人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日第二章人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1 命題邏輯與謂詞邏輯2.2 多值邏輯2.3 概率論2.4 模糊理論第2頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日AI中的邏輯可劃分為兩大類：經(jīng)典邏輯命題邏輯和一階謂詞邏輯。特點：二值非經(jīng)典邏輯三值邏輯、多值邏輯、模糊邏輯、模態(tài)邏輯、時態(tài)邏輯等等。第3頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日非經(jīng)典邏輯與經(jīng)典邏輯平行的邏輯：多值、模糊邏輯一些定理不成立，有新概念、新定理。對經(jīng)典邏輯的擴充：模態(tài)、時態(tài)邏輯一般承認(rèn)經(jīng)典邏輯的定理。一是擴充語言；二是擴充定理。例如

2、：模態(tài)邏輯增加了L(是必然的)算子和M(是可能的)算子。第4頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1 命題邏輯與謂詞邏輯2.1.1 命題定義2.1：命題是具有真假意義的語句。在命題邏輯中命題通常用大寫英文字母表示。命題邏輯無法把客觀事物的結(jié)構(gòu)及邏輯特征反映出來，也不能把不同事物間的共同特征表述出來。例如：P”老李是小李的父親”。看不出老李和小李的關(guān)系。P”李白是詩人”，Q”杜甫也是詩人”。無法形式地表示出二者的共同特點（都是詩人）。P=“每個人都是要死的”。Q=“孔子是人”。R=“孔子是要死的”。寫成命題形式:PQR(R是P, Q的邏輯結(jié)論?)第5頁，共69頁，2022

3、年，5月20日，10點57分，星期日2.1.2 謂詞（1）1. 一個謂詞分為謂詞名與個體兩個部分。謂詞名刻畫個體的性質(zhì)、狀態(tài)或個體間的關(guān)系。個體表示獨立存在的事物或者概念。例如：Teacher(zhang)，Greater(5,3)謂詞的一般形式P (x1, x2,xn)其中，P是謂詞名，x1, x2,xn是個體。謂詞名通常用大寫的英文字母表示，個體通常用小寫的英文字母表示。第6頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.2 謂詞（2）2. 個體可以是常量、變元或者函數(shù)。例如：Less(x,5),x是一個變元。Teacher(father(wang),其中father(w

4、ang)是一個函數(shù)。3.謂詞的語義由人指定。例如：S(x)，可以表示x是一個人；也可以表示x是一朵花。第7頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.2 謂詞（3）4. 當(dāng)謂詞中的所有變元都用特定個體取代時，謂詞就具有一個確定的真值：T或者F。謂詞中包含的個體數(shù)目稱為謂詞的元數(shù)。例如：P(x)是一元謂詞,P(x,y)是二元謂詞,P(x1, x2,xn)是n元謂詞。在謂詞P(x1, x2,xn)中，若xi (i=1,n)都是個體常量、變元或者函數(shù)，則稱為1階謂詞。若xi本身是一階謂詞，則P稱為2階謂詞。余者類推，5. 個體變元的取值范圍稱為個體域。6. 謂詞與函數(shù)不同。謂詞

5、是從個體到真值的映射。函數(shù)是從個體到個體的映射。7. 個體常量、變元、函數(shù)統(tǒng)稱為“項”。第8頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日1. 連接詞非：；析?。?；合?。?；蘊含：；等價： ；謂詞邏輯真值表2.1.3 謂詞公式（1）P Q PPQPQPQP QT TFTTTTT FFTFFFF TTTFTFF FTFFTT第9頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.3 謂詞公式（2）2. 量詞全稱量詞 ；存在量詞 例如：P(x)表示x是正數(shù)；F(x,y)表示x與y是朋友。 表示個體域中任何x都是正數(shù)。表示對于個體域中任何x，都存在y， x與y是朋友。表示在個

6、體域中存在x，與個體域中任何個體y都是朋友。第10頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.3 謂詞公式（3）3. 謂詞公式定義2.2 按下述規(guī)則得到的合式公式：(1)單個謂詞是合式公式，稱為原子公式；(2)若A是合式公式，則 也是合式公式；(3)若A，B是合式公式，則 都是合式公式；(4)若A是合式公式，x是任一個體變元，則 都是合式公式；(5)運用有限步上述規(guī)則得到的公式是合式公式。第11頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.3 謂詞公式（4）轄域：位于量詞后面的單個謂詞或者用括弧括起來的合式公式稱為量詞的轄域。轄域內(nèi)與量詞中同名的變元稱

7、為約束變元，不受約束的變元稱為自由變元。例如：更名：變元名稱無關(guān)緊要。注意：對量詞轄域內(nèi)的變元更名時，必須把同名的約束變元都統(tǒng)一改成相同名字，且不能與轄域內(nèi)自由變元同名。轄域內(nèi)自由變元也不能改為與約束變元同名。例如：第12頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.4 謂詞公式的解釋（1）在命題邏輯中對各命題變元的一次真值指派稱為命題公式的一個解釋。對于謂詞邏輯：首先考慮個體常量和函數(shù)在個體域中的取值，然后為謂詞分別指派真值。由于存在多種組合情況，所以一個謂詞公式的解釋可能有多個。對每一個解釋，謂詞公式都可求出一個真值。第13頁，共69頁，2022年，5月20日，10點5

8、7分，星期日2.1.4 謂詞公式的解釋（2）定義2.3 設(shè)D為謂詞公式P的個體域，對P中個體常量、函數(shù)和謂詞按如下規(guī)定賦值：為每個個體常量指派D中一個元素；為每個n元函數(shù)指派一個DnD的映射， Dn=(x1,xn)|x1,xnD為每個n元謂詞指派一個DnF,T的映射。則稱這些指派為公式P在D上的一個解釋。第14頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.4 謂詞公式的解釋（3）例2.1 設(shè)D1,2，求公式在D上的一個解釋及在該解釋下的真值。解：在A中沒有個體常量和函數(shù)，所以直接為謂詞指派真值。設(shè)為解釋1：P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=

9、F當(dāng)x1時，y1為T；當(dāng)x2時，y1為T；解釋2：P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F當(dāng)x1時，y1,2為T；當(dāng)x2時，y1,2為F；因此不存在y，則AF第15頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.4 謂詞公式的解釋（4）例2.2 D=1,2, 解：解釋： b=1, f(1)=2, f(2)=1, P(1)=F, P(2)=T, Q(1,1)=T, Q(2,1)=F, Q(*,2)不可能。當(dāng)x=1時，P(x)=F，公式真值為T；當(dāng)x=2時，P(x)=T,Q(f(x),b)=T，公式真值為T；所以在此解釋下，BT。真值是針對某一個解釋

10、而言的。第16頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.1.5 謂詞公式的永真性、可滿足性、不可滿足性定義2.4 如果謂詞公式P對個體域D上的任何一個解釋都得真值T，則稱P在D上是永真的；如果P在每個非空個體域上均永真，則稱P永真。定義2.5 對謂詞公式P，如果至少存在一個解釋使P在此解釋下的真值為T則稱公式P是可滿足的。謂詞公式的可滿足性又稱為相容性。定義2.6 如果謂詞公式P對于個體域D上任何一個解釋都取得真值F，則稱P在D上是永假的；如果P在每個非空個體域上均永假，則稱P永假。謂詞公式的永假性又稱為不可滿足性或不相容性。第17頁，共69頁，2022年，5月20日，10

11、點57分，星期日2.1.6 謂詞公式的等價性與永真蘊含定義2.7 設(shè)P、Q都是D上的謂詞公式，若對D上任何一個解釋，P與Q都有相同的真值，則稱P和Q在D上等價。如果D是任意個體域，則稱P和Q是等價的，記為 。定義2.8 對于謂詞公式P和Q，如果PQ永真，則稱P永真蘊含Q，且稱Q為P的邏輯結(jié)論，P為Q的前提，記為。第18頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日一些重要的等價式第19頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日一些重要的永真蘊含式第20頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日推理規(guī)則上述等價式和永真蘊含式可以作為推理規(guī)則。除此之外，

12、謂詞邏輯中如下一些推理規(guī)則：P規(guī)則：在推理的任何步驟都可以引入前提。T規(guī)則：推理時，如果前面步驟中有一個或者多個公式永真蘊含公式S，則可把S引入推理過程中。CP規(guī)則：如果能從R和前提集合中推理S來，則可從前提集合推理RS。反證法：，當(dāng)且僅當(dāng) 。即Q為P的邏輯結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng) 是不可滿足的。定理2.1: Q為P1,P2,Pn的邏輯結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)是不可滿足的。第21頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.2 多值邏輯（1）用T(A)表示命題A為真的程度。0T(A)1多值邏輯也定義了用連接詞表示的邏輯運算。T(A)=1-T(A)T(AB)=minT(A),T(B)T(AB)=ma

13、xT(A),T(B)T(AB)=min1,1-T(A)+T(B)T(A B)=1-|T(A)-T(B)|第22頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.2 多值邏輯（2）其它的T(AB)定義：Rb:T(AB)=min1-T(A),T(B)Rc:T(AB)=minT(A),T(B)Rp:T(AB)=T(A)T(B)R*:T(AB)=1-T(A)+T(A)T(B)Rst:T(AB)=max1-T(A),T(B)見教材P25第23頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日三值邏輯關(guān)于第三個真值：Kleene：強三值邏輯認(rèn)為是“不能判定”。條件成熟則非真即假。Luc

14、kasiewicz： 認(rèn)為是“不確定”，即不真也不假，也許不具有真值。Bochvar： “無意義”，非真非假。為了解決語義悖論。三值邏輯真值表見教材P26。多值邏輯只是用窮舉中介的方法表示真值的過渡性，把中介看作彼此獨立、界限分明的對象，沒有反映出中介之間的相互滲透，因而不能完全解決不確定性知識的表示問題。第24頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3 概率論2.3.1 隨機現(xiàn)象2.3.2 樣本空間與隨機事件樣本空間：一個可能的實驗結(jié)果為一個樣本點，樣本點的全體構(gòu)成的集合稱為樣本空間。隨機事件：要考察的由一些樣本點構(gòu)成的集合稱為隨機事件。事件發(fā)生了：出現(xiàn)了樣本點集合中的

15、一個元素。必然事件：樣本點全體構(gòu)成的集合(即樣本空間)所表示的事件。不可能事件：基本事件：單點集合事件的關(guān)系包含、并、交、差、逆第25頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3.3 事件的概率（1）古典概型定義2.9 設(shè)E為古典概型，樣本空間共有n個基本事件，事件A中含有m個基本事件，則稱P(A) = m/n為事件A的概率。例如：D1,2,3,4,5,6,7，A=取數(shù)字3的倍數(shù)，B=取偶數(shù)。解：基本事件有7個，n7。對于事件A，m=2，所以P(A) = m/n = 2/7對于事件B，m=3，所以P(B) = m/n = 3/7第26頁，共69頁，2022年，5月20日，1

16、0點57分，星期日2.3.3 事件的概率（2）2. 統(tǒng)計概率當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，一個事件(A)發(fā)生的次數(shù)m與試驗的總次數(shù)n之比：fn(A)=m/n在一個常數(shù)p(0p1)附近擺動，并穩(wěn)定于p。定義2.10 在同一組條件下所作的大量重復(fù)試驗中，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)總是在0,1上的一個確定常數(shù)p附近擺動，并且穩(wěn)定于p，則稱p為事件A的概率。即P(A)=p第27頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3.3 事件的概率（3）3. 概率的性質(zhì)0P(A)1P(D)=1,P()=0設(shè)事件A1,A2,Ak(kn)是兩兩互不相容的事件，即有AiAj=(ij)，則P(A)=1-P(A)

17、P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)如果，則P(A-B)=P(A)-P(B)第28頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3.4 條件概率（1）如果在事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率，就稱它為事件A的條件概率，記為P(A|B)。定義2.11 設(shè)A，B是兩個事件，P(B)0,則稱為在事件B已發(fā)生的條件下事件A的條件概率。條件概率中的條件縮小了樣本空間，即條件概率是在條件所確定的新空間中求AB的概率。第29頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3.4 條件概率（2）例2.6 對于例2.5，求解在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。解：

18、事件B是已經(jīng)發(fā)生的事件，即取到2；取到4；取到6中必有一個出現(xiàn)。由于事件A是“取3的倍數(shù)”，而在上述三個事件中只有一種可能使A發(fā)生。所以在B發(fā)生的條件下事件A的概率是1/3。第30頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3.5 全概率公式與Bayes公式（1）全概率公式定理2.2 設(shè)事件A1,A2,An，滿足：(1)兩兩互不相容，即當(dāng)ij時，有AiAj=；(2)P(Ai)0 (1in)(3)則對任何事件B有下式成立：第31頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.3.5 全概率公式與Bayes公式（2）2. Bayes公式定理2.3 條件同定理2.2。

19、則對任何事件B有下式成立：第32頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4 模糊理論1965年由L.A. Zadeh等人提出。2.4.1 模糊性隨機性：事物本身含義明確，但條件不明而不可預(yù)知。模糊性：事物本身是模糊的。例如：青年、老年；高低；2.4.2 集合與特征函數(shù)定義2.12 設(shè)A是論域U上的一個集合，對于任意uU，令則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)CA(u)在u=u0處的取值CA(u0)稱為u0對A的隸屬度。集合A與其特征函數(shù)可以認(rèn)為是等價的。A=u|CA(u)=1第33頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.3 模糊集與隸屬函數(shù)

20、（1）確定性概念可用普通集合表示。例如“奇數(shù)”在論域U=1,2,3,4,5上。那么如何表示模糊性概念？例如“大”，“小”。模糊集的思路：把特征函數(shù)的取值范圍從0,1推廣到0,1上。定義2.13 設(shè)U是論域，A是把任意uU映射為0,1上某個值的函數(shù)，即A :U0,1或者uA(u)則稱A為定義在U上的一個隸屬函數(shù)，由A(u)(uU)所構(gòu)成的集合A稱為U上的一個模糊集，A(u)稱為對A的隸屬度。第34頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.3 模糊集與隸屬函數(shù)（2）模糊集的例子。例2.7 論域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示“大”和“小”。解：設(shè)A、B分別表示“大”與“

21、小”的模糊集，A ，B分別為相應(yīng)的隸屬函數(shù)。A=0,0,0.1,0.6,1B=1,0.5,0.01,0,0其中：A(1)=0,A(2)=0 ,A(3)=0.1 ,A(4)=0.6 ,A(5)=1B(1)=1,B(2)=0.5 ,B(3)=0.01 ,B(4)=0,B(5)=0第35頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.3 模糊集與隸屬函數(shù)（3）例2.8 論域U=高山，劉水，秦聲，用模糊集A表示“學(xué)習(xí)好”這個概念。解：先給出三人的平均成績：高山：98分，劉水：90分，秦聲：86分上述成績除以100后，就分別得到了各自對“學(xué)習(xí)好”的隸屬度：A(高山)=0.98,A(劉水

22、)=0.90 ,A(秦聲)=0.86則模糊集A為：A=0.98, 0.90, 0.86第36頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.4 模糊集的表示方法（1）若論域離散且有限，則模糊集A可表示為：A=A(u1),A(u2),A(un)也可寫為：A=A(u1)/u1+A(u2)/u2+A(un)/un或者：A=A(u1)/u1,A(u2)/u2,A(un)/unA=(A(u1),u1),(A(u2),u2),(A(un),un)隸屬度為0的元素可以不寫。例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4第37頁，共69頁，2

23、022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.4 模糊集的表示方法（2）若論域是連續(xù)的，則模糊集可用實函數(shù)表示。例如：以年齡為論域U=0,100， “年輕”和“年老”這兩個概念可表示為：第38頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.4 模糊集的表示方法（3）無論論域U有限還是無限，離散還是連續(xù)，扎德用如下記號作為模糊集A的一般表示形式:U上的全體模糊集，記為：F(U)=A|A:U0,1第39頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.5 模糊集的運算（1）模糊集上的運算主要有：包含、交、并、補等等。1. 包含運算定義2.14 設(shè)A，BF(U)

24、，若對任意uU，都有B(u)A(u)成立，則稱A包含B，記為 。2. 交、并、補運算定義2.15 設(shè)A，BF(U)，以下為扎德算子第40頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.5 模糊集的運算（2）例2.9 設(shè)U=u1,u2,u3，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3則：AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3A=(1-

25、0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3第41頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.5 模糊集的運算（3）例2.10 A表示“年老”的模糊集，B表示“年輕”的模糊集。則：第42頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.5 模糊集的運算（4）其它的模糊集運算：有界和算子 和有界積算子概率和算子 與實數(shù)積算子愛因斯坦和算子 與愛因斯坦積算子第43頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.6 模糊集的水平截集（1）水平截集是把模糊集合轉(zhuǎn)化成普通集合的一個重要概念。定

26、義2.16 設(shè)AF(U),0,1，則稱普通集合A=u|uU,A(u)為A的一個水平截集， 稱為閾值或置信水平。水平截集有如下性質(zhì)：(1)設(shè)A，B F(U)，則：(AB)=AB(AB)=AB(2)若1, 20,1，且10分別為模糊集A的核及支集。當(dāng)KerA時，稱A為正規(guī)模糊集。第45頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.6 模糊集的水平截集（3）例2.11 設(shè)模糊集A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5若分別為1,0.6,0.5,0.3，則相應(yīng)的水平截集為：A1=u3A0.6=u2,u3,u4A0.5=u2,u3,u4,u5A0.3=u1

27、,u2,u3,u4,u5A的核及支集分別是：KerA=u3SuppA=u1,u2,u3,u4,u5第46頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.7 模糊度（1）模糊度時模糊集的模糊程度的一種度量。定義2.18 設(shè)AF(U)，d是定義在F(U)上的一個實函數(shù)，如果它滿足以下條件：(1)對任意AF(U)，有d(A)0,1;(2)當(dāng)且僅當(dāng)A是一個普通集合時，d(A)=0；(3)若A的隸屬函數(shù)A(u)0.5，則d(A)=1;(4)若A,BF(U),且對任意uU,滿足B(u)A(u)0.5或者B(u)A(u)0.5則有d(B)d(A)(5)對任意AF(U) ，有d(A)=d(A

28、)則稱d為定義在F(U)上的一個模糊度，d(A)稱為A的模糊度。第47頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.7 模糊度（2）2. 模糊度的直觀含義是0,1上一個數(shù)；普通集合的模糊度是0，表示所刻畫的概念不模糊；越靠近0.5就越模糊，當(dāng)A(u)0.5時最模糊；模糊集A與其補集A有相同的模糊度。第48頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.7 模糊度（3）3. 計算模糊度的方法海明(Haming)模糊度其中，A0.5(ui)是A的0.5截集的隸屬函數(shù)。由于A0.5是一個普通集合，所以A0.5(ui)實際上是特征函數(shù)。歐幾里德(Euclid)模糊

29、度第49頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.7 模糊度（4）明可夫斯基(Minkowski)模糊度香農(nóng)模糊度其中S(x)是定義在0,1上的香農(nóng)函數(shù)，即第50頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.7 模糊度（5）例2.12 設(shè)U=u1,u2,u3,u4A=0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4則第51頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.8 模糊數(shù)（1）模糊的數(shù)量，例如：500人左右，大約0.6定義2.19 如果實數(shù)域R上的模糊集A的隸屬函數(shù)A(u)在R上連續(xù)且具有如下性質(zhì)：(1)A是凸模糊集，

30、即對任意0,1, A是閉區(qū)間；(2)A是正規(guī)模糊集，即存在uR，使A(u)1。則稱A為一個模糊數(shù)。直觀上模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖形是單峰的，且在峰頂使隸屬度達到1。第52頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.8 模糊數(shù)（2）一個模糊數(shù)的例子。“6左右”第53頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.8 模糊數(shù)（3）2. 模糊數(shù)的運算定義2.20 設(shè)是實數(shù)域R上的一種二元運算，A和B為任意的模糊數(shù)，則模糊數(shù)間的運算定義為兩個模糊數(shù)之間的運算，實際上是對應(yīng)元素的隸屬度先取極小，再取極大。第54頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2

31、.4.8 模糊數(shù)（4）例2.13 設(shè)有3左右=0.5/2+1/3+0.6/42左右=0.4/1+1/2+0.7/3第55頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.8 模糊數(shù)（5）續(xù)上例模糊數(shù)乘或者除的結(jié)果可能不是一個模糊數(shù)。第56頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.9 模糊關(guān)系及其合成（1）模糊關(guān)系定義2.21 Ai是Ui(i=1,2,n)上的模糊集，則稱為A1,A2,An的笛卡兒乘積，它是U1U2Un上的一個模糊集。定義2.22 在U1U2Un上一個n元模糊關(guān)系R是指以U1U2Un為論域的一個模糊集，記為第57頁，共69頁，2022年，5

32、月20日，10點57分，星期日2.4.9 模糊關(guān)系及其合成（2）例2.15 U=張三，李四，王五V=籃球，排球，足球，乒乓球UV上的一個模糊關(guān)系R籃球排球足球乒乓球張三0.70.50.40.1李四00.600.5王五0.50.30.80第58頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.9 模糊關(guān)系及其合成（3）一般地說，當(dāng)U和V都是有限論域時，其模糊關(guān)系R可用一個模糊矩陣表示。U=u1,u2,umV=v1,v2,vn則UV上的模糊關(guān)系為第59頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.9 模糊關(guān)系及其合成（4）例2.16 設(shè)U=V=u1,u2,u3,R是“信任關(guān)系”，可有第60頁，共69頁，2022年，5月20日，10點57分，星期日2.4.9 模糊關(guān)系及其合成（5）2. 模糊關(guān)系的合成定義2.23 設(shè)R1與R2分別是UV與VW上的兩個模糊關(guān)系，則R1與R2的合成是指從U到W的一個模糊關(guān)