高中數(shù)學(xué)必修二 6.1 平面向量的概念（含答案）

1、 6.1平面向量的概念導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1 向量既有大小，又有方向的量叫做向量知識(shí)點(diǎn)2 向量的幾何表示以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq o(AB,sup6().知識(shí)點(diǎn)3 向量的有關(guān)概念(1)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0.(2)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做

2、單位向量(3)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量記法：向量a平行于向量b，記作ab.規(guī)定：零向量與任一向量平行【合作探究】探究一 向量的概念【例1】判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由(1)若向量a與b同向，且|a|b|，則ab；(2)若|a|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反；(5)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量分析解答本題可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判斷

3、真假解(1)不正確因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小(2)不正確由|a|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們方向的關(guān)系(3)不正確依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行(4)不正確因?yàn)橄蛄縜與向量b若有一個(gè)是零向量，則其方向不定(5)正確對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小與方向，是可以任意移動(dòng)的歸納總結(jié)：1判斷一個(gè)量是否為向量，應(yīng)從兩個(gè)方面入手：是否有大小，是否有方向.2注意兩個(gè)特殊向量：零向量和單位向量.3注意平行向量與共線向量的含義.【練習(xí)1-1】下列物理量中不是向量的有( )質(zhì)量；速度；力；加速度；路程；密度；功；電流強(qiáng)度A5個(gè)B4個(gè) C3個(gè)D2個(gè)解析：(1)看一個(gè)量是否

4、為向量，就要看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向，特別是方向的要求，對(duì)各量從物理本身的意義作出判斷，既有大小也有方向，是向量，只有大小沒(méi)有方向，不是向量【練習(xí)1-2】在下列命題中，真命題為( )A兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B向量 eq o(AB,sup6()與向量 eq o(BA,sup6()的長(zhǎng)度相等C向量就是有向線段D零向量是沒(méi)有方向的解析：(2)由于單位向量的方向不一定相同，故其終點(diǎn)不一定相同，故A錯(cuò)誤；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非沒(méi)有方向，故D錯(cuò)誤；有向線段是向量的形象表示，但并非說(shuō)向量就是有向線段，故C錯(cuò)誤，故選B.探究二 向量的幾何表示【例2】一輛汽車

5、從A點(diǎn) HYPERLINK 出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50走了200 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量eq o(AB,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(CD,sup6()；(2)求|eq o(AD,sup6()|.解(1)向量eq o(AB,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(CD,sup6()如圖所示(2)由題意，易知eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()方向相反，故eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線，又|eq o(AB,sup6()

6、|eq o(CD,sup6()|，在四邊形ABCD中，AB綊CD.四邊形ABCD為平行四邊形eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，|eq o(AD,sup6()|eq o(BC,sup6()|200 km.歸納總結(jié)：1用向量表示的幾何問(wèn)題，要研究其圖形的幾何特性，然后作出解答.2作向量時(shí)，關(guān)鍵是找出向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，如果已知起點(diǎn)，先確定向量的方向，然后根據(jù)向量的長(zhǎng)度找出終點(diǎn).【練習(xí)2】在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使ba；(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使|c|eq r(5)，并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？解(

7、1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長(zhǎng)度相等(作圖略)(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為eq r(5)的圓(作圖略)探究三 相等向量和共線向量【例3】如圖所示，ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)(1)寫出與eq o(EF,sup6()共線的向量；(2)寫出與eq o(EF,sup6()的模大小相等的向量；(3)寫出與eq o(EF,sup6()相等的向量解(1)因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，所以EF綊eq f(1,2)BC.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以與eq o(EF,sup6()共線的向量有：eq o(FE,sup

8、6()，eq o(BD,sup6()，eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CD,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CB,sup6().(2)與eq o(EF,sup6()模相等的向量有：eq o(FE,sup6()，eq o(BD,sup6()，eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CD,sup6().(3)與eq o(EF,sup6()相等的向量有：eq o(DB,sup6()與eq o(CD,sup6().歸納總結(jié)：1.共線向量和相等向量有何關(guān)系？共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.2.如

9、何利用向量相等或共線證明線段相等、平行問(wèn)題？證明線段相等，只要證明相應(yīng)的向量長(zhǎng)度模相等.證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說(shuō)明線段不共線.【練習(xí)3】如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中所示向量與eq o(OA,sup6()、eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6()相等的向量解eq o(OA,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DO,sup6()；eq o(OB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(EO,sup6()；eq o(OC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(FO,sup6().

10、課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1下列物理量：質(zhì)量；速度；位移；力；加速度；路程其中是向量的有()A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)答案C解析是向量2下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()零向量是沒(méi)有方向的；零向量的長(zhǎng)度為0；零向量的方向是任意的；單位向量的模都相等A0 B1 C2 D3答案D3給出下列三個(gè)命題：兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若|a|b|，則ab；若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則四邊形ABCD是正方形其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為()A2個(gè) B3個(gè) C0個(gè) D1個(gè)答案B4下列說(shuō)法正確的是()A數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B方向不同的向量不能比較大小，但

11、同向的可以比較大小C向量的大小與方向有關(guān)D向量的?？梢员容^大小答案D解析A中不管向量的方 HYPERLINK 向如何，它們都不能比較大小，所以A不正確；由A的過(guò)程分析可知方向相同的向量也不能比較大小，所以B不正確；C中向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長(zhǎng)度，與方向無(wú)關(guān)，所以C不正確；D中向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，所以D正確5如圖，在四邊形ABCD中，若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則圖中相等的向量是()A.eq o(AD,sup6()與eq o(CB,sup6() B.eq o(OB,sup6()與eq o(OD,sup6()C.eq o(AC,sup6

12、()與eq o(BD,sup6() D.eq o(AO,sup6()與eq o(OC,sup6()答案D解析eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD互相平分，eq o(AO,sup6()eq o(OC,sup6().6設(shè)O是正方形ABCD的中心，則向量eq o(AO,sup6()，eq o(BO,sup6()，eq o(OC,sup6()，eq o(OD,sup6()是()A相等的向量 B平行的向量C有相同起點(diǎn)的向量 D模相等的向量答案D解析這四個(gè)向量的模相等7若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|

13、b|1，其中正確的是()A B C D答案B解析a為任一非零向量，故|a|0.8.如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EFAB，則()A.eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()B.eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()C.eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()D.eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6()答案D解析由平面幾何知識(shí)知，eq o(AD,sup6()與eq o(BC,sup6()方向不同，故eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()；eq o

14、(AC,sup6()與eq o(BD,sup6()方向不同，故eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()；eq o(PE,sup6()與eq o(PF,sup6()模相等而方向相反，故eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()；eq o(EP,sup6()與eq o(PF,sup6()模相等且方向相同，eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6().二、填空題9如圖，在ABC中，若DEBC，則圖中所示向量中是共線向量的有_答案eq o(ED,sup6()與eq o(CB,sup6()，eq o(AD,sup6()與eq o(BD,sup6()，eq o(A

15、E,sup6()與eq o(CE,sup6()解析觀察圖形，并結(jié)合共線向量的定義可得解10在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，則四邊形ABCD的形狀是_答案梯形解析eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，ABDC，但ABDC，四邊形ABCD是梯形三、解答題11.如圖，在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，N、M分別是AD、BC上的點(diǎn)，且eq o(CN,sup6()eq

16、o(MA,sup6().求證：eq o(DN,sup6()eq o(MB,sup6().證明eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|且ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，|eq o(DA,sup6()|eq o(CB,sup6()|，且DACB.又eq o(DA,sup6()與eq o(CB,sup6()的方向相同，eq o(CB,sup6()eq o(DA,sup6().同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，eq o(CM,sup6()eq o(NA,sup6().|eq o(CB,sup6()|eq o(DA

17、,sup6()|，|eq o(CM,sup6()|eq o(NA,sup6()|，|eq o(DN,sup6()|eq o(MB,sup6()|.DNMB且eq o(DN,sup6()與eq o(MB,sup6()的方向相同，eq o(DN,sup6()eq o(MB,sup6().12某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按東北方向走了10eq r(2)米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CD,sup6().(2)求eq o(AD,sup6()的模解(1)作出向量eq o(AB,s

18、up6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CD,sup6()如圖所示：(2)由題意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10eq r(2)米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以ADeq r(52102)5eq r(5)(米)所以|eq o(AD,sup6()|5eq r(5)米13.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行 HYPERLINK 任務(wù)，先從A地向北偏東30方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30方向行駛2千米才到達(dá)B地(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出eq o(AD,sup6()，

19、eq o(DC,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(AB,sup6()；(2)求B地相對(duì)于A地的位置向量解(1)向量eq o(AD,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(AB,sup6()如圖所示(2)由題意知eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則B地相對(duì)于A地的位置向量為“北偏東60，6千米”B組 能力提升一、選擇題1.給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較

20、大??；若（為實(shí)數(shù)），則必為零；已知，為實(shí)數(shù)，若，則與共線，其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】對(duì)于，兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，錯(cuò)誤；對(duì)于，向量是有方向和大小的矢量，不能比較大小，但它們的模能比較大小，正確；對(duì)于，時(shí)為實(shí)數(shù)），或，錯(cuò)誤；對(duì)于，若時(shí)，此時(shí)與不一定共線，錯(cuò)誤；綜上，其中錯(cuò)誤命題為，共3個(gè)故選：2.有下列命題：若向量與同向，且，則；若四邊形是平行四邊形，則；若，則；零向量都相等.其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】對(duì)于，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，不能比較大小，故是假命題；對(duì)于，在平行四邊形中，是大小相等，方向相反的向量

21、，即，故是假命題；對(duì)于，顯然若，則，故是真命題；對(duì)于，因?yàn)榇笮∠嗟?，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故是假命題.故選：C.3.下列命題中正確的是( )A若，則B若，則C若，則與可能共線D若，則一定不與共線【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较颍灾挥蟹较蛳嗤笮?長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等，因此A錯(cuò)誤；兩個(gè)向量不相等，但它們的?？梢韵嗟?，故B錯(cuò)誤；無(wú)論兩個(gè)向量的模是否相等，這兩個(gè)向量都可能共線，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C4.給出下列四個(gè)命題：若，則；若，是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件；若，則；的充要條件是且.其中正確命題的序號(hào)是( )ABCD【答案

22、】A【解析】不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.正確.，且，又，是不共線的四點(diǎn)，四邊形為平行四邊形；反之，若四邊形為平行四邊形，則，且方向相同，因此.正確.，的長(zhǎng)度相等且方向相同，又，的長(zhǎng)度相等且方向相同，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故.不正確.當(dāng)且方向相反時(shí)，即使，也不能得到，故且不是的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是.故選：A.二、填空題5已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ABC60，則|eq o(BD,sup6()|_.答案2eq r(3)解析易知A HYPERLINK CBD，且ABD30，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AOeq f(1,2)AB1.在RtABO中，易得|eq o(BO,sup6()|eq r(3)，|eq o(BD,sup6()|2|eq o(BO,sup6()|2