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1、第一章 隨機(jī)事件及概率第一節(jié) 隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件事件之間的關(guān)系與運(yùn)算事件運(yùn)算法則 我們了解到，隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.而概率論正是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科. 現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的世界，開始第一步的探索和研究.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的科學(xué). 一、隨機(jī)試驗(yàn) 研究隨機(jī)現(xiàn)象,首先要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察試驗(yàn). 所謂試驗(yàn)就是一定的綜合條件的實(shí)現(xiàn),這種綜合條件可以任意多次重復(fù)出現(xiàn).大量現(xiàn)象就是很多次試驗(yàn)的結(jié)果.在試驗(yàn)結(jié)果中,所發(fā)生的現(xiàn)象叫做事件.幾個(gè)具體試驗(yàn) :

2、 的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn) : 觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).在一批燈泡中任意抽取一支,測(cè)試它的壽命.上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn):(1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行; (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè), 并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果; (3) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn). 在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn). 二、 樣本空間 : 觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).我們注意到 試驗(yàn)被觀察到多個(gè)不同的結(jié)果. 試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,是在試驗(yàn)前就明確的;或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,但可知道它不超過某個(gè)范

3、圍. 樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果即基本事件，也稱為樣本點(diǎn)，記作 . 全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間.樣本空間用 表示. A.樣本點(diǎn) 例如,試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況: =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn) .則樣本空間如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界， 所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果， = t ：t 0樣本空間故 若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：則樣本

4、空間 : 觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù). 請(qǐng)注意： 實(shí)際中,在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),我們往往會(huì)關(guān)心某個(gè)或某些結(jié)果是否會(huì)出現(xiàn). 例如在測(cè)試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中,若規(guī)定燈泡的壽命 (小時(shí)) 小于500為次品,那么我們關(guān)心燈泡的壽命 是否滿足 .或者說, 我們關(guān)心滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)集合 . 三、隨機(jī)事件在試驗(yàn)的結(jié)果中,有可能發(fā)生,也有可能不發(fā)生的事件,叫做隨機(jī)事件.通常用字母A,B,C,.表示隨機(jī)事件. 例如，在擲骰子試驗(yàn)中，我們可以研究以下試驗(yàn)：“擲出1點(diǎn)”“擲出1點(diǎn)”A=擲出1點(diǎn)；B=擲出奇數(shù)點(diǎn)；C=擲出的點(diǎn)數(shù)小于4等兩個(gè)特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)

5、數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用U表示; 不件可事能即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用V 表示 .而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) .事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)事件 A=擲出1點(diǎn)事件 C出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4=基本事件:(相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件)事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) . 事件 Ai =擲出i點(diǎn), i =1,2,3,4,5,6由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.基本事件 當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) .事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)出現(xiàn)

6、.四、事件間的關(guān)系與運(yùn)算同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件為稱事件的積事件。則稱為 兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件即A與B不可能同時(shí)發(fā)生.除要求A、B互斥( )外，還要求 則稱這n個(gè)事件構(gòu)成完備事件組。 如果n個(gè)事件 中至少有一個(gè)事件一定發(fā)生，即7、互不相容的完備事件組:五、事件運(yùn)算法則例4或練習(xí)1 設(shè)一個(gè)工人生產(chǎn)了三個(gè)零件，記 表示第 個(gè)零件是正品（ =1，2，3）， 試表示：（1）沒有一個(gè)零件是次品；（2）只有第一個(gè)零件是次品；（3）恰好有一個(gè)零件是次品；（4）至少有一個(gè)零件是次品。四、小結(jié)樣本空間和隨機(jī)事件的定義事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率頻率概率的統(tǒng)計(jì)定義頻率的

7、性質(zhì) 研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量 事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！ 了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意義呢？ 我先給大家舉幾個(gè)例子，也希望你們?cè)傺a(bǔ)充幾個(gè)例子. 例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額. 了解來商場(chǎng)購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員. 了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.一、頻率試驗(yàn)者拋幣次數(shù)n “正面向上”次數(shù) 頻率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pear

8、son1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗(yàn)記錄 可見, 在大量重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具 有穩(wěn)定性.即通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.二、概率的統(tǒng)計(jì)定義三、概率的性質(zhì)由概率的公理化定義，可以推得概率的一些重要性質(zhì).性質(zhì)1 對(duì)于任意事件性質(zhì)2性質(zhì)3 對(duì)于兩兩互不相容的個(gè)事件 則有特別地, 對(duì)于互不相容事件,有, 性質(zhì)4 設(shè)為任意兩個(gè)事件,則有 , 特別地，若事件, 則有性質(zhì)5 設(shè)是隨機(jī)事件的對(duì)立事件, 則有特別地 性質(zhì)6 對(duì)于任意的事件, 有, 推廣: 設(shè)是三個(gè)事件, 則有 三個(gè)事件和的概率公式例1 某乳業(yè)公司向一小區(qū)提供兩種乳品：純牛奶和酸奶.

9、 經(jīng)調(diào)查, 小區(qū)內(nèi)住戶訂純牛奶的有45%,訂酸奶的有35%, 兩種都訂的有10%.現(xiàn)從小區(qū)內(nèi)任選一住戶,求: (1)此住戶至少訂一種奶品的概率;(2)此住戶只訂一種奶品的概率.解 設(shè) 訂純牛奶 , 訂酸奶,則 至少訂一種奶品 .(1) (2) 只訂一種奶品,小 結(jié) 1. 隨機(jī)事件的頻率.2. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性-頻率的穩(wěn)定性.3. 概率的統(tǒng)計(jì)定義.4. 概率的性質(zhì).第三節(jié) 古典概型古典概型及其概率計(jì)算幾何概率 我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為古典概型 一、古典概型及其概率計(jì)算 在古代,人們利用研究對(duì)象的物理或幾何性質(zhì)所具有的對(duì)稱性確定了計(jì)算概率的一種

10、方法.例如, 在拋擲硬幣試驗(yàn)中, 令 表示“出現(xiàn)正面”, 表示“出現(xiàn)反面”, 則樣本空間 中兩個(gè)基本事件 和 發(fā)生的可能性是相等的, 因而可以規(guī)定= 常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的”.e1, e2, ，eN 試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？稱這種試驗(yàn)為等可能隨機(jī)試驗(yàn)或古典概型. 若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.定義 1 概率的古典定義 試驗(yàn)的樣本空間總共有 N 個(gè)等可能的基本事件,其中有且僅有 M 個(gè)基本事件是包含于隨機(jī)事件 A 的,則隨機(jī)事件 A 所包含的基本事件數(shù) M 與基本事件總數(shù) N 的比值叫做隨機(jī)事

11、件 A 的概率,記作 P(A),即THTHHHTT例1 將一枚硬幣拋二次（2）解（1）例3 設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解 令B=恰有k件次品P(B)=？次品正品M件次品N-M件正品 例4 將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解 設(shè)每盒恰有一球, 空一盒 . 3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中共有 種不同放法, 即試驗(yàn)所含的基本事件總數(shù)是 個(gè),(1) 事件 包含的基本事件個(gè)數(shù)是 個(gè), 所以(2) () “等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以

12、認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的. 在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.請(qǐng)注意：二、幾何概率 在概率論的發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，僅假定樣本空間為有限樣本空間是不夠的，有時(shí)需要處理有無窮多個(gè)樣本點(diǎn)的情形.我們先看下面兩個(gè)例子.例5 在區(qū)間1，6上隨機(jī)地任意產(chǎn)生一個(gè)數(shù) ，求 不大于 的概率.例6 隨機(jī)地在單位圓域內(nèi)任擲一點(diǎn) ，求點(diǎn) 到原點(diǎn)距離不大于 的概率. 以上兩個(gè)例子都具有“等可能性”的特征. 描述這樣一些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 ，都是一個(gè) 區(qū)間或區(qū)域，其樣本點(diǎn)在區(qū)域 內(nèi)具有“等可能分布”的特點(diǎn). 設(shè)區(qū)域 ，如果樣本點(diǎn)落入 中， 我們就說事件 發(fā)生了. 這樣可作以下定義.定義2 設(shè)樣本空間

13、 為一個(gè)有限區(qū)域，以 表示 的度量（一維為長度，二維為面積，三維為體積等）. 是 中一個(gè)可以度量的子集， 表示 的度量，定義為事件 發(fā)生的概率，稱其為幾何概率. 在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.四、小結(jié)古典概型的定義古典概率的求法幾何概率1.4 條件概率條件概率與乘法公式全概率公式和貝葉斯公式 在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、 條件概率與乘法公式 1. 條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B). 一般地 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例如，擲

14、一顆均勻骰子，A=擲出2點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？擲骰子 已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中.容易看到P(A|B) 若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B變成了新的樣本空間 , 于是 有(1). 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)0,則 (1)2. 條件概率的定理由條件概率的定義：即 若P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)3.乘法公式若已知P(B), P(A|B

15、)時(shí), 可以反求P(AB). P(A)0 , 則 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) (2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A | B)的區(qū)別！請(qǐng)看下面的例子 例1 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中 300件是乙廠生產(chǎn)的. 而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB) .設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是 P(A|B) .B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙

16、共生產(chǎn)1000 個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn) 例2 一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行, 5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場(chǎng)券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場(chǎng)券”,其余的什么也沒寫. 將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ” 到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！蔽覀冇肁i表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券” i1,2,3,4,5.顯然

17、，P(A1)=1/5，P( )4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說，則 表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒抽到.也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，由于由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計(jì)算得： 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. 同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券” 的概率都是1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后.也就是說， 例3 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4

18、. 問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A=能活20年以上，B=能活25年以上依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為P(B|A) .活到20歲以上25歲以上 例5 有三個(gè)箱子,分別編號(hào)為1,2,3.1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球 , 3號(hào)箱裝有3 紅球. 某人從三個(gè)箱子中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解 記 Ai=球取自i號(hào)箱, i=1,2,3; B =取得紅球B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，123其中 A1、A2、A3兩兩互斥看一個(gè)例子: 二、全概率公式和貝葉斯公式 將此例中所用的方法推廣到一般的情形，

19、就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15運(yùn)用加法公式得到即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B 兩兩互斥全概率公式: 設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件B, 它總是與A1, A2, ,An之一同時(shí)發(fā)生，則 某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因 ，如果A是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi

20、)P(A |Bi)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解 例6 設(shè)甲袋中有白球5個(gè),紅球3個(gè),乙袋中有白球6個(gè),紅球2個(gè).現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋,然后再從乙袋中任取一球.試求從乙袋中取到白球的概率.解： 例 7 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率. 設(shè)A=飛機(jī)被擊落 Bi=飛機(jī)被i人擊中, i=1,2,3 由全概率公式則 A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B

21、3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)可求得 為求P(Bi ) , 設(shè) Hi=飛機(jī)被第i人擊中, i=1,2,3 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是該球取自哪號(hào)箱的可能性最大? 這一類問題是“已知結(jié)果求原因”. 在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.

22、 某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問:貝葉斯 公式看一個(gè)例子: 該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率. 例8 在上述例5中，某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率. 記 Ai=球取自i號(hào)箱, i=1,2,3; B =取得紅球求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)123解例9 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)地為0.8，0.1和0.1一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買

23、下該箱玻璃杯，否則退回試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率 a ；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實(shí)沒有殘次品的概率 b解（1）由全概率公式（2）由貝葉斯公式記“顧客買下該箱玻璃杯” 小結(jié) 這一講，我們介紹了條件概率的概念，給出了計(jì)算兩個(gè)或多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率的乘法公式，介紹了全概率公式與貝葉斯公式，它們是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,同學(xué)們可通過進(jìn)一步的練習(xí)去掌握它們. 第五節(jié) 事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性獨(dú)立性的應(yīng)用顯然 P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A對(duì)事件B是獨(dú)立的.一、兩事件的獨(dú)立性A=第二次擲出6點(diǎn)， B=第

24、一次擲出6點(diǎn)，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè) 由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有 P(AB)=P(A) P(B) 由前面我們所學(xué)的知識(shí),我們知道,如果事件A對(duì)事件B是獨(dú)立的,則事件B對(duì)事件A也是獨(dú)立的.所以,如果二事件中任一事件的發(fā)生不影響另一事件的概率,則稱他們是相互獨(dú)立的.定義1 對(duì)任意的兩個(gè)事件、，若則稱事件、相互獨(dú)立. 在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率） 一批產(chǎn)品共n件

25、，從中抽取2件，設(shè) Ai=第i件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次 抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ 即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0,則A 、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不獨(dú)立我們來計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即定理二、多個(gè)事件的獨(dú)立性 對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C)

26、P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì) n (n 2)個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡化三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用 例2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解 將三人編號(hào)為1，2，3，所求為 記 Ai=第i個(gè)人破譯出密碼 i=1 , 2 , 3已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/412 =1-1-P(A1)1-P(

27、A2)1-P(A3) 3小 結(jié) 3. 獨(dú)立情形的乘法定理： 1. 獨(dú)立性是概率論的重要概念. 2. 在實(shí)際問題中,事件的獨(dú)立性通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的直觀想法判斷的.注意 假設(shè)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果： 和 在相同的條件下將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，則稱這n次試驗(yàn)是n重獨(dú)立試驗(yàn)序列（也稱為貝努里概型）. 對(duì)于n重獨(dú)立試驗(yàn)序列，我們主要研究n次試驗(yàn)中，事件 發(fā)生 m次的概率： 第六節(jié) 獨(dú)立試驗(yàn)序列定理 例1 從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回的抽取5次，每次一件，求其中恰好有兩件次品概率。解：設(shè) 表示取到次品，且例2 一個(gè)工人負(fù)責(zé)維修10臺(tái)同類型的機(jī)床，在一段時(shí)間內(nèi)每臺(tái)機(jī)

28、床發(fā)生故障需要維修的概率為0.3.求（1）在這段時(shí)間內(nèi)有2至4臺(tái)機(jī)床需要維修的概率；（2）在這段時(shí)間內(nèi)至少有2機(jī)床需要維修的概率。例3 例4 某大學(xué)的學(xué)生排球隊(duì)與教工排球隊(duì)進(jìn) 行比賽. （1）采用三局兩勝制時(shí)，學(xué)生排球隊(duì)獲勝的概率；（2）采用五局三勝制時(shí)，學(xué)生排球隊(duì)獲勝的概率.已知每一局學(xué)生排球隊(duì)獲勝的概率為0.6，教工排球隊(duì)獲勝的概率為0.4. 求解 （1）采用三局兩勝制時(shí)，學(xué)生勝有下列兩種情形：-2：0 （學(xué)生隊(duì)連勝兩局）； -2：1 （前兩局各勝一局，第三局學(xué)生隊(duì)勝）.由題意因此學(xué)生排球隊(duì)獲勝的概率為（2）采用五局三勝制時(shí)，學(xué)生隊(duì)勝有下列三種情形：-3:0 （學(xué)生隊(duì)連勝三局）； -3:1

29、 （前三局學(xué)生勝兩局，負(fù)一局，第四局學(xué)生勝）； -3:2 （前四局各勝兩局，第五局學(xué)生勝）.由題意因此學(xué)生排球隊(duì)獲勝的概率為 練習(xí) 射擊運(yùn)動(dòng)中，一次射擊最多能得10環(huán)。設(shè)某運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中得10環(huán)的概率為0.4，得9環(huán)的概率為0.3，得8環(huán)的概率為0.2。求該運(yùn)動(dòng)員在五次獨(dú)立射擊中得到不少于48環(huán)的概率。表示5次10環(huán)表示4次10環(huán)，1次9環(huán)表示4次10環(huán)，1次8環(huán)表示3次10環(huán)，2次9環(huán)小 結(jié) 1. 獨(dú)立試驗(yàn)序列是概率論歷史上最早研究的概率模型之一,由此產(chǎn)生了二項(xiàng)分布(兩個(gè)最重要的離散分布之一).2. 兩個(gè)重要公式： 第二章 隨機(jī)變量及其分布2.1 隨機(jī)變量2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分

30、布 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 2.4 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 2.1 隨機(jī)變量 一、隨機(jī)變量的定義三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、引入隨機(jī)變量的意義在有些隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果本身就是用數(shù)量來表示。例如拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)可以用實(shí)數(shù)1,2,3,4,5,6表示。 在某些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看起來雖然與數(shù)量無關(guān)，但 可以指定一個(gè)數(shù)量來表示。例如拋擲一枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)情況，規(guī)定 “出現(xiàn)正面”用數(shù)1表示,“出現(xiàn)反面”用數(shù)0表示。一、隨機(jī)變量的定義定義 設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn) 的樣本空間，若對(duì) 中的每個(gè)樣本點(diǎn)都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，則稱 為定義在 上的隨機(jī)變量. 隨機(jī)變量通常用大寫字母

31、X，Y，Z，W，.等表示下圖給出樣本點(diǎn)w與實(shí)數(shù)X X (w )對(duì)應(yīng)的示意圖 Wx隨機(jī)變量的引入,將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來.二、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入，使隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件規(guī)律的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量 三、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)X 是隨機(jī)變量,x為任意實(shí)數(shù),稱函數(shù)為X 的分布函數(shù),記作 F(x) 或 FX(x)。注：如果將X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么分布函數(shù) F(x) 在x處的函數(shù)的值表示X落在區(qū)間 的累積概率。利用分布函數(shù)

32、計(jì)算概率分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)： 1.2.3.4.性質(zhì)1-4是鑒別一個(gè)函數(shù)是否為某隨機(jī)變量分布函數(shù)的充分必要條件。例 等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點(diǎn)，記為落點(diǎn)的位置（數(shù)軸上的坐標(biāo)）,求隨機(jī)變量的分布函數(shù).解 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上可得的分布函數(shù)為 2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布 二、常用離散型隨機(jī)變量的分布X 取各個(gè)可能值的概率，即事件 的概率為（1）稱（1）式為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù).一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為定義: 若隨機(jī)變量 X 的全部可能取值只有有限個(gè)或可列無窮個(gè),則稱 X 為離散型隨機(jī)變量.一、離散型隨機(jī)變量及其概

33、率分布 則 的概率分布表如下：由概率的定義可知,離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù) 滿足如下性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）歸一性：, 一般地，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X ，若其概率函數(shù)為 ,k=1,2, x1x20為常數(shù),則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布也被稱為壽命分布，如電子元件的壽命，電話通話的時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等都可近似看作是服從指數(shù)分布的。例4 某元件的壽命 服從指數(shù)分布，已知其參數(shù)這樣的元件使用1000小時(shí)以上的概率；3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)，至少已有一個(gè) 損壞的概率.，求正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)給出并推廣的一種分布

34、，故也稱高斯分布。正態(tài)分布(Normal distribution)定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中,(0)均為常數(shù),則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為X的分布函數(shù)為此積分不能直接積分出來應(yīng)用正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，在實(shí)際中，許多隨機(jī)變量都服從或近似服從這種“兩頭小中間大”的正態(tài)分布，例如，測(cè)一個(gè)零件的長度的測(cè)量誤差，海洋波浪的高度，農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量，人的身高或體重等服從正態(tài)分布。正態(tài)分布在理論上也有很重要的意義。正態(tài)分布概率密度的圖形特征(1)對(duì)稱性：f(x)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱; 對(duì)任意的，有(2) 單調(diào)性與極值：f(x) 在x=處取得最大值: f(x) 在(

35、-, )內(nèi)單調(diào)增加，(, +)在內(nèi)單調(diào)減少在點(diǎn)處處有拐點(diǎn),并且當(dāng) x 時(shí)，f(x) 0，曲線 f(x) 向左右伸展時(shí)，越來越貼近 x 軸。因此曲線以O(shè)x軸為水平漸近線;(3) 拐點(diǎn)(4)參數(shù)，2： 形狀參數(shù)2(X的方差)確定概率密度曲線的形狀;位置參數(shù)(X的數(shù)學(xué)期望)確定概率密度曲線的位置;特別的,當(dāng)=0,2=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其密度函數(shù),分布函數(shù)分別為:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.任何正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理 設(shè)，則1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)滿足公式:2、若 XN(0, 1),3、例 已知，試求例 已知，試求例 已知試求3原則定義 給定實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得則稱為隨機(jī)變量

36、的上分位點(diǎn).若隨機(jī)變量記的上分位點(diǎn)為， 2.4 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 一、隨機(jī)變量的函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布定義：若存在一個(gè)函數(shù)g(X)，使得隨機(jī)變量X,Y滿足Y=g(X)，則稱隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)。概率論中主要研究隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征即由隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律出發(fā)研究其連續(xù)函數(shù)Y=g(X)的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.此時(shí),Y也是隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則求函數(shù)Y=g(X)的分布列的步驟為： 求Y的所有可能取值 計(jì)算Y取各可能值的概率：如果Y各可能取值中存在多個(gè)值相等,則Y取該值的概率為這些相等值對(duì)應(yīng)的X取

37、值的概率之和.例如,當(dāng)則由基本事件互斥性與概率可加性得：如果Y各可能取值互異,即 則例:設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為: 求X-1,X2-1的分布列. 解:采用“同一表格法”.X-1012P0.20.30.10.4P0.20.30.10.4X-1012X-1-2-101X2-10-103互異有等值X-1-2-101P0.20.30.10.4 故X-1分布列為: X2-1的分布列為:X2-1-103P0.30.30.4 其中二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)概率密度的求法方法 分布函數(shù)法其中積分區(qū)間Iy是以y的函數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間。 分布函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)數(shù)即得概率密度： ,求導(dǎo)時(shí)一般用到變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式. 求Y的分布函數(shù)

38、： 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 ,則求Y=g(X)的概率密度 的步驟為：例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求Y=2X+8的概率密度fY(y)。 對(duì)y求導(dǎo)得：得： 解：設(shè)Y的分布函數(shù)為 ，則當(dāng) y 0 時(shí), 例 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為求 Y = sinX 的概率密度.當(dāng) y 1 時(shí)解 =P(0 X arcsiny) +P( - arcsiny X ） 當(dāng) 0 y 1 時(shí), 而求導(dǎo)得:第三章 二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié) 邊緣分布第三節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性第四節(jié) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1定義： 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間=e，設(shè)X1(e), X2(e)為定義上的隨機(jī)變量,由

39、它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X1,X2)叫做二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 對(duì)于二維隨機(jī)變量, 需要考慮 二維隨機(jī)變量作為一個(gè)整體的概率分布或稱聯(lián)合分布； 還要研究每個(gè)分量的概率分布或稱邊緣分布； 并且還要考察各分量之間的聯(lián)系，比如是否獨(dú)立等。一、二維隨機(jī)變量的定義第一節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布定義：若對(duì)任意xkR,k=1,2,稱二元函數(shù) 為二維隨機(jī)變量(X1, X2)的聯(lián)合分布函數(shù)。 注釋 (1) 事件X1x1, X2x2是2個(gè)事件X2x2同時(shí)發(fā)生的概率，故稱為聯(lián)合分布函數(shù)。 (2) F(x1,x2)是普通的二元函數(shù)，這樣，我們就把對(duì)隨機(jī)變量的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)普通二元函數(shù)的研究。二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)

40、(3) 二維隨機(jī)向量(X,Y)可以看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)。則(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=PXx,Yx1時(shí)，F(xiàn)(x2,y)F(x1,y)；對(duì)于任意固定的x,當(dāng)y2y1時(shí)，F(xiàn)(x,y2)F(x,y1)且 0F(x,y)1。 因?yàn)閄x1,YyXx2,Yy.(2). 對(duì)于任意固定的y, F(-,y)=0； 對(duì)于任意固定的x, F(x,-)=0； F(-,-)=0，F(xiàn)(+,+)=1。 2.二維分布函數(shù)的性質(zhì)(3).F(x, y)=F(x +0, y), F(x, y)=F(x, y +0), 即F(x, y)關(guān)于x右連續(xù),關(guān)于y也右連續(xù).(4).對(duì)于任意(x1, y1),(x2, y2)， x

41、1x 2, y1 y2, 下述不等式成立: F(x2,y2)-F(x2, y1)-F(x1,y2)+F(x1, y1)0, 事實(shí)上，因?yàn)镻x1X x2, y1Y0 y 0二、例題即可見對(duì)一切 x, y, 均有：故 X , Y 獨(dú)立 . 若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0 x1 0yz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù)由于 X 和 Y 相互獨(dú)立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)為: =1- P(Xz)P(Yz)FN(z) 設(shè) X1,Xn 是 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為 我們來求 M=max(X1,Xn)

42、 和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù).(i = 1, , n) 用與二維時(shí)完全類似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為: 特別地，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有 例6 設(shè)系統(tǒng) L 由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) 連接而成,連接的方式分別為 (i) 串聯(lián), (ii) 并聯(lián), (iii)備用 (當(dāng)系統(tǒng) 損壞時(shí), 系統(tǒng) 開始工作) , 如下圖所示.設(shè) 的壽命分別為 已知它們的概率密度分別為其中 且 試分別就以上三種連接方式寫出 的壽命 的概率密度.XYXYXY 需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí), 常稱M

43、=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.三、課堂練習(xí)設(shè) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 它們都服從正態(tài)分布 .試驗(yàn)證隨機(jī)變量 具有概率密度四、小結(jié)在這一節(jié)中,我們討論了兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的求法.第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變

44、量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)引例：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績?nèi)缦拢涸u(píng)定他們的成績好壞。甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910一、一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 解：計(jì)算甲的平均成績： 計(jì)算乙的平均成績： 所以甲的成績好于乙的成績。設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 例1解解 例2 盒子中有5個(gè)球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，每次取一個(gè)，直到抽到白球?yàn)橹梗俣ㄈ〉降暮谇虿辉俜呕?，求取球次?shù)的數(shù)學(xué)期望。設(shè)表示 取球次數(shù)，則其分布例3例4解例

45、5解 二維離散隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率函數(shù)為 設(shè)則定義 因?yàn)?.1 數(shù)學(xué)期望注：假定這些級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂二、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 二維連續(xù)隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為設(shè)3.1 數(shù)學(xué)期望注：假定這些反常積分絕對(duì)收斂因?yàn)槔?解三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例7解例8四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 例9解第二節(jié) 方差方差的定義與計(jì)算方差的性質(zhì)原點(diǎn)矩與中心矩 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的. 引例 甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙

46、炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心 由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度. 但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.一、方差的定義與計(jì)算公式 該公式是計(jì)算方差一個(gè)很重要的公式二、方差的性質(zhì) 表1 幾種常見分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望 方差 分布率或 密度函數(shù) 分布01分布 p p(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布 均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布三、 原點(diǎn)矩與中心矩定義

47、設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若 存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡稱 k階矩 存在，稱它為X的k階中心矩可見，均值 E（X）是X一階原點(diǎn)矩，方差D（X）是X的二階中心矩。第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差 協(xié)方差具有下述性質(zhì) ：二、相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)有如下性質(zhì)：第五章 大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié) 大數(shù)定律一、切比雪夫不等式-切比雪夫不等式 定理1 設(shè)隨機(jī)變量 的期望 ，方差 存在，則對(duì)于任意例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升的白細(xì)胞數(shù)平均是7300，標(biāo)準(zhǔn)差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液中的白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。 利用切比雪夫不等式估計(jì)解： 設(shè)每毫升血液中的白

48、細(xì)胞數(shù)為 ，則 故每毫升血液中的白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9。 注： （1）切比雪夫不等式適用范圍廣；（2）該不等式只對(duì)概率給了大概的估計(jì)范圍，精度 不高，故只要用于理論研究和證明。二、大數(shù)定律定義1 設(shè) 是一隨機(jī)變量序列，如果存在某隨機(jī)變量 ，使得對(duì)任意 ，有則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于隨機(jī)變量 ，記為 .在 充分大時(shí)，則稱隨機(jī)變量序列 滿足大數(shù)定律。定義2 設(shè)隨機(jī)變量序列 的數(shù)學(xué)期望都存在，且滿足若令,則*式可表示為：定理2 （切比雪夫大數(shù)定律）則隨機(jī)變量序列 滿足大數(shù)定律。設(shè) 為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，若存在常數(shù) ，使得定理3 （伯努利大數(shù)定律）設(shè) 為 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中

49、事件 發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中 發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的 ，有定理4 （辛欽大數(shù)定律）設(shè) 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 ,則隨機(jī)變量序列 滿足大數(shù)定律。第二節(jié) 中心極限定理正態(tài)分布是貫穿概率論始終的一種最重要的分布，為什么如此重要？ 正態(tài)分布最常見，現(xiàn)實(shí)生活中很多的隨機(jī)變量都是服從或近似服從正態(tài)分布的。定理1（林德伯格-列維中心極限定理）一、獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，服從同一 分布，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差： ，則隨機(jī)變量之和 的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù) 對(duì)任意實(shí)數(shù) ，有定理1表明： 獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量，在 充分大時(shí)，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：故從而，例

50、1 一螺釘?shù)闹亓渴且浑S機(jī)變量，期望1兩，標(biāo)準(zhǔn)差0.1兩，求：（1）一盒（100個(gè)）螺釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率；（2）一盒（100個(gè)）螺釘?shù)闹亓拷橛?.9到10.2斤的概率解：統(tǒng)一單位為千克，則設(shè) 表示一盒螺釘?shù)目傊亓浚?表示第 個(gè)螺釘?shù)闹亓壳?獨(dú)立同分布,100充分大，故解： 表示第 頁的錯(cuò)誤數(shù)，例2 已知一本書有500頁，每一頁的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布 ,各頁有沒有錯(cuò)誤相互獨(dú)立，求這本書的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)不少于90個(gè)的概率.設(shè) 表示這本書的錯(cuò)誤總數(shù)，因 獨(dú)立同分布,500充分大，故定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）二、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布，即 ，

51、則隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù) 對(duì)任意實(shí)數(shù) ，有定理2表明： 若隨機(jī)變量 ，則其標(biāo)準(zhǔn)化變量，在 充分大時(shí)，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：故例3 設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，假定開、關(guān)相互獨(dú)立，用中心極限定理估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率 設(shè) 表示夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)，則解：10000充分大，例4 一學(xué)校有10000名學(xué)生，每人以80的概率去圖書館上自習(xí)，問圖書館至少應(yīng)設(shè)置多少個(gè)座位才能以95以上的概率保證去上自習(xí)的學(xué)生都有座位解：10000充分大，設(shè) 表示上自習(xí)的學(xué)生數(shù)，而設(shè)置座位數(shù)為 ,則，所以圖書館至少應(yīng)設(shè)置8066個(gè)座位. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)

52、的內(nèi)容包括：如何收集、整理數(shù)據(jù)資料；如何對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研究，從而對(duì)所研究的對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出推斷后者就是我們所說的統(tǒng)計(jì)推斷問題。本書只講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容。 前面五章我們講述了概率論的基本內(nèi)容 ，隨后的三章將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷第六章 樣本及抽樣分布第一節(jié) 總體與樣本第二節(jié) 統(tǒng)計(jì)量第三節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾種常見分布第四節(jié) 正態(tài)總體的抽樣分布第一節(jié) 總體與樣本從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行大量的觀測(cè)(或?qū)嶒?yàn))，被研究的隨機(jī)變量的概率特征一定能

53、顯現(xiàn)出來。如：進(jìn)行大量射擊，則射手的水平高低、平均中靶環(huán)數(shù)、射中每個(gè)環(huán)數(shù)概率都可大概知曉。可是實(shí)際進(jìn)行的觀測(cè)（或?qū)嶒?yàn)）次數(shù)只能是有限的，有的甚至是少量的 因此，我們關(guān)心的問題就是怎樣有效地利用收集到的有限的資料，盡可能地對(duì)被研究的隨機(jī)變量的概率特征作出精確而可靠的結(jié)論例如，我們考察某廠生產(chǎn)的一大批燈泡的質(zhì)量。在正常生產(chǎn)情況下，燈泡的質(zhì)量主要表現(xiàn)為它們的平均壽命是穩(wěn)定的.然而，由于生產(chǎn)中各種隨機(jī)因素的影響，各個(gè)燈泡的壽命是不完全相同的要檢驗(yàn)燈泡的平均壽命就需要測(cè)試每一個(gè)的壽命。實(shí)際上，由于受到人力、物力等的限制，不可能對(duì)每一個(gè)燈泡的壽命進(jìn)行測(cè)試，特別地，測(cè)定燈泡壽命的試驗(yàn)具有破壞性，因此對(duì)全部燈

54、泡一一進(jìn)行測(cè)試也不可能。 一般只是從所有燈泡中抽取一些進(jìn)行測(cè)試，再根據(jù)這一部分?jǐn)?shù)據(jù)來推斷整體的情況。 如：上面的例子中，該廠生產(chǎn)的所有燈泡的壽命就是總體，而每一個(gè)燈泡的壽命就是個(gè)體一、總體與個(gè)體總體：被研究的對(duì)象的全體，個(gè)體：組成總體的各個(gè)元素 以X表示燈泡的壽命，每個(gè)燈泡的壽命對(duì)應(yīng)的X一個(gè)取值,則所有燈泡的壽命即為X取值的全體。二、抽樣與樣本上例中，從所有的燈泡中抽取一個(gè)測(cè)試其壽命，就相當(dāng)于對(duì)燈泡的壽命這個(gè)隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗(yàn)（或觀測(cè)），得到的一個(gè)具體的燈泡壽命的數(shù)據(jù)。從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)代表總體的隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗(yàn)（或觀測(cè)），得到的一個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)（或觀測(cè)值） 從總體中抽取一部分

55、個(gè)體，就是對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行若干次試驗(yàn)（觀測(cè)），得到的若干個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)（或觀測(cè)值）從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體的過程稱為抽樣。 抽樣得到的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)（觀測(cè)值）稱為樣本。樣本中所含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量。 由于樣本隨每次抽樣觀察而改變，所以容量為的樣本可以看做一個(gè) 維隨機(jī)變量 ，而一旦取定一組樣本，就得到了 個(gè)具體的數(shù)，稱為樣本的一次觀測(cè)值，簡稱樣本觀測(cè)值 常用的抽樣方式是簡單隨機(jī)抽樣：（1）代表性： 這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣， 由此得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本樣本中的每一個(gè)分量 與總體X有相同的分布；（2）獨(dú)立性：每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響，即

56、 是相互獨(dú)立的。如果 是從總體X中抽取的簡單隨機(jī)樣本，則 相互獨(dú)立且與總體X同分布 今后，如不加特殊說明，本書中提到的抽樣和樣本指的都是簡單隨機(jī)抽樣和簡單隨機(jī)樣本第二節(jié) 統(tǒng)計(jì)量 為了對(duì)總體X進(jìn)行推斷，需要從總體中抽取樣本， 再對(duì)樣本進(jìn)行加工處理，也就是說需要根據(jù)不同的問題構(gòu)造出適用的樣本函數(shù) 由于總體X的分布未知，作為分布的重要特征的參數(shù)一般也未知，所以作為推斷的依據(jù)，我們要求構(gòu)造的樣本函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)定義1 設(shè)為來自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，如果樣本函數(shù) 中不含有任何未知參數(shù)，則稱這類樣本函數(shù)為統(tǒng)計(jì)量例如：總體 , 是其樣本，當(dāng) 已知而 未知時(shí)，因?yàn)?都是隨機(jī)變量，所以統(tǒng)計(jì)量 也是一

57、個(gè)隨機(jī)變量，若 是樣本觀測(cè)值，則 即為統(tǒng)計(jì)量 的觀測(cè)值不是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量(1)樣本均值：觀測(cè)值：(2)樣本方差觀測(cè)值：數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的統(tǒng)計(jì)量及其觀測(cè)值有：(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：觀測(cè)值：(4)樣本k階原點(diǎn)矩：觀測(cè)值：(5)樣本k階中心矩：觀測(cè)值： 例1 從總體中抽取一組樣本，其樣本觀測(cè)值如下：4.5 2.0 1.0 1.5 3.5 4.5 6.5 5.0 3.5 4.0 計(jì)算樣本均值、樣本方差及樣本二階中心矩的觀測(cè)值解：把上述10個(gè)數(shù)據(jù)逐個(gè)輸入計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中，不難求得 當(dāng)樣本容量 較大時(shí)，相同的樣本觀測(cè)值往往可能重復(fù)出現(xiàn)，為了計(jì)算簡化，應(yīng)先把數(shù)據(jù)整理，得到下表：觀測(cè)值總計(jì)頻數(shù)樣本均值和樣本方差的

58、觀測(cè)值可以分別用下列公式計(jì)算：例2 設(shè)抽樣得到100個(gè)觀測(cè)值如下表：觀測(cè)值012345頻算樣本均值和樣本方差的觀測(cè)值解：第三節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾種常見分布一、 分布其中伽瑪函數(shù) 通過積分 來定義，則稱X服從自由度為n的 分布，記為定義1 若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的圖像：定義2 設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 ，對(duì)于給定的實(shí)數(shù) 和 ,有則稱為 為隨機(jī)變量X的分布的上 分位點(diǎn)則 稱為 分布的上 分位點(diǎn)。定義3 若 ，且滿足例如：已知 ,本書附表3中，對(duì)于不同的 ，給出了 的值定理1 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ,則隨機(jī)變量例1 設(shè)隨機(jī)變量 是來自標(biāo)準(zhǔn)

59、正態(tài)總體 的樣本，令 ，試求常數(shù)C,使得CY服從 分布，并指出其自由度證：，二、t分布則稱X服從自由度為n的t分布，記為 .定義4 若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的圖形如圖所示:故當(dāng) 足夠大時(shí), 分布近似于 分布。但對(duì)于較小的 ， 分布與 分布相差較大.的點(diǎn) 為 分布的上 分位點(diǎn).對(duì)于給定的 ， ，稱滿足條件 t 分布的上 分位點(diǎn)可由附表4查得。例如：已知隨機(jī)變量 ，則定理2 設(shè) ， ，且 獨(dú)立服從自由度為 的 分布則隨機(jī)變量記為例2 設(shè)隨機(jī)變量 是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體 的樣本，證明： 服從t 分布，并指出其自由度， 三、F分布的圖形如圖所示:則稱X服從自由度為 的F分布，記為 .定義6 若隨機(jī)變量

60、X的概率密度函數(shù)為對(duì)于給定的 ,稱滿足條件的點(diǎn) 為 分布的上 分位點(diǎn)定理3 且 相互獨(dú)立，服從自由度為 的 分布則隨機(jī)變量記為注：F分布的分位點(diǎn)可由附表 5查得。利用這個(gè)等式，查附錄表，可以計(jì)算當(dāng)時(shí)的 的值例如例3 設(shè)隨機(jī)變量 是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體 的樣本，證明： 服從F 分布，并指出其自由度從總體X中抽取容量n的樣本 ， 第四節(jié) 正態(tài)總體的抽樣分布樣本均值與樣本方差分別是定理1 若 是來自正態(tài)總體 的樣本，則樣本均值 與樣本方差 相互獨(dú)立，并且 例1 設(shè)總體 ，從總體中抽取容量為25的樣本，求樣本均值 與總體均值 之差的絕對(duì)值大于2的概率,如果 （1）已知總體方差 ； （2）總體方差未知，但已