如何進行柯西不等式的教學

1、如何進行柯西不等式的教課柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其余好多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用，教科書第一介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特別種類的函數(shù)極值中的應(yīng)用.在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書指引學生在平面直角坐標系中，依據(jù)兩點間的距離公式以及三角形的邊長關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式接著借助二維形式的柯西不等式證了然三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書安排了個研究欄目，讓學生經(jīng)過研究得出一般形式的三角不等式.由上可見，教材編寫者對這

2、部分內(nèi)容的要求以便讓學生在大學學習打下堅固的基礎(chǔ)，但這部分教與學的難度是不言而喻的.nnn柯西不等式222是柯西在1931年研究數(shù)學分析中的“留數(shù)”aibi(aibi)i1i1i1問題時獲取的.表面上看，這一不等式其實不難理解，也很簡單考據(jù)它的正確性，特別是它的二階形式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，幾乎是不證自明的.但是，我們能看出這一平凡無奇的不等式成立，是因為早先已經(jīng)知道兩邊是什么式子，而最初發(fā)現(xiàn)這樣的不等關(guān)系，則是一個創(chuàng)立的過程，其實不是那么簡單的.柯西不等式不失為至善至美的重要不等式,以它的對稱友好的構(gòu)造,簡潔明快的解題方法等特色,深受人們的喜歡.并且和物理學中的矢量、高等數(shù)

3、學中的內(nèi)積空間等內(nèi)在地聯(lián)系在一起.柯西不等式的幾種形式都有較為深刻的背景和廣泛的應(yīng)用，向量形式不但直觀地反響了這一不等式的實質(zhì)，一般形式nnnai2bi2(aibi)2有一個推行形式：i1i1i111(a1pa2panp)p(b1qb2qbnq)qa1b1a2b2anbn.此中111.該不等式稱為赫爾德（Holder）不等式，當pq2時，即為pq柯西不等式，是數(shù)學分析中最實用的不等式之一.其余，平面三角不等式是柯西不等式的等價形式，它的推行形式nnnxi2yi2(xiyi)2i1i1i1（閔可夫斯基不等式）也是數(shù)學分析中的經(jīng)典不等式.這就是在新課程標準中作為選學內(nèi)容出現(xiàn)的原由，也是多年數(shù)學奧賽

4、的要點內(nèi)容的原由.但因為中學生的認知水平，要達到標準要求“認識柯西不等式、會求一些特定函數(shù)的極值”對好多同學來說是一個難點.那么，如何達到學習目的呢1第一熟習“”的含義有好多同學十分“惱恨”這個符號，總是看不懂，從而就避開這個符號，如93年高考題理科（24）使用了連加號“”，好多考生不懂，其實這個符號在課本多次出現(xiàn)過，因為長遠不用，他們忘掉了.這個符號是絕對好用的，并且今后會常常遇到，在大學課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習慣了.Ai下方寫i1，上方寫n，這里i是下標變量，1是i初步的值，n是i停止的值，這nAn.時AiA1A2i12柯西不等式有著豐富的幾何背景，可以經(jīng)過幾何解說加深對其實

5、質(zhì)特征的認識與理解對于一個代數(shù)結(jié)果作簡單的解說，常常需要借助于幾何背景，只有人們知道了問題發(fā)現(xiàn)的過程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有著豐富的幾何背景，運用向量的數(shù)目積在不等式和幾何之間架起一座橋梁，就可以用幾何的背景解說不等式：設(shè)a1,a2,an，b1,b2,bn，由，可得nnnai2bi2(aibi)2.i1i1i13認清柯西不等式的構(gòu)造形式以便發(fā)生聯(lián)想20世紀最偉大的數(shù)學家馮諾依曼（Neumann）指出“大多數(shù)最好的數(shù)學靈感本源于經(jīng)驗”，從形式構(gòu)造上看，柯西不等式大的一邊是兩個向量的模的積的形式，小的一邊是向量數(shù)目積的坐標運算的平方形式，只要簡記為“方和積大于積和方”.等號成立條件比較

6、特別，要牢記.其余應(yīng)注意在這個式子里不要求各項均是正數(shù).有了這一經(jīng)驗，就簡單在解題時發(fā)生聯(lián)想.如：例1設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：a2b2c2abc.bca分析：假如要運用cauchy不等式，就要聯(lián)想到小的一邊是“積和方”形式就自然分析出只要證在不等式兩邊同乘以abc，即(abc)(a2b2c2)(abc)2，bca而另一邊要看作“方和積”，只要變形222222(c)2(a)2(b)2，abcabc，abcbcaabc應(yīng)用柯西不等式，得(a)2(b)2(c)2(c)2(a)2(b)2(acbacb)2abcabc即a2b2c2abc.bca4含有常數(shù)的不等式辦理方法在不等式中含有常數(shù)n，這個常數(shù)

7、一般與cauchy不等式中向量的維數(shù)有關(guān)，平常把n寫成12121212的形式或111的形式,又如：例2證明：a3b3c3d324a6b6c6d6.分析：常數(shù)4恰好就是每個括號中加數(shù)的個數(shù)，此時平常把4寫成“12121212”，用柯西不等式：a3b3c3d3212121212a6b6c6d6即可.例3設(shè)是實數(shù)，對任意實數(shù)x,y,z恒有x2y222x4y44成立，試求的取值范圍zz分析：與柯西不等式的一般形式比較，“積和方”已經(jīng)具備，而另一邊只要再構(gòu)造一個“方和積”即可，因為x2y2z2212x4y4z4，1212所以，3.例4求三個實數(shù)x,y,z，使得它們同時滿足以下方程2x3yz13.4x29

8、y2z22x15y3z82分析：將雙方程左右兩邊分別相加，變形，得2222x3y3z2108由第1個方程變形，得2x3y3z218于是由柯西不等式，得18212x13y31z221212122x2223y3z2182.從而由等號成立的條件可得2x3y3z26，故原方程的解為x3,y1,z4提示：由柯西不等式解方程時必定要注意運用cauchy不等式等號成立的條件.5在應(yīng)用cauchy不等式求最值時，要擅長構(gòu)造例5（2001年全國初中聯(lián)賽題）務(wù)實數(shù)x、y的值，使得y12xy322xy62達到最小值分析：就需要把y12xy322xy62看作是不等式中向量模的平方，構(gòu)造另一模的平方，構(gòu)造的序次為把最繁

9、的式子2xy6對應(yīng)的坐標為1，考慮xy3乘以2就可以把x抵消，所以2就是xy3對應(yīng)坐標，最后看12xy62xy3y,所以y1對應(yīng)的坐標為1，從而就有cauchy不等式：1222y122212xy32xy61y12xy312xy62y1xy32xy621.226例6若5a6b7c4d1,求3a22b25c2d2的最小值,并指出等號成立的條件.分析：因為a,b,c,d各項系數(shù)不一樣，并且既有1次項，又有2次項，明顯要用柯西不等式，因為是求3a22b25c2d2的最小值，必定要把3a22b25c2d2看成“方和積”的一部分，而條件5a6b7c4d是常數(shù)，它必定是“積和方”的一部分.并且使用柯西不等式

10、不受-7c這項的影響.使用時，注意寫明等號成立條件，檢驗最小值能否取到.知識小結(jié)1二維形式的柯西不等式：若a,b,c,d都是實數(shù)，則a2b2c2d2acbd2，當且僅當adbc時，等號成立.2柯西不等式的向量形式：設(shè),是兩個向量，則，當且僅當是零向量或存在實數(shù)k，使k時，等號成立.3二維形式的三角不等式：設(shè)x1,y1,x2,y2R，則x12y12x22y22x1x22y1y22.4.三維形式的柯西不等式：設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3是實數(shù)，則a12a22a32b12b22b322a1b1a2b2a3b3當且僅當bi0(i1,2,3)或存在一個數(shù)k，使得aikbii1,2,3時等號成立.

11、一般形式的柯西不等式：設(shè)a,a,a,a,b,b,b,b是實數(shù)，則123n123na12a22an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2.當且僅當bi0(i1,2,n)或存在一個數(shù)k，使得aikbii1,2,n時等號成立.應(yīng)用舉例例1已知3x22y26，求證：2xy11.證明：由柯西不等式得2xy23x2y2222y24161111213x2232326所以2xy.11例2設(shè)a,b,c,d是4個不全為零的實數(shù)，求證：ab2bccd21.a2b2c2d22證明：ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)2abcd2bcad2b2a2c2d22a2c2b2d2a2b2c2d22a2c

12、2b2d2a2b2c2d221a2b2c2d2222所以ab2bccd21.a2b2c2d22例3若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點.解：由柯西不等式得x2y2324223x4y，得25x2y24，所以x2y24.25當且僅當xy時等號成立，343x4y26x為求最小值點，需解方程組xy25834y25即當x6,y8時，x2y2的最小值為4，最小值點為6,8.2525252525例4已知a,bR且ab1,求證：axby2ax2by2證明：設(shè)m(ax,by),na,b，則axbymnmnax2222byabax2by2abax2by2，axby2ax2by2.例5若x0,，試求函數(shù)f(

13、x)3cosx41sin2x的最大值，并求出2相應(yīng)的x的值.解：設(shè)m(3,4),ncosx,1sin2x，則f(x)3cosx41sin2xmnmn3242cos2x1sin2x52當且僅當m/n時，上式取“=”，此時31sin2x4cosx，解得sinx7,cosx32,xarcsin7555當xarcsin7時，函數(shù)f(x)3cosx41sin2x取最大值52.5例6設(shè)x,y,z是正數(shù)，證明：1yzzx1zxxy1xyyz.2221xy1yz1zx1證明：由柯西不等式得zxy1xy1xy1.2z所以1yzzxz.1x2xyyz同理1zxxyx，1xyyzy.2xy2xy1yzz1xzz將三

14、個不等式相加，得1yzzx1zxxy1xyyz1.1x21y21z2yzx說明：對于好多分式不等式分母太多，也很復雜，我們可局部利用柯西不等式將分母化為一致的式子，使問題得以簡化.例7解方程4x3212x15.解：原方程變形為1522x3212x2222x3215.212x222232x12x此中等號成立的重要條件是22.2解得x1.3說明：注意方程與不等式間的互相轉(zhuǎn)變，當不等式中的等號建立刻，不等式就成為方程了.例8m個互不同樣的正偶數(shù)與n個互不同樣的正奇數(shù)的總和為1987，對于全部這樣的m、n，問3m4n的最大值是多少試證明你的結(jié)論.解：設(shè)ai(i1,2,m)為互不同樣的正偶數(shù)，bj(j1

15、,2,n)，則a1a2am242m，b1b2bn132n1，a1a2amb1b2bm1987，121.由上述三式可得mm1n21987，即mn21987241212由柯西不等式得，3m4nmn23242.22321即3m4n198752.2413222.3m4n221.3m4n5198724又當m27,n35時，3m4n221且滿足mm1n21987.故所求最大值為221.說明：本題反響了一種重要解題方式，那就是第一減小所研究目標的范圍，再運用柯西不等式作進一步縮短，步步迫近，最后又經(jīng)過構(gòu)造實例使目標獲取確認.例9設(shè)a1,a2,an為實數(shù)，運用柯西不等式證明：a12an2a1ann.nn11a

16、1an證明：由柯西不等式得1n111n.22a2a211aan個于是a12an2na1a2an即得a12an2a1an.nn再由柯西不等式得1111112a1a2ana1a2ann2.a1a2ana1a2an于是a1ann.n11a1an綜合知原不等式成立.例10已知實數(shù)a,b,c,d滿足abcd3，且a22b23c26d25，試求a的最大值與最小值.解：由柯西不等式得，2b23c26d2111bcd2.2362即2b23c26d2bcd.綜合得5a23a2，1a2當且僅當2b3c6d，即2b3c6d時等號成立.111236由abcd3和2b3c6d知，當b1,c2,d1時，amin133當b

17、1,c1,d1時，amax2236例11已知正數(shù)x,y,z滿足xyzxyz，且不等式111恒成xyyzzx立，求的取值范圍.解111111xyyzzx2xy2yz2zx1z1x1y1xyxyzyz2zx11121212zxy2zxz2xyyzxy所以的取值范圍是3,.232例12求出全部實數(shù)a，使得存在非負實數(shù)x1,x2,x3,x4,x5，合適以下關(guān)系式：1x12x23x34x45x5a13x123x233x343x453x5a215x125x235x345x455x5a3解：設(shè)有非負實數(shù)x1,x2,x3,x4,x5滿足題設(shè)要求，那么由柯西不等式得a413x123x253x5215151522

18、12x112x12x222x252x552x51x12x25x515x125x255x5a4152xk0k1,2,3,4,5這樣一來，上式中惟有等號成立，于是kxkk2假如x1,x2,x3,x4,x5中有兩個或兩個以上不為零，上式不行能成立，所以只好有上述兩種情況：x1x2x3x4x50,此時a0.xii1,2,3,4,5中有且僅有一個不為零，不如設(shè)xk0，依題設(shè)kxka,k3xka2,k5xka3解得xkk,k2ak1,2,3,4,5綜上知，當a0,1,4,9,16,25時，存在非負實數(shù)x1,x2,x3,x4,x5滿足題設(shè)要求.例13P是ABC內(nèi)一點，x,y,z是P到三邊a,b,c的距離，R

19、是ABC外接圓的半徑，證明：xyz1a2b2c2.2Rabc證明：記S是ABC的面積，則axbycz2S2Rxyzax1by1cz1abcaxbycz111abc111abc2Rabc1abbcca1a2b2c22R2R所以xyz1a2b2c22R說明：本題中給出ABC三邊的長，又給出了ABC內(nèi)一點到三邊的距離及外接圓的半徑，可聯(lián)想到ABC的面積可以把這些量聯(lián)系起來：S1axbycz，又aa22R,sinAsinA2RS1bcsinA1bcaabc222R4R練習1一、選擇題1若直線xy1經(jīng)過點Mcos,sin，則（D）abAa2b21Ba2b21C111D111a2b2a2b22已知a0,b

20、0，且ab2，則（C）Aab1Bab1Ca2b22Da2b23223若m,n,x,y滿足m2n2a,x2y2b,此中a,b為常數(shù)，那么mxny的最大值為（B）AabBabCa2b2Da2b22224.若a,b,c,d都為實數(shù),則不等式22222）取等號的條件是abcdacbdDA.abdc0B.adbc0C.abdc0D.adbc05.已知a,bR且ab1,則11與4的關(guān)系為（）abBA.114B.114C.114D.114abababab6.設(shè)a,bR，則a12的最小值為（）2bbDaA.5B.6C.8D.97.若a,b是非零實數(shù)且ab1,x,x2R，Maxbx2bxax2，Nxx，1111

21、2則M與N的大小關(guān)系為（A）A.MNB.MNC.MND.MN8.若實數(shù)x,y滿足x222，則x2y2的最小值為（）5y1214DA.2B.1C.3D.29.函數(shù)yx22x3x26x14的最小值為（）CA10B10C101D10110不等式a9b2b9a29等號成立的條件為（D）Aab3Bab9Ca2b23Da2b29二、填空題11設(shè)m,n,x,y0，且mn1，則uxy的最小值為.答案：xy2mn12設(shè)a,b為正數(shù)，則a12b1的最小值為.答案：9b2a213.函數(shù)U3x549x的最大值為.答案：1014.設(shè)x,y0,1，則x1yy1x的最大值為.答案：115.設(shè)a,b,c,d,m,n都是正實數(shù)

22、，Pabcd，Qamncbd，mn則P與Q的大小關(guān)系為.答案：PQ16.若2x3y122的最小值為，最小值點為.答案：，則xy,2,3131313三、解答題17.求證：25a4a35.證明：由柯西不等式得45415a4a25a24a354a25a當且僅當5a4a即x11時等號成立.21518.設(shè)ab1，求證：a4b41.8證明：由柯西不等式得11a2b22121ab221ab.2再由柯西不等式得11a4b4a2b221124441ab.19已知p,qR且p3q32，求證：pq2.3311證明：設(shè)m(p2,q2),np2,q2，則3131p2q2p2p2q2q2mnmnp3q3pq2pq又pqp

23、q222q22p2p2q22pqpq48pqpq38pq220求函數(shù)y4x713x2的最大值.解：定義域為13,13，由柯西不等式得1649131649x213x224x713x24x713x26513135當且僅當x13x2即x45時等號成立.475當x45時，函數(shù)y4x713x2的最大值為135.521.試用柯西不等式求點P3,4到直線:2x3y50的距離.解：直線上的任意一點Q(x,y)到定點P3,4的距離為22x3y4由柯西不等式得22249x3y41822x33y4即x32y42132x3y1825132x32y4213當且僅當x3y4且2x3y5即xy1時等號成立.2322當xy1

24、時，x3y4取最小值13即為所求的距離.練習2一、選擇題1.設(shè)a,b,c為正數(shù)，且abc1，則（D）A.1113B.1113C.1119D.abcabcabc1119abc2.設(shè)x,y,z為正數(shù)，且xyz1，則(A)A.x2y2z21B.x2y2z21C.x2y2z21D.339x2y2z2193.求使y12xy322xy62達到最小值的實數(shù)x,y的值（）A555515Ax,yBx,yCx3,y5Dx,y2634264.設(shè)a,b,c為正數(shù)，且abcA，則（D）A.1113B.1113C.1119D.1119abcAabcAabcAabcA5.設(shè)，則2x3yz的最小值為（）xyz1222BA3B

25、6C3D7101111106.式子a2b2c2111的最小值為（）222abcAA9B10C12D187.設(shè)x222y1z11，則函數(shù)W2xyz16的取值范圍為（D）4916A1040W1040B1041W1041C1840W1040D1841W18418.設(shè)a,b,c為正數(shù)且不全相等，判斷M9與N222的大?。―）abcabbccaAMNBMNCMNDMN9.設(shè)x1,x2,xn為正數(shù)，Wx1x2xn，U111，則下式成立的是（）x1x2BxnAWUn2BWUn2CWUn2DWUn210.設(shè)a,b,cR，則abac的最小值為（C）bccabA3B2C3D34211.已知,為銳角，且cos4si

26、n41，則（A）22sincosA2B3CD5441212.若516273441，則函數(shù)1234的最小值為（）xxxx2222BM3x2x5xxA782B15C3D25157823二、填空題13.設(shè)n2,3,則123n與nn1的大小關(guān)系為.2答案：123nnn1214.若a,b,c為實數(shù)，且a2b2c21，則函數(shù)Uabbcca的取值范圍為.1答案：U1215.設(shè)x,y,zR且1231，則xyz的最小值為.答案：9xyz2316.若0a,b,c1且abc2，則函數(shù)Ua2b2c2的取值范圍為.答案：4,2317.實數(shù)x,y,z滿足2x3y5z29，則函數(shù)U2x13y45z6的最大值為.答案：230

27、18.已知數(shù)據(jù)x1,x2,x10的均勻數(shù)為6，標準差為2，則數(shù)據(jù)x1,x2,x5的均勻數(shù)的取值范圍為.答案：62,62三、解答題19.已知正數(shù)x,y,z滿足xyz1，求證：14936xyzx3y3z3x2y2z23證明：由柯西不等式得1492(x12336yz)yz，x所以14936xyz由柯西不等式得3131312x2y2z22x2x2y2y2z2z2x3y3z3xyz由均值不等式得xyzx2y2z2332y2z2即xyz3x2將兩式相乘獲?。簒2y2z2xyz3x3y3z3又xyz1所以x3y3z3x2y2z23220.設(shè)a1,a2,an為實數(shù)，b1,b2,bn為正數(shù)，求證：a12a22a

28、n2a1a2anb1b2bnb1b2bn證明：由柯西不等式得a12a22an2b1b2bnb1b2bn2a1b1a2b2anbnb1b2bna1a2an2因為b1,b2,bn為正數(shù)，所以b1b2bn0故a122a22an2a1a2anb1b2bnb1b2bn21.設(shè)a,b,c,d為正實數(shù)，且abcd4，證明：a2b2c2d24ab2bcda證明：因為abcd4，要證原不等式成立，等價于證明a2b2c2d224abbcdabcdabcda事實上，a2b2c2d2cd)bcd(abaa22ab2c2bbcbc2d22ca2ddad1ab21bc21c212bcddada由柯西不等式得a2b2c22bcddabcdabcdaabbccdd2a又由bccddaba知22abbccdda4ab由可知式成立，從而原不等式成立.22.設(shè)a,