數(shù)值分析代數(shù)插值

1、第5章 插值與逼近( Interpolation And Approximating ) 我們知道，許多實際問題都可用函數(shù) y=f(x) 來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系，但在很多應(yīng)用領(lǐng)域，往往只能通過實驗或觀測等手段得到 y=f(x) 在某 a,b 區(qū)間上的有限個互異點 xi 處對應(yīng)的函數(shù)值 yi=f(xi)，(i=1,2,n)，也即已知一個函數(shù)表。為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，必須將其公式化，因此，我們希望根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表作一個既能反映函數(shù) f(x) 的特性、又便于計算的簡單函數(shù) p(x) 來近似 f(x)，如果要求 p(xi)=f(xi) (i=1,2,n)，這就是最基本的插值問題。p(x) 稱為

2、插值函數(shù)，插值函數(shù)的選擇，取決于使用上的需要，可以是代數(shù)多項式，也可以是三角多項式或有理函數(shù)；可以是區(qū)間上任意光滑函數(shù)，也可以是分段光滑函數(shù)。1 例如：在現(xiàn)代機械工業(yè)中用計算機程序控制加工機械零件，根據(jù)設(shè)計可給出零件外形曲線的某些型值點(xi,yi) (i=1,2,n)，加工時為控制每步走刀方向及步數(shù)，就要算出零件外形曲線及其它點的函數(shù)值，才能加工出外表光滑的零件，這就是求插值函數(shù)的問題。2 插 值 問 題 實 例 1標準正態(tài)分布函數(shù) (x)求(1.014)(1.014)=0.8438 (0.84610.8438)0.4=0.8447查 函 數(shù) 表3 插 值 問 題 實 例 2機械加工xy機翼

3、下輪廓線4已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度(M)466 741 950 1422 1634水溫(oC) 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫.這就是本章要討論的“插值問題” 插 值 問 題 實 例 35拉格朗日插值牛頓插值Hermite插值一 維 插 值一、插值的定義二、插值的方法樣條插值6二 維 插 值一、二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法最鄰近插值分片線性插值雙線性插值75.1.1 一元函數(shù)插值定義 設(shè)有m 1個互異的實數(shù) x0, x1, , xm 和n 1個實值函數(shù) 0 x,1x, ,

4、nx,其中,n m. 若向量組 k= kx0,kx1, , kxmT , k = 0,1, , n.線性無關(guān),則稱函數(shù)組kx在點集xi上線性無關(guān); 否則叫kx線性相關(guān).5.1 代數(shù)插值8例子 函數(shù)組 2+x, 1x, xx2 在點集1,2,3,4上線性無關(guān). 因為 1=1x0,1x1, , 1xmT = 2+1, 2+2, 2+3, 2+4T2=2x0,2x1, , 2xmT = 11, 12, 13, 14T3=3x0,3x1, , 3xmT = 1+1, 2+4, 3+9, 4+16T 而 依定義知上函數(shù)組是線性無關(guān)的.9已知 n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設(shè)求任一插值點處的插值一 維 插

5、 值10求 解 插 值 問 題 的 基 本 思 路 構(gòu)造一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點, 即再用計算插值，即11插值問題的一般性描述當(dāng)精確函數(shù) y f (x) 非常復(fù)雜或未知時，在區(qū)間a,b上一系列節(jié)點 x0,x1, , xn 處測得函數(shù)值 y0 f (x0), y1 f (x1), , yn f (xn)，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù) g(x) f (x)，滿足條件 g(xi) f (xi) ( i 0, , n) (*)這個問題稱為“插值問題”. 12這里的 g(x) 稱為 f (x) 的插值函數(shù)，節(jié)點 x0,x1, , xm 稱為插值節(jié)點, 條件 g(xi) f (xi) 稱為插值

6、條件，區(qū)間 a,b 稱為插值區(qū)間。13x0 x1x2x3x4 xf (x)g(x)插值函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系圖示14最常用的插值函數(shù)是 ?代數(shù)多項式.用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值,稱為代數(shù)插值本章主要討論的內(nèi)容插值函數(shù)的類型 有很多種插值問題插值法插值函數(shù)15一、插值問題解的存在、唯一性？二、插值多項式的常用構(gòu)造方法？三、插值函數(shù)的誤差如何估計？代數(shù)插值？16 代數(shù)插值 給定區(qū)間 a, b 上互異的 n 1 個點 x0,x1, , xn 處的一組函數(shù)值 f (xi)，i = 0,1, , n，在次數(shù)不高于 n 的多項式集合Pn = Span0 x,1x, , nx中尋找多項式使其滿足條件此問題叫做

7、一元函數(shù)的代數(shù)插值問題.170 x,1x, , nx 叫插值基函數(shù)； 滿足插值條件 (5.2) 的多項式 pn(x) 叫做 n 次插值多項式. 代數(shù)插值解的存在、惟一性令 pn(x) a0 a1x anxn, (2)只要證明 pn(x) 的系數(shù) a0 ,a1, an 存在唯一即可.為此, 由插值條件 (5.2)知, Pn(x) 的系數(shù)滿足下列 n 1 個方程構(gòu)成的線性方程組,18而此方程式組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式。19由于 xi 互異, 所以此行列式不為零, 從而方程組 (3) 的解 a0, a1 , an 存在 且 唯一。注：唯一性說明，不論用什么方法來構(gòu)造，也不論用什么形式來表示插值多

8、項式，只要滿足同樣的插值條件，其結(jié)果都是互相恒等的。20 通過解上述方程組 (3), 求得插值多項式 pn(x) 的方法并不可取. 這是因為, 當(dāng) n 較大時, 解方程組的計算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大. (可能是病態(tài)方程組, 當(dāng)階數(shù) n 越高時, 病態(tài)越重. )為此我們必須從其它途徑來求 pn(x) : 不通過求解方程組而獲得插值多項式.21代數(shù)插值基本思想：在 n 次多項式空間Pn 中找一組合適的基函數(shù) 0(x), 1(x) , n(x), 使pn(x) a00(x) a1 1(x) an n(x)不同的基函數(shù)的選取, 導(dǎo)致不同的插值方法.Lagrange插值Newton插

9、值22構(gòu)造基函數(shù) Lagrange 插值這里每個 lj(x) 都是 n 次多項式，且由插值條件 (5.2) 式容易驗證 lj(x) 滿足23容易證明函數(shù)組 l0(x), l1(x), , ln(x) 在插值區(qū)間a,b 上線性無關(guān)，所以這 n 1個函數(shù)可作為Pn的一組基函數(shù)，稱為 Lagrange 插值基函數(shù).回憶 lj(xi) l0(x), l1(x), , ln(x) 在 a,b 上線性無關(guān) 是因為24求滿足插值條件的插值函數(shù)依 Pn 的定義, 對 pn(x) Pn, 它都可被基函數(shù)表出pn(x) c0 l0(x) c1 l1(x) cn ln(x)其中 c0 , c1, cn 為組合系數(shù).

10、 用插值條件(5.2), 可得由于 L-基函數(shù)的性質(zhì)式 (XZ), 上方程組變成25因此得到插值多項式pn(x) f (x0)l0(x) f (x1)l1(x) f (xn)ln(x)稱 Ln(x) 為n 次 Lagrange 插值多項式 .記為 它是滿足插值條件的 n 次多項式. 26特別地:(1) 兩點一次(線性)插值多項式:(2) 三點二次(拋物)插值多項式:線性插值與拋物線插值27 插值余項 (Remainder)定理5.1 若在a , b內(nèi)存在, 則在a, b上的 n 1 個互異的點，對 f (x) 所作的n 次Lagrange 插值多項式 Ln (x) ，插值余項為Rolles T

11、heorem的推論: 若 充分光滑，且 存在使得28證明：由于 Rn(xi)0 ，i =0,1, n 任意固定 x xi (i = 0, , n), 構(gòu)造 輔助函數(shù)則(t) 有 n+2 個不同的根 x0, , xn , x.29誤差估計式:？30例：已知分別利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值計算 sin 50， 并估計誤差。 解：n = 1分別利用x0, x1 以及 x1, x2 計算利用31 sin 50 = 0.7660444利用 x0, x1 作為插值節(jié)點的實際誤差 0.01001利用 , 計算得：sin 50 0.76008, 利用 x1, x2 作為插值節(jié)點的實際誤差 0.0059632n = 233 sin 50 = 0.76604442次插值的實際誤差 0.00061.34拉格朗日插值多項式的振蕩現(xiàn)象例 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)