55在RtABFC中,EF1taiiZCF=二一.ZBAD+ZABD二90。，ZFBC+ZBCF=90ZBCF=ZBAD,FC3tanZD=tanZBCF=|J.1tailZGAF+tailABAD2+3ttanZGAD=J=1,1-tailZGAF-tanZBAP1_x23ZGAD=45,:.HLMH,AL=邁AH=壓.6.如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，小圓直徑AE的延長線與人圓交于點B,點D在人圓上，BD與小圓相切于點F,AF的，延長線與大圓相交于點C,且CE丄BD找出圖中【

15、解析】試題分析：由AE是小O0的直徑，可得OA=OE,連接OF,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OF丄BD,然后由垂徑定理，可證得DF=BF,易證得0FllCE,根據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得AF=CF,繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形，貝ij可得AD=BC,AB=CD.然后連接OD、0C,可證得AAODEOC,則可得BC=AD=CE=AE.試題解析：圖中相等的線段有:OA=OE,DF=BF,AF=CF,AB二CD,BC=AD=CE=AE.證明如下：AE是小OO的直徑，OA=OE.連接OF,BD與小OO相切于點F,OF丄BDBD是人圓0的弦，DF=BFCE丄BD,CEIIOF,AF=CF四邊形ABC

16、D是平行四邊形./.-AD=BC,AB=CD./CE：AE=OF：AO,OF=AO,AE=EC連接OD、OC,OD=OC,ZODC=ZOCDZAOD=ZODC,ZEOC=ZOEC,ZAOC=ZEOC,AOD竺EOC,AD=CE【點睛】考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性很強解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法，小心不要漏解.7.如圖，AB是圓0的直徑，射線AM丄AB,點D在AM上，連接0D交圓0于點E,過點D作DC=DA交圓0于點C（A、C不重合），連接OC、BC、CE.（1）求證：CD是O0的切

17、線；（2）若圓0的直徑等于2,填空：當AD=時，四邊形OADC是正方形；當AD二時，四邊形OECB是菱形.【答案】見解析：（2）1；羽.【解析】試題分析：（1）依據(jù)SSS證明AOAD竺OCD,從而得到ZOCD=ZOAD=90：（2）依據(jù)正方形的四條邊都相等可知AD=OA：依據(jù)菱形的性質(zhì)得到0E=CE,則AEOC為等邊三角形，則ZCEO=60,依據(jù)平行線的性質(zhì)可知ZDOA=60%利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長.試題解析：解:VAM丄AB,ZOAD=90.OA=OC,OD=OD,AD二DC,OAD竺OCD,ZOCD=ZOAD=90.OC丄CD,CD是OO的切線.(2)當四邊形OADC是正方形，

18、AO=AD=1.故答案為：1.四邊形OECB是菱形，OE=CE又OC=OE,OC=OE=CE.ZCEO=60.CEIIAB,ZAOD=60.在RtAOAD中，ZAOD=60AO=1,ADM故答案為：73.點睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，特姝銳角三角函數(shù)值的應用，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.&如圖，在RtAABC中，點O在斜邊上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點D,E,連接AD.已知ZCAD=ZB.求證：AD是O0的切線；若CD=29AC=49BD=6,求OO的半徑.【答案】詳見解析；羋【解析】【分析】解答

19、時先根據(jù)角的人小關系得到z1=Z3,根據(jù)直角三角形中角的人小關系得出OD丄AD,從而證明AD為圓O的切線；(2)根據(jù)直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結果【詳解】(1)證明：連接0D,OB=OD,Z3=ZB,ZB=Z1,Z1=Z3,在RtAACD中,Z1+Z2=90%/.Z4=180-(Z2+Z3)=90%ODAD.則AD為圓O的切線；(2)過點O作OF丄BC,垂足為F,衛(wèi)OF丄BD1DF=BF=_BD=32AC=4,CD=2,ZACD=90。ad=Jac?+cd=2序ZCAD=AB,ZOFB=ZACD=90厶BFO-ACDBFOB【點睛】此題重點考查學生對直線與圓的位置關系，圓的半徑的

20、求解，掌握勾股定理，兩三角形相似的判定條件是解題的關鍵9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于30,ZBAD=90,AD.BC的延長線交于點F,點F在CF上，且ZDEC二ZBAC.（1）求證：DE是OO的切線：（2）當ABMC時，若CE=2,EF=39求O0的半徑.【答案】（1）證明見解析：（2）巫.【解析】【分析】（1）先判斷出BD是圓0的直徑，再判斷出BD丄DE,即可得出結論；（2）根據(jù)余角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到ZF=ZEDF,根據(jù)等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根據(jù)勾股定理得到CD=JdE?-CE）=J5，證明4CDE-、DBE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論.【詳解】（1）如圖，連接

21、BD.Z8/40=90,點O必在BD上,即:BD是直徑,/.Z8CD=90,/.ZDEC+ZCD=90.ZDEC=ZBAC,/.ZBAC+ZCDE=90.ZBAC二ZBDC,ZBDC+ZCDE=90。，/.ZBDE=909即：BD丄DE.點D在O0,:.DE是OO的切線；CDBDJ5x33J5八乙DEC二乙BED,氐CDE-“DBE=,BD=f9二。的半CEDE22徑空.4【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理,求出DQEF是解答本題的關鍵.10.如圖1,等腰直角AABC中，ZACB=90%AC=BC,過點A,C的圓交AB于點D,交BC于點E,連結

22、DE若AD=7tBD=1,分別求DE,CE的長如圖2,連結CD,若CE=3,AACD的面積為10,求tanZBCD如圖3,在圓上取點P使得ZPCD=ZBCD(點P與點E不重合),連結PD,且點D是ACPF的內(nèi)心請你畫岀4CPF，說明畫圖過程并求ZCDF的度數(shù)8【答案】(I)DE=1,CE=3/2：1(2)tanZBCD=；4(3)135。；2.【解析】【分析】由A、C、E、D四點共圓對角互補為突破II求解：找ZBDF與ZODA為對頂角，在O0中，ZCOD=2ZCAD,證明OCD為等腰直角三角形，從而得到ZEDC+ZODA=45,即可證明ZCDF=135；過點、D做DH丄CB于點、H,以D為圓心

23、，DH為半徑畫圓，過點P做OD切線PF交CB的延長線于點F,結合圓周角定理得出ZCPD=ZCAD=45%再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點，得出ZCPA90。，然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出ZDCF+ZCFD=丄ZPCF+-ZPFC=45,最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求22解；證明ZDCF+ZCFD=45。，從而證明ZCPF是直角，再求證四邊形PKDN是正方形，最后以APCF面積不變性建立等量關系，結合已知(a-JJc)(b-JJc)=&消去字母a,b求出c值，即求出ACPF的內(nèi)切圓半徑長為Qc.【詳解】(1)由圖可知:設BC=X在RtAABC中，AC=BC由勾股定理得:AC2+BC2=

24、AB2,TAB二AD+BD,AD=7BD=1,x2+x2=82,解得：x=4近.OO內(nèi)接四邊形，ZACD=90,ZADE=90,ZEDB=90,ZB=45,BDE是等腰直角三形.DE=DB,又DB=1,DE=1,又CE=BC-BE,CE=45/2y/=32團2B在DCB中過點D作DM丄BE,設BE=y,貝JDM=-y,2又CE=3,BC=3+y,TAC薩Sacd+SdCB，-x4/2x4-/2=10+*x(3+y)x*y,解得：y=2或y=-ll(舍去)EM=1,CM=CE+ME=l+3=4,又ZBCD=ZMCD,二tanZBCD=tanZMCD,在RtADCM中，tanZMCD=DMCM41tanZBCD=.4（3）如下圖所示：過點D做DH丄CB于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點P做OD切線PF交CB的延長線于點F.ZCAD=45,ZCPD=ZCAD=45%又點D是ACPF的內(nèi)心，.PD、CD、DF都是角平分線,ZFPD=ZCPD=45,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFDZCP