高考復習-雙曲線相關知識點概要

1、高考復習雙曲線有關知識點綱領高考復習雙曲線有關知識點綱領17/17高考復習雙曲線有關知識點綱領第一部分雙曲線有關知識點解說一雙曲線的定義及雙曲線的標準方程：雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（PF1PF22aF1F2（a為常數）這兩個定點叫雙曲線的焦點要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有實質的不一樣.當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；當2a=|F1F2|時，軌跡是向來線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|

2、F1F2|時，動點軌跡不存在.x2y21和y2x21這里b2c22，2.雙曲線的標準方程：2b2a2b2（a0，b0）.a此中|=2c.ac.12要注意這里的、及它們之間的關系與橢圓中的異同FFab雙曲線的標準方程鑒別方法是：假如x2項的系數是正數，則焦點在x軸上；假如y2項的系數是正數，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不必定大于b，所以不可以像橢圓那樣，經過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：正確判斷焦點的地點；設出標準方程后，運用待定系數法求解.二雙曲線的內外面：(1)點P(x0,y0)在雙曲線x2y21(a0,b0)的內部a2b2(2)點P(x0,

3、y0)在雙曲線x2y21(a0,b0)的外面a2b2三.雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為x2y21漸近線方程：x2y2a2b2a2b2(2)若漸近線方程為ybxxy雙曲線可設為a0ab(3)若雙曲線與x2y21有公共漸近線，可設為x2y2a2b2a2b2軸上，0，焦點在y軸上）.四雙曲線的簡單幾何性質22x2y2=1（a0，b0）abx02y021.a2b2x02y021.a2b20ybx.x22ay.a2b20，焦點在xyM1M2P范圍：|x|a，yRF1A1K1oK2A2F2x教師：陳永福對稱性：對于x、y軸均對稱，對于原點中心對稱極點：軸端點A1（a，0），A2（a，0

4、）漸近線：若雙曲線方程為x2y21漸近線方程x2y20yb2222xababa若漸近線方程為ybxxy0雙曲線可設為x2y2aaba2b2若雙曲線與x2y21有公共漸近線，可設為x2y2（0，焦點a2b2a2b2在x軸上，0，焦點在y軸上）與雙曲線x2y2共漸近線的雙曲線系方程是x2y2(0)a2b21a2b2與雙曲線x2y21共焦點的雙曲線系方程是x2y2k1a2b2a2kb2五雙曲線x2y21(a,b0)與y2x21(a,b0)的差別和聯(lián)系a2b2a2b2標準方程x2y21(a,b0)y2x21(a,b0)a2b2a2b2焦點(c,0),(c,0)，(0,c),(0,c)性質焦距2c范圍|

5、x|a,yR|y|a,xR極點(a,0),(a,0)(0,a),(0,a)對稱性對于x軸、y軸和原點對稱6.弦長公式：若直線ykxb與圓錐曲線訂交于兩點A、B，且x1,x2分別為A、B的橫坐標，則AB1k2x1x2，若y1,y2分別為A、B的縱坐標，則AB112y1y2。k教師：陳永福第三部分典型例題分析考點1雙曲線的定義及標準方程題型1：運用雙曲線的定義例1某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點的報告：正西、正北兩個觀察點同時聽到了一聲巨響，正東觀察點聽到的時間比其余兩觀察點晚4s.已知各觀察點到該中心的距離都是1020m.試確立該巨響發(fā)生的地點.(假定當時聲音流傳的速度為340m/s:

6、有關各點均在同一平面上)【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的分析如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，成立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀察點，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直均分線PO上，PO的方程為y=x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|PA|=3404=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線x2y21上，a2b2依題意得a=680,c=1020，yCPAOBxb2c2a21020268

7、0253402故雙曲線方程為x2y21680253402用y=x代入上式，得x6805，|PB|PA|,x6805,y6805,即P(6805,6805),故PO68010答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心68010m處.【名師引導】解應用題的要點是將實質問題變換為“數學模型”【新題導練】1.設P為雙曲線x2y21上的一點1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1212F|：|PF|=3：2，則PF1F2的面積為（）A63B12C123D24分析：a1,b12,c13,由|PF1|:|PF2|3:2又|PF1|PF2|2a2,由、解得|PF1|6,|PF2|4.教師：陳永福|PF1|2|

8、PF2|252,|F1F2|252,PF1F2為直角三角形，SPF1F21|PF1|PF2|16412.應選B。222.如圖2所示，F為雙曲線C:x2y21的左916焦點，雙曲線C上的點Pi與P7ii1,2,3對于y軸對稱，則P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是（）A9B16C18D27分析P1FP6FP2FP5FP3FP4F6，選C3.P是雙曲線x2y21(a0,b0)左支上的一點，F1、F2分別是左、右焦點，且焦距a2b2為2c，則PF1F2的內切圓的圓心的橫坐標為（）（A）a（B）b（C）c（D）abc分析設PF1F2的內切圓的圓心的橫坐標為x0，由圓的切線性質知，PF2PF1|c

9、x0|x0(c)|2ax0a題型2求雙曲線的標準方程例2已知雙曲線C與雙曲線x2y2=1有公共焦點，且過點（32，2）.求雙曲線C164的方程【解題思路】運用方程思想，列對于a,b,c的方程組分析解法一：設雙曲線方程為x2y2=1.由題意易求c=25.a2b2又雙曲線過點（32，2），(32)24=1.a2b2又a2+b2=（25）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為x2y212=1.8解法二：設雙曲線方程為x2y21，16k4k將點（32，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為x2y21.128教師：陳永?！久麕熞龑А壳箅p曲線的方程，要點是求a、b，在解題過程中應熟習各元素（a、b、c

10、、e及準線）之間的關系，并注意方程思想的應用.【新題導練】4.已知雙曲線的漸近線方程是yx，焦點在座標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程2為；分析設雙曲線方程為x24y2，當0時，化為x2y21，251020，44當0時，化為y2y21，251020，44綜上，雙曲線方程為x2y21y2x21205或2055.以拋物線y283x的焦點F為右焦點,且兩條漸近線是x3y0的雙曲線方程為_.分析拋物線y283x的焦點F為(23,0)，設雙曲線方程為x23y2，4(23)29，雙曲線方程為x2y213936.已知點M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的

11、兩直線訂交于點P，則P點的軌跡方程為Ax2y21(x1)Bx2y21(x1)88Cx2y21（x0）2y21(x1)8Dx10分析PMPNBMBN2，P點的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B考點2雙曲線的幾何性質題型1與漸近線有關的問題1.焦點為（0，6），且與雙曲線x2y21有同樣的漸近線的雙曲線方程是（）2Ax2y21By2x21Cy2x21Dx2y211224122424122412分析從焦點地點和擁有同樣的漸近線的雙曲線系雙方面考慮，選B教師：陳永?；A堅固訓練x2y2x2y22.以橢圓1441的右焦點為圓心，且與雙曲線1的漸近線相切的圓的方169916程是（A）x2

12、y210 x90（B）x2y210 x90（C）x2y210 x90（D）x2y210 x90分析橢圓與雙曲線共焦點，焦點到漸近線的距離為b，選A種類三：綜合練習1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為2,0，右極點為3,0.（）求雙曲線C的方程（）若直線l:ykx2與雙曲線恒有兩個不一樣的交點A和B且OAOB2（此中O為原點），求k的取值范圍解（1）設雙曲線方程為x2y21a2b2由已知得a3,c2，再由a2b222，得b21故雙曲線C的方程為x2y21.3（2）將ykx2代入x2y21得(13k2)x262kx903由直線l與雙曲線交與不一樣的兩點得13k20236(132)36(1k2)0

13、62k即k21且k21.設AxA,yA,B(xA,yB),，則3xAyB62,xAyB19，由OAOB2得xAxByAyB2，13k23k2而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxb2)(k21)xAxB2k(xAxB)2(k21)922k62k23k27.13k213k23k21教師：陳永福于是3k272，即3k290解此不等式得1k23.3k213k213由+得1k213故的取值范圍為(1,3)3,1332已知直線yax1與雙曲線3x2y21交于A、B點。（1）求a的取值范圍；（2）若以AB為直徑的圓過坐標原點，務實數a的值；（3）能否存在這樣的實數a，使A、B兩點對于直線y1x對稱？

14、若存在，懇求出a的值；若不存在，說明原由。2解：（1）由yax1消去y，得(32)2220（1）3x2y21axax依題意3a20即6a6且a3（2）0 x1x22a2(3)（2）設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則3a2x1x22(4)3a以AB為直徑的圓過原點OAOBx1x2y1y20但y1y2a2x1x2a(x1x2)1由（3）（4），x1x22a，x1x223a23a2(a21)32a2a10解得a1且滿足（2）a23a2（3）假定存在實數a，使A、B對于y1x對稱，則直線yax1與y1x垂直a1221，即a2直線l的方程為y2x12將a2代入（3）得x1x24AB中點的橫坐標為2

15、縱坐標為y2213教師：陳永福但AB中點(2,3)不在直線y1x上，即不存在實數a，使、B對于直線1x對稱。2Ay22y223)到兩焦點的距離之和為3(1)橢圓C:x21(ab0)上的點A(1,4,2ab求橢圓的方程;設K是(1)中橢圓上的動點,F1是左焦點,求線段F1K的中點的軌跡方程;(3)已知橢圓擁有性質:若M、N是橢圓C上對于原點對稱的兩點，P是橢圓上隨意一點,當直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時，那么kPMkPN是與點P地點沒關的x2y2定值。試對雙曲線a2b21寫出擁有近似特征的性質，并加以證明。2y2解：(1)x431(2)設中點為(x,y),F(-1,0)K(-2

16、-x,-y)在x2y2431(3)設M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xox12b2(x121)2b2x121)則yoa2y1(a2kPMkPNy0y1y0y1x0 x1x0 x1為定值.上(x2)2y211432222b2(x0 x1)2y0y1a2bx02x12x02x12a24.已知雙曲線x2y21,問過點A（1，1）可否作直線l,使l與雙曲線交于P、Q兩點，并2且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明原由。錯解設符合題意的直線l存在，并設P(x1,x2)、Q(x2,y2)x12y121(1)則2（1）(2)得(x1x2)(x1x2)y222

17、x221(2)1y2)(y1y2)(3)由于A（1，1）為線段PQ的中點，x1x22(4)(y1所以y22(5)2y1將(4)、(5)代入（3）得x1x21(y1y2)2若x1x2，則直線l的斜率y1y22所以符合題設條件的直線l存在。kx2x1其方程為2xy10分析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不可以推出(4)(5)兩式，故對付所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯教師：陳永福誤的。應在上述解題的基礎上，再由y2x12280,說明所求直線不存在。x2y得2x4x30依據12已知兩定點F1(2,0),F2(2,0),滿足條件PF2PF12的點

18、P的軌跡是曲線E，直5.線kx1與曲線E交于A、B兩點。（）求的取值范圍；（）假如AB63,且曲線E上存在點C，使OAOB求m,OCm的值和ABC的面積S。解：（）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F12,0,F22,0為焦點的雙曲線的左支，且c2,a1，易知b1故曲線E的方程為x2y21x0設Ax1,y1,Bx2,y2，由題意成立方程組ykx1x2y21消去y，得1k2x22kx20又已知直線與雙曲線左支交于兩點A,B，有1k20281k202kx1x22k0解得2k11k2x1x2201k2AB1k2x1x21k2x1x24x1x22k221k241k21k21k22k221k22教師：陳永福

19、依題意得21k22k2631k22整理后得28k455k2250k25或k2574但2k1k52故直線AB的方程為5xy102設Cx0,y0，由已知OAOBmOC，得x1,y1x2,y2mx0,my0mx0,my0 x1x2,y1y2，m0mm又x1x2245，y1y2kx1x22k228k21222k2k11點C45,8mm將點C的坐標代入曲線E的方程，得80641得m4，m2m2但當m4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意m4，點C的坐標為5,25521C到AB的距離為21523122ABC的面積S1631323已知Px2y21(ab0)的右支上一點yp0，A、B分別是橢圓為雙曲線6.a

20、2b2x2y21的長軸極點，連結AP交橢圓于D，若ACD與PCD面積相等.a2b2（1）求直線PD的斜率和直線CD的傾斜角；教師：陳永福（2）當a的值為多少時，直線CD恰巧過橢圓的右焦點？b7.已知雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為y2x，焦距為23.（1）求雙曲線的方程；（2）過點A2,1的直線l與雙曲線交于P、P,求線段PP的中點P的軌跡方程；1212（3）過點B1,1可否作直線m，使m與所給雙曲線有兩個交點Q1、Q2，且點B是線段Q1Q2的中點，若m存在，求出它的方程；若不存在，說明原由.8.已知雙曲線x2y22的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的動直線與雙曲線訂交于A，B兩點（I）

21、若動點M滿足FMF1AFBFO（此中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；111（II）在x軸上能否存在定點C，使CACB為常數？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明原由解：由條件知F1(2，0)，F2(2，0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)（I）解法一：（I）設M(x，y)，則則FM(x2，y)，FA(x2，y)，1111教師：陳永福，由得F1B(x22y2)FO1(20)FM1F1AF1BFO1x2x1x2，x1x2，6x4yy1y2即y1y2y于是AB的中點坐標為x4y2，2當AB不與x軸垂直時，y1y2yyyx2，即y1y2(x1x2)x1x2242x8x8又由于A，B兩點在雙

22、曲線上，所以x12y122，x22y222，兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(x1x2)(x4)(y1y2)y將y1y2y(x1x2)代入上式，化簡得(x6)2y24x8當AB與x軸垂直時，x1x22，求得M(80)，也滿足上述方程所以點M的軌跡方程是(x6)2y24（II）假定在x軸上存在定點C(m，0)，使CACB為常數當AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程是yk(x2)(k1)代入x2y22有(1k2)x24k2x(4k22)0則x1，x2是上述方程的兩個實根，所以x1x24k2，x1x24k22，k21k21于是CACB(x1m)(x2m)k2(x12)(

23、x22)(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2(k21)(4k22)4k2(2k2m)4k2m2k21k212(12m)k22m22(12m)44mm2k21k21由于CACB是與k沒關的常數，所以44m0，即m1，此時CACB=1教師：陳永福當AB與x軸垂直時，點A，B的坐標可分別設為(2，2)，(2，2)，此時CACB(12)(12)1，故在x軸上存在定點C(1，0)，使CACB為常數教師：陳永福9.（2009上海卷）（此題滿分16分）已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F3，0，一條漸近線:x+2y0,設過點mA(32,0)v(1,k)。的直線l的方向向量e（1）求雙曲線C的

24、方程；（2）若過原點的直線a/l，且a與l的距離為6，求K的值；（3）證明：當2時，在雙曲線C的右支上不存在點，使之到直線l的距離kQ2為6.（1）解設雙曲線C的方程為x22y2(0)教師：陳永福3，解得2，雙曲線C的方程為x2y2122（2）解直線l:kxy32k0，直線a:kxy0由題意，得|32k|6，解得k21k22（3）證明方法一設過原點且平行于l的直線b:kxy0則直線l與b的距離d32|k|,當k2時，d61k22又雙曲線C的漸近線為x2y0雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線C右支上的隨意點到直線l的距離大于6。故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為6（3）方法二假定雙曲線C右支上存在點Q(x0,y0)到直線l的距離為6，|kx0y032k(1)6則1k2x022y022(2)由（1）得y0kx032k61k2設t32k61k2，當k2時，t32