二項(xiàng)式定理計(jì)數(shù)原理

1、二項(xiàng)式定理計(jì)數(shù)原理第1頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日返回目錄 1.二項(xiàng)式定理的內(nèi)容 (a+b)n= . 右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的 ，其中的系數(shù) (r=0,1,n)叫做展開式的 ，式中的第r+1項(xiàng) an-rbr叫做二項(xiàng)展開式的 ，記作Tr+1= (其中0rn,rN,nN*).二項(xiàng)展開式 二項(xiàng)式系數(shù) 通項(xiàng) 第2頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 . （2）增減性與最大值由 知，當(dāng)k 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸的 ，由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸的 ，且在中間取最大值.當(dāng)n是

2、偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 相等，且同時(shí)取得最大值. （3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，即 =2n. （4）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即返回目錄 增大 減小 第3頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日（1） 的展開式中x5的系數(shù)為 .（2）若在(1+ax)5的展開式中x3的系數(shù)為-80,則a= .返回目錄 考點(diǎn)一 求二次展開式的特定項(xiàng) 【分析】由通項(xiàng)公式列方程可得.第4頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 【解析】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為 令8- =5,則r=2, T3=(-1)2 x5=28x5, x5的系

3、數(shù)為28. （2）在二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式Tr+1= (ax)r= arxr, 令r=3,得x3的系數(shù): a3=-80, a3=-8,a=-2.返回目錄 第5頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 【評(píng)析】 （1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式反映出展開式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)或指數(shù). （2）求指定項(xiàng)的系數(shù)主要通過二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式列方程求得，考查計(jì)算能力.返回目錄 第6頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日若(x+ )n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )A.10 B.20 C.30

4、 D.120B(由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,得2n=64,得n=6,則展開式中的第r+1項(xiàng)Tr+1= x6-r(x-1)r= x6-2r, 令6-2r=0,得r=3.則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T4= =20.故應(yīng)選B.)返回目錄 對(duì)應(yīng)演練 B第7頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日（1+2x）n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng). 【分析】根據(jù)條件可求出n；再根據(jù)n的奇偶性，確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；系數(shù)最大的項(xiàng)則由不等式組確定.返回目錄 考點(diǎn)二 增減性與最值問題 第8頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日【解析】T

5、6= (2x)5,T7= (2x)6,依題意有 25= 26 n=8.(1+2x)8的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5= (2x)4=1 120 x4,設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有 2r 2r-1 2r 2r+1 返回目錄 第9頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 2(8-r+1)r r6 r+12(8-r) r5 又rN，r=5或r=6,系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1 792x5，T7=1 792x6.返回目錄 5r6.第10頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 【評(píng)析】求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，要根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)

6、中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組、解不等式組的方法.返回目錄 第11頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日在(3x-2y)20的展開式中,求:(1) 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2) 系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng);(3) 系數(shù)最大的項(xiàng).返回目錄 對(duì)應(yīng)演練 第12頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng),T11= 310(-2)10 x10y10= 610 x10y10.(2)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng), 320-r2r 319-r2r+1 32

7、0-r2r 321-r2r-1, 3(r+1)2(20-r) 2(21-r)3r,解得 r .所以r=8.即T9= 31228x12y8是系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).返回目錄 于是化簡(jiǎn)得第13頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 (3)由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng),故可設(shè)第2r-1項(xiàng)系數(shù)最大,于是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 320-2r22r, 10r2+143r-1 0770 10r2+163r-9240. 解之得r=5,即25-1=9項(xiàng)系數(shù)最大. T9= 31228x12y8. 返回目錄 化簡(jiǎn)得 第14頁，共25頁，2022年，5月20

8、日，8點(diǎn)33分，星期日設(shè)（2- x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（a0+a2+a100）2-(a1+a3+a99)2.返回目錄 考點(diǎn)三 利用賦值法求二項(xiàng)式系數(shù)和的有關(guān)問題 【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).第15頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 【解析】（1）由(2- x)100展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 2100，即a0=2100,或令x=0，則展開式可化為a0=2100. （2）令x=1，可得 a0+a1+a2+a100=(2- )100， a1+a2+a100

9、=(2- )100-2100.返回目錄 第16頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+ )100， 與x=1所得到的聯(lián)立相減可得a1+a3+a99= .（4）原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2- )100(2+ )100=1.返回目錄 第17頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 【評(píng)析】（1）求關(guān)于展開式中系數(shù)和的問題，往往根據(jù)展開式的特點(diǎn)賦

10、給其中字母一些特殊的數(shù)，如1,-1,0,. （2）一般地，對(duì)于多項(xiàng)式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn. g(x)的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1), g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 g(1)+g(-1), g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 g(1)-g(-1).返回目錄 第18頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日設(shè)(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9,則|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（ ）A.29 B.49 C.39 D.59 B(由通項(xiàng)公式可知，(1-3x)9的展開式中含x的奇次冪的項(xiàng)的符號(hào)均為“-”，即a1,a3,a9均小于零. |a0|+

11、|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9中令x=-1，便可求出其值.即 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49. 故應(yīng)選B.)返回目錄 對(duì)應(yīng)演練 第19頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日求值：（1）2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n;（2）2 + +2 + + +2 .返回目錄 考點(diǎn)四 有關(guān)二項(xiàng)式的應(yīng)用 【分析】構(gòu)造二項(xiàng)式，通過賦值法求值.【評(píng)析】與組合數(shù)有關(guān)的求值問題，解答過程大體上用兩個(gè)知識(shí)點(diǎn):二項(xiàng)展開式的逆用（從右往左用）；賦值法.第20頁，共25頁，2

12、022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 【解析】（1）在二項(xiàng)展開式(a+b)n= an+ an-1 b+ bn中，令a=2,b=3,得 2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n=(2+3)n=5n. （2）原式 =( )+( ) =(1+1)2n+ (1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=322n-1.返回目錄 第21頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日證明：2(1+ )n1時(shí)， (1+ )n=1+ + + + =1+1+ + 2.當(dāng)n=1時(shí)等號(hào)成立.(1+ )n2成立.返回目錄 對(duì)應(yīng)演練 第22頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日(1+ ) n=1+ + + 1+1+ 2+ =2+ =2+1-( )n-1=3-( )n-13.2(1+ )n3成立.返回目錄 第23頁，共25頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，