高中數(shù)學(xué)必修二 (教案)簡單幾何體的表面積與體積

1、 13/13簡單幾何體的表面積與體積【第一課時】【教學(xué)目標】1了解柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖，掌握柱體、柱、錐、臺的體積2能利用柱體、錐體、臺體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺體的體積之間的關(guān)系【教學(xué)重難點】1柱、錐、臺的表面積2錐體、臺體的表面積的求法【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1棱柱、棱錐、棱臺的表面積如何計算？2圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么？3圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式是什么？4柱體、錐體、臺體的體積公式分別是什么？5圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式、體積公式之間分別有怎樣的關(guān)系？二、新知探究柱、錐、臺的表面積例1：（1）若圓錐的正視圖是正三角形，則

2、它的側(cè)面積是底面積的（ ）A.eq r(2)倍B3 倍C2 倍 D5 倍（2）已知正方體的 8 個頂點中，有 4 個為側(cè)面是等邊三角形的三棱錐的頂點，則這個三棱錐與正方體的表面積之比為（ ）A1eq r(2) B1eq r(3)C2eq r(2) D3eq r(6)（3）已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的 3 倍，母線長為 3 ，圓臺的側(cè)面積為 84，則該圓臺較小底面的半徑為（ ）A7B6C5 D3【解析】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為 r，母線長為 l，則由題意可知，l2r，于是 S側(cè)r2r2r2，S底r2，可知選 C.（2）棱錐 BACD為適合條件的棱錐，四個面為全等的等邊三角形，設(shè)正方

3、體的棱長為 1，則 BCeq r(2)，SBACeq f(r(3),2).三棱錐的表面積 S錐4eq f(r(3),2)2eq r(3)，又正方體的表面積 S正6.因此 S錐S正2eq r(3)61eq r(3).（3）設(shè)圓臺較小底面的半徑為 r，則另一底面的半徑為 3r.由 S側(cè)3（r3r）84，解得 r7.【答案】（1）C （2）B （3）A規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法技巧（1）多面體的表面積是各個面的面積之和（2）組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理（3）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和柱、錐、臺的體積例2：如

4、圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐（1）求剩余部分的體積；（2）求三棱錐AA1BD的體積及高【解】（1）V三棱錐A1ABDeq f(1,3)SABDA1Aeq f(1,3)eq f(1,2)ABADA1Aeq f(1,6)a3.故剩余部分的體積VV正方體V三棱錐A1ABDa3eq f(1,6)a3eq f(5,6)a3.（2）V三棱錐AA1BDV三棱錐A1ABDeq f(1,6)a3.設(shè)三棱錐AA1BD的高為h，則V三棱錐AA1BDeq f(1,3)SA1BDheq f(1,3)eq f(1,2)eq f(r(3),2)（eq r(2)a）2he

5、q f(r(3),6)a2h，故eq f(r(3),6)a2heq f(1,6)a3，解得heq f(r(3),3)a.規(guī)律方法求幾何體體積的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解（2）等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可（3）補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積提醒求幾何體的體積時，要注意利用好幾何體的軸截面（尤其為圓柱、圓錐時），準確求出幾何體的高和底面積 組合體的表面積和體積例3：如圖在底面半徑為 2，母線長為 4 的圓錐中內(nèi)接一個高為eq r(3)的圓柱，求圓

6、柱的表面積【解】設(shè)圓錐的底面半徑為 R，圓柱的底面半徑為 r，表面積為 S.則 ROC2，AC4，AOeq r(4222)2eq r(3).如圖所示，易知AEBAOC，所以eq f(AE,AO)eq f(EB,OC)，即eq f(r(3),2r(3)eq f(r,2)，所以 r1，S底2r22，S側(cè)2rh2eq r(3).所以 SS底S側(cè)22eq r(3)（22eq r(3)）.1變問法本例中的條件不變，求圓柱的體積與圓錐的體積之比解：由例題解析可知：圓柱的底面半徑為 r1，高 heq r(3)，所以圓柱的體積 V1r2h12eq r(3)eq r(3).圓錐的體積 V2eq f(1,3)22

7、2eq r(3)eq f(8r(3),3).所以圓柱與圓錐的體積比為 38.2變問法本例中的條件不變，求圖中圓臺的表面積與體積解：由例題解析可知：圓臺的上底面半徑 r1，下底面半徑 R2，高 heq r(3)，母線 l2，所以圓臺的表面積 S（r2R2rlRl）（12221222）11.圓臺的體積 Veq f(1,3)（r2rRR2）heq f(1,3)（12222）eq r(3)eq f(7r(3),3).3變條件、變問法本例中的“高為eq r(3)”改為“高為 h”，試求圓柱側(cè)面積的最大值解：設(shè)圓錐的底面半徑為 R，圓柱的底面半徑為 r，則 ROC2，AC4，AOeq r(4222)2eq

8、 r(3).如圖所示易知AEBAOC，所以eq f(AE,AO)eq f(EB,OC)，即eq f(2r(3)h,2r(3)eq f(r,2)，所以 h2eq r(3)eq r(3)r，S圓柱側(cè)2rh2r（2eq r(3)eq r(3)r）2eq r(3)r24eq r(3)r，所以當(dāng) r1，heq r(3)時，圓柱的側(cè)面積最大，其最大值為 2eq r(3).規(guī)律方法eq avs4al()求組合體的表面積與體積的步驟（1）分析結(jié)構(gòu)特征：弄清組合體的組成形式，找準有關(guān)簡單幾何體的關(guān)鍵量（2）設(shè)計計算方法：根據(jù)組成形式，設(shè)計計算方法，特別要注意“拼接面”面積的處理，利用“切割”“補形”的方法求體積

9、（3）計算求值：根據(jù)設(shè)計的計算方法求值 【課堂總結(jié)】1棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和2棱柱、棱錐、棱臺的體積（1）V棱柱Sh；（2）V棱錐eq f(1,3)Sh；V棱臺eq f(1,3)h（Seq r(SS)S），其中S，S分別是棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高3圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積名稱圖形公式圓柱底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)2rl表面積：S2rl2r2體積：Vr2l圓錐底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)rl表面積：Srlr2體積：Veq f(1,3)r2h圓臺上底面面積：S上底r2下底面面積：S

10、下底r2側(cè)面積：S側(cè)l（rr）表面積：S（r2r2rlrl）體積：Veq f(1,3)h（r2rrr2）名師點撥1柱體、錐體、臺體的體積（1）柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則VSh.（2）錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則Veq f(1,3)Sh.（3）臺體：臺體的上、下底面面積分別為S、S，高為h，則Veq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(Sr(avs4al(SS)S)h.2圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系S圓柱側(cè)2rleq o(,sup7(rr)S圓臺側(cè)（rr）leq o(,sup7(r0)S圓錐側(cè)rl.3柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V柱體Sheq

11、 o(,sup7(SS)V臺體eq f(1,3)（Seq r(SS)S）heq o(,sup7(S0)V錐體eq f(1,3)Sh.【課堂檢測】1已知某長方體同一頂點上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為（ ）A22B20C10 D11解析：選A.所求長方體的表面積S2（12）2（13）2（23）22.2正三棱錐的高為3，側(cè)棱長為2eq r(3)，則這個正三棱錐的體積為（ ）A.eq f(27,4) B.eq f(9,4)C.eq f(27r(3),4) D.eq f(9r(3),4)解析：選D.由題意可得底面正三角形的邊長為3，所以Veq f(1,3)eq f(r(3),4)32

12、3eq f(9r(3),4).故選D.3已知圓臺的上、下底面的面積之比為925，那么它的中截面截得的上、下兩臺體的側(cè)面積之比是_解析：圓臺的上、下底面半徑之比為35，設(shè)上、下底面半徑為3x，5x，則中截面半徑為4x，設(shè)上臺體的母線長為l，則下臺體的母線長也為l，上臺體側(cè)面積S1（3x4x）l7xl，下臺體側(cè)面積S2（4x5x）l9xl，所以S1S279.答案：794.如圖，三棱臺ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比解：設(shè)棱臺的高為h，SABCS，則SA1B1C14S.所以VA1ABCeq f(1,3)SABCheq f(

13、1,3)Sh，VCA1B1C1eq f(1,3)SA1B1C1heq f(4,3)Sh.又V臺eq f(1,3)h（S4S2S）eq f(7,3)Sh，所以VBA1B1CV臺VA1ABCVCA1B1C1eq f(7,3)Sheq f(Sh,3)eq f(4Sh,3)eq f(2,3)Sh，所以體積比為124.【第二課時】【教學(xué)目標】1記準球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積2能解決與球有關(guān)的組合體的計算問題【教學(xué)重難點】1球的表面積與體積2與球有關(guān)的組合體【教學(xué)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1球的表面積公式是什么？2球的體積公式什么？二、新知探究球的表面積與體積例1：（

14、1）已知球的體積是eq f(32,3)，則此球的表面積是（ ）A12B16C.eq f(16,3) D.eq f(64,3)（2）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑，若該幾何體的體積是eq f(28,3)，則它的表面積是（ ）A17 B18C20 D28【解析】（1）設(shè)球的半徑為R，則由已知得Veq f(4,3)R3eq f(32,3)，解得R2.所以球的表面積S4R216.（2）由三視圖可得此幾何體為一個球切割掉eq f(1,8)后剩下的幾何體，設(shè)球的半徑為r，故eq f(7,8)eq f(4,3)r3eq f(28,3)，所以r2，表面積Seq f(7,8

15、)4r2eq f(3,4)r217，選A.【答案】（1）B（2）A歸納反思球的體積與表面積的求法及注意事項（1）要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解（2）半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了 球的截面問題例2：如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為（ ）A.eq f(500,3) cm3 B.eq f(866,3) cm3C.eq f(1 372,3) cm3 D

16、.eq f(2 048,3) cm3【解析】如圖，作出球的一個截面，則MC862（cm），BMeq f(1,2)ABeq f(1,2)84（cm）設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2（R2）242，所以R5，所以V球eq f(4,3)53eq f(500,3) （cm3）【答案】A規(guī)律方法球的截面問題的解題技巧（1）有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題（2）解題時要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2d2r2. 與球有關(guān)的切、接問題角度一球的外切正方體問題例3：將棱長為 2 的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為

17、（ ）A.eq f(4,3) B.eq f(r(2),3)C.eq f(r(3),2) D.eq f(,6)【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為 2，故半徑為 1，其體積是eq f(4,3)13eq f(4,3).【答案】A角度二球的內(nèi)接長方體問題例4：一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為 1，2，3，則此球的表面積為_【解析】長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即 2Req r(122232)eq r(14)，所以球的表面積 S4R214.【答案】14角度三球的內(nèi)接正四面體問題例5：

18、若棱長為 a 的正四面體的各個頂點都在半徑為 R 的球面上，求球的表面積【解】把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長為 x，則 aeq r(2)x，由題意 2Req r(3)xeq r(3)eq f(r(2)a,2)eq f(r(6),2)a，所以 S球4R2eq f(3,2)a2.角度四球的內(nèi)接圓錐問題例6：球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為_【解析】當(dāng)圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時，如圖所示，設(shè)球半徑為 r，則球心到該圓錐底面的距離是eq f(r,2)，于是圓錐的底面半徑為 eq r(r2blc(rc)(avs4alco1(f(r,2)s

19、up12(2)eq f(r(3)r,2)，高為eq f(3r,2).該圓錐的體積為 eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)r,2)eq sup12(2)eq f(3r,2)eq f(3,8)r3，球體積為eq f(4,3)r3，所以該圓錐的體積和此球體積的比值為eq f(f(3,8)r3,f(4,3)r3)eq f(9,32).同理，當(dāng)圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時，該圓錐的體積和此球體積的比值為eq f(3,32).【答案】eq f(9,32)或eq f(3,32)角度五球的內(nèi)接直棱柱問題例7：設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為 a，頂點都在一個球面上，則

20、該球的表面積為（ ）Aa2B.eq f(7,3)a2C.eq f(11,3)a2 D5a2【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為 a如圖，P 為三棱柱上底面的中心，O 為球心，易知 APeq f(2,3)eq f(r(3),2)aeq f(r(3),3)a，OPeq f(1,2)a，所以球的半徑 R OA 滿足R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)a)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a)eq sup12(2)eq f(7,12)a2，故 S球4R2eq f(7,3)a2.【答案】B規(guī)律方法eq av

21、s4al()（1）正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為 r1eq f(a,2)，過在一個平面上的四個切點作截面如圖（1）（2）長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為 a，b，c，過球心作長方體的對角線，則球的半徑為 r2eq f(1,2) eq r(a2b2c2)，如圖（2）（3）正四面體的外接球正四面體的棱長 a 與外接球半徑 R 的關(guān)系為：2Req f(r(6),2)a.【課堂總結(jié)】1球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S4R22球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積Veq f(4,3)R3名師點撥 對球的體積和表面積的幾點認識（1）從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)（2）由于球的表面不能展開成平面，所以，球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的（3）球的表面積恰好是球的大圓（過球心的平面截球面所得的圓）面積的4倍【課堂檢測】1直徑為 6 的球的表面積和體積分別是（ ）A36，144B36，36C144，36 D144，144解析：選 B球的半徑為 3，表面積 S43236，體積 Veq f(4,3)3336.2