2022年高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列教學(xué)ppt課件(完整版)

1、3.4基本不等式ab a b2主要內(nèi)容基本不等式的應(yīng)用基本不等式的推導(dǎo)及其證明基本不等式的推導(dǎo)及其證明第 1 課時如圖是在北京召開的第 24 界 國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根 據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計 的，顏色的明暗使它看上去像一個 風(fēng)車，代表中國人民熱情好客 . 你能在這個圖案中找出一些相等關(guān) 系或不等關(guān)系嗎？設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為 a 、 b,那么正方形的邊a長2.為b2這樣， 4 個直角三角形的面積的和是 2ab ， 正方形的面積a2 為 b2將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形 AB CD 中有 4 個全等的直角三角形 .由于 4 個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們

2、就得到了一個不等式：a2 b2 2ab當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，?a=b 時，正方形 EFGH 縮為一個點，這時有a2b2 2ab若a, b R,則a2 b2 2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a b時“”成立).結(jié)論 1 ：證明：作差比較a2+b2-2ab=(a-b)2當(dāng)ab 時， (a-b)20 得a2+b22ab當(dāng) a=b 時， (a-b)2=0 得a2+b2=2ab所以對任意a, b R,則a2 b2 2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a b時“”成立.若a 0, b 0,則 ab a b ,當(dāng)且僅當(dāng)a b時“”成立.2特別地，如果 a0,b0, 我們用a 上面結(jié)論中的 a 、 b ，可得a b 2ab、b分別代

3、替證明同前面結(jié)論 1結(jié)論 2基本不等式2ab a b的幾何意義 B ，那么 D2 A B即 D ab在右圖中， AB 是圓的直徑，點 C 是 AB 上的一 點， AC=a,BC=b. 過點C 作垂直于 AB 的弦 DE ，連接 AD 、 BD. 你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解易釋證嗎？tA D tD.2由于 CD 不大于圓的半徑a b2ab a b所以其中當(dāng)且僅當(dāng)點 C 與圓心重合，即 a b 時，等號成立 .2因此，基本不等式ab a b2的幾何意義是“半徑不小于半弦”ab a b如果把看作是正數(shù) a 、 b 的等差中項，把看作是正數(shù) a 、 b 的等比中項，那么該定理可以敘述為：2

4、a bab兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.基本不等式代數(shù)意義2ab a b2何平均數(shù)，那么a b為a 、 b 的算術(shù)ab平均數(shù)，為幾兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式的推廣：則的算術(shù)平均數(shù)，na ,a,a R ,1 若2n叫做 n 個正數(shù)叫做 n 個正a1 a2 ann a1 a2 ann a1 a 2 an數(shù)的幾何平nna均數(shù)a.a12n 個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) .(1)當(dāng)a R時, a 1 2.a(2)當(dāng)a, b R時, a b （2當(dāng)a b時取“”號）.ba例 1. 求證：a 1 2.aa證明 (1)由于a R , a 1 2當(dāng)且僅當(dāng) a=即

5、 a=1 時，等號成立 .a1b a 2.abab(2)由于a、b R , b a 2即 a=b 時，等號成立 .當(dāng)且僅當(dāng) b=aba22333（ x y ）（ x y ）（ x y ） x y y2 2xy 0 x2例 2. 已知x 、 y 都是正數(shù)，求證：（ x y ）（ x2 y2 ）（ x3 y3 ） x3y3.證明：由于 x 、 y 都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式得x y 2xy 0 x3 y3x3 y3 2 0三式相乘得3.當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時等號成 立.例 3. 若 x0 ， y0 ，且 x+y=2 ，求 x2+y2 的最小值解： x2+y22xy ，2(x2+y2)(x+y)22(

6、x y)2 x2 y2 x+y=2 ，x2+y22即 x2+y2 的最小值為 2, 當(dāng)且僅當(dāng) x=y=1 時取得最小 值.一半時間的速度為 a ，另一半時間的速度為 b ；乙車 用速度 a 行走了一半路程，用速度 b 行走了另一半路1.“a 0 且 b 0” 是“)(A) 充分而非必要條件(B) 必要而非充分條件(C) 充要條件(D) 既非充分又非必要條2. 甲、乙兩車從 A 地沿同一路線到達 B 地，甲車件aba b 2程，若 ab ，則兩車到達 B 地的情A 況是 ()(A) 甲車先到達 B 地(B) 乙車先到達 B 地(C) 同時到達(D) 不能判定”成A立的 (練習(xí)3. 已知 a 、

7、b 、 c 都是正數(shù)，求證（ a b ）（ b c ）（ c a ） a bc證明：由于 a 、 b 、 c 都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式得（ a b ）（ b c ）（ c a ） aab 0bc 0ca 0a b 2b c 2c a 2三式相乘得當(dāng)b且c僅當(dāng) a=b=c 時等號成 立.4.當(dāng)a, b R時，求證a b 2ab證明：由 a0,b0,-b0(a) (b) 2(a)(b)a b 2ab當(dāng)且僅當(dāng) -a=-b 即 a=b 時等號成立 .小結(jié)基本不等式的推導(dǎo)及其意義利用基本不等式證明簡單不等式作業(yè)P100 P100練 習(xí) 1 習(xí)題 3.4A 組 1,2補充作業(yè)已知a、b、c 0, 求證 b

8、 c c a a b 6abc求證：a2 b2 c2 ab bc ca2222222a2a2a2a2( A)2a b ab (D)b2a b b2(C)ab b2a b (B)ab b2ab a b1.設(shè)a, b R ,且a b,則下列各式中正確的是（）基本不等式的應(yīng)用第 2 課時復(fù)習(xí)：基本不等式1.若a、b R,則a2 b2 2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a b時“”成立).2.若a、b R ,則 ab a b ,當(dāng)且僅當(dāng)a b時“”成立.2對于結(jié)論 2 ，應(yīng)把握三點：“一正、二定、三相 等”例 1 （ 1 ）用籬笆圍成一個面積為 100m2 的矩形菜 園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短 .

9、最短的籬笆是多少？2（ 2 ）一段長為 36 m 的籬笆圍成一個矩形菜園，問 這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最 大面積是多少 ?可得分析：對于(1) 矩形菜園的面積是確定的 , 長和寬 沒有確定. 籬笆最短即矩形的周長最短 .解：（ 1 ）設(shè)矩形菜園的長為 x m ，寬為y m ， 則 xy=100 ，籬笆的長為 2 （ x+y ） m. 由x y 21002(x y) 40當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時等號成立，此時 x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為 10m 時，所用的籬 笆最短，最短的籬笆是 40m.解：（ 2 ）設(shè)矩形菜園的長為 x m ，寬為y m ， 則2 （ x+y ）

10、 =36 ， x+y=18 ，矩形菜園的面積為 xy m2. 由可得分析：對于(2) 矩形菜園的周長是確定的 , 長和寬 沒有確定. 菜園的面積最大即矩形的面積最大 .xy x y 18 922xy 81當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時，等號成立，此時 x=y=9.因此，這個矩形的長、寬都為 9m 時，菜園的面 積最大，最大面積是 81m2.；1. 已知兩個正數(shù) x ， y ，求 x+y 與 xy 的最值 . (1)xy 為定值 p ，那么當(dāng) x y 時， x+y 有最2 小p值1 s2利用基本不等式求最值的要點2ab a b(2)x+y 為定值 s ，那么當(dāng) x y 時，積 xy 有最4大值.2. 在使

11、用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常 數(shù)，和有最小值”這兩個結(jié)論時，應(yīng)把握三點： “一正、二定、三相等”例 2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池， 其容積為 4800m3, 深為 3m ，如果池底每 1m2 的造價 為 150 元，池壁每 1m2 的造價為 120 元，問怎樣設(shè) 計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問 題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值， 其中用到了基本不等式定理 .z 240000 720(x 1600) 240000 720 2 40 297600 240000 720 2x x x 1600 xx 1600 ,即x 40時,

12、 z有最小值2976000.解：設(shè)水池底面一邊的長度為 x m ，水池的總 造價為 z 元，根據(jù)題意，得當(dāng)因此，當(dāng)水池的底面是邊長為 40m 的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是 297600 元.的最小值以及取得例 3. 已知 x 1 ，求 x1 x 1最小值時 x 的值.解：因為 x 1.當(dāng)且僅當(dāng) x 1 1（ x1) 即x=2 時，取“”號x 1答：最小值是 3 ，取得最小值時 x 的值為 2.11所以 x 1 01x 1 (x 1) x 1x 11 2 1 3x 1 2(x 1)例 4求 x+y 的最小值 .已知 x, y R ,ya 、 b 為正常數(shù)，且xa b 1 0 x a

13、 0 x abx解1 a b 1 y ：xybxx a x y x a b x b(x a) ab (x a) ab x ax a 2ab a b (a b)2解2 : x y (x y)( a b )xy a b a y b x a b 2ab (a b)2 xy的最小值 .tt (0,1單調(diào)遞減， t 1, )單調(diào)遞增分析：利用函數(shù)y t 1 (t0) 的單調(diào)性 .x2x2x2x2 5 4 1解: y 4 421x2x 4 4x2令t 4則y t 1(t 2)tmin 52當(dāng)t 2,即: x 0時, y45x 2x 2例 5. 求函數(shù)y)(B)0 x sinx4e-x(C)y 4ex(D)

14、y log3 x log x 30 x 1xy sinx 1 下列函數(shù)中，最小值為 4 的是 ( C(A) y x 4練習(xí)2. 某公司租地建倉庫，每月土地占用費 y1 與倉庫 到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費 y2 與到 車站的距離成正比，如果在距離車站 10 公里處建倉庫，這兩項費用 y1 和 y2 分別為 2 萬元和 8 萬元，那么要 使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車A站 ()(A)5 公里(B)4 公里(C)3 公里 (D)2 公里的最小值.xy114.若正數(shù) x 、 y 滿足 x+2y 1. 求的最小值是.xy523.已知 lgx+lgy 1 ，5.已知正數(shù) a 、 b 滿

15、足 a+b 1.的最小值 .ab(1) 求 ab 的取值范圍； (2) 求ab 1當(dāng)時取“ =”5x 1 x 1即x 5 1x2 3x 1(x 1)2 5(x 1) 5x 1x 1x 1x 1 05 x 1 5x 15 5 25 5x 1又x 1 即當(dāng) x 5 1最小值為時, 函數(shù)的25 5解:f(x) 6. 求函數(shù) 的最小值 .( x1)x 1x 3x 12f ( x)7. 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的礦水，要制造 一底寬為 2 米的無蓋長方形沉淀箱，污水從 A 孔 流入，經(jīng)沉淀后從 B 孔流出，設(shè)箱體的長度為 a 米，高度為 b 米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與 a ， b 的乘積 ab 成反比. 現(xiàn)有制箱材料 60 平 方米， 問當(dāng) a ， b 各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出 的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小 (A ， B 孔的面積忽 略不計 ).ABba小結(jié)；1. 已知兩個正數(shù) x ， y ，求 x+y 與 x