線性代數(shù)試題及答案1

1、一、選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1、設(shè)，為n階方陣，滿足等式，則必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)。2、和均為階矩陣，且，則必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 。3、設(shè)為矩陣，齊次方程組僅有零解的充要條件是（ ）(A) 的列向量線性無關(guān)； (B) 的列向量線性相關(guān)；（C） 的行向量線性無關(guān)； (D) 的行向量線性相關(guān).4、 階矩陣為奇異矩陣的充要條件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）5、若4階

2、矩陣的行列式，是A的伴隨矩陣，則= 。6、為階矩陣，且，則 。7、已知方程組無解，則 。8、二次型是正定的，則的取值范圍是 。三、計(jì)算題（本題共2小題，每題8分，滿分16分）9、計(jì)算行列式10、計(jì)算階行列式四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過程）11、若向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)。證明：(1) 能有線性表出；(2) 不能由線性表出。12、設(shè)是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且。證明（1） ；（2） 。 五、解答題（本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟）13、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣使得為對(duì)角矩陣。15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3

3、，已知，是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空題5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：第二列減第一列，第四列減第三列得： （4分）按第一行展開得按第三列展開得。 （4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通過行列式的變換化為上三角形行列式 （4分） （4分）四、證明題11、證明：(1)、 因?yàn)榫€性無關(guān)，所以線性無關(guān)。，又線性相關(guān)，故能由線性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不，則能由線性表出，不妨設(shè)。由（1）知，能由線性表出，不妨設(shè)。所以，這表

4、明線性相關(guān)，矛盾。 (4分)12、證明 （1） （4分）（2）由（1）得：，代入上式得 （4分）五、解答題13、解：（1）由得的特征值為，。 （4分）（2）的特征向量為，的特征向量為，的特征向量為。 （3分）（3）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則正交。 （2分）（4）將單位化得， （2分）（5）?。?） （1分）14、解：該非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組為因，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系。 （5分）另一方面，記向量，則直接計(jì)算得，就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為，。 （7分）15、解：將 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 聯(lián)立得非齊次線性方程組: = 3 * GB3 若此非齊次線性方程組有解, 則 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 有公共解, 且 = 3 * GB3 的解即為所求全部公共解. 對(duì) = 3 * GB3 的增廣矩陣作初等行變換得: . （4分）1當(dāng)時(shí)，有，方程組 = 3 * GB3 有解, 即 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 有公共解, 其全部公共解即為 = 3 * GB3 的通解，此時(shí)，則方程組 = 3 * GB3 為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為: ,所以 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 的全部公共解為，k為任意常數(shù). （4分）2 當(dāng)時(shí)，有，方程