自由電偶極子空間各點(diǎn)的電勢(shì)-聶中治

1、自由電偶極子空間各點(diǎn)的電勢(shì)摘要:給出一種用分離變量法求解均勻介質(zhì)球內(nèi)外放有點(diǎn)電荷或自由偶極子等類(lèi)問(wèn)題電勢(shì)的新方法。關(guān)鍵詞:電偶極子；分離變量法；拉普拉斯方程；唯一性定理；電勢(shì)。Abstract:Giveanakindofthenewmethodthatsolvestaticelectricityaproblemwithseparationvariabletheway.Keywords:separatevariabletheway;laplaceequation;uniqueaxioms;potentiality前言：分離變量法（文獻(xiàn)1）是求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的基本方法,由于應(yīng)用廣泛,題型變化多,

2、不容易掌握。尤其對(duì)于用分離變量法求均勻介質(zhì)球內(nèi)外放有點(diǎn)電荷或自由電偶極子這類(lèi)問(wèn)題的電勢(shì)時(shí),雖然大多教材中的給出了解析,但大多解法相同且不好理解。我在此演示一種求解這類(lèi)問(wèn)題的新思路,不僅概念清楚,容易接受,而且較為簡(jiǎn)便,且得出和題解中完全相同的結(jié)果。以下針對(duì)例題說(shuō)明：題目：半徑為R的均勻介質(zhì)球（電容率為）中心置一自由電偶極子（其電偶極矩為p）,球外充1滿(mǎn)了另一種介質(zhì)（電容率為）,求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。2此題比較典型,文獻(xiàn)3和文獻(xiàn)4中均有詳細(xì)求解,其基本思想是:空間各點(diǎn)的電勢(shì)是由電偶極子的電勢(shì)和球面上極化電荷所產(chǎn)生電勢(shì)的疊加，前者可分析得出上工，后者滿(mǎn)足拉普拉斯方程,4兀r31以球心為原點(diǎn)，p的方向?yàn)?/p>

3、極軸方向，建立球坐標(biāo)系，由對(duì)稱(chēng)性可得球內(nèi)外電勢(shì)表達(dá)式為：(1)(2)(3)rR(4)_r_+乞arnP(cos0),rWR14K8r3nn1n=0pr+藝-P(cos。),rR24KSr3rn+ln1n0根據(jù)邊值關(guān)系，確定系數(shù)，可得:(r,e)-心+(L2)P_rcosO,rWRi4k8r22k8(+2e)R31112丄/C、pcosO(s-s)pc3pcosO(r,O)+12cosO24兀sr22兀s(s+2s)r24兀(s+2s)r2111212問(wèn)題的關(guān)鍵是:對(duì)于球內(nèi)電偶極子產(chǎn)生電勢(shì)為這便是所求的電勢(shì)（詳細(xì)的求解過(guò)程可參考文獻(xiàn)1）上匚,比較容易接受，但是電偶極子在球外電勢(shì)4k8r31這個(gè)一

4、般不好理解，如何尋找一種使人更容易理解的貢獻(xiàn)為什么也是上工而不是上工呢，4k8r34兀sr312又簡(jiǎn)便正確的方法呢?我經(jīng)過(guò)反復(fù)琢磨，終于找到一種行之有效的方法，現(xiàn)在作以下介紹dn分離變量法解靜電場(chǎng)問(wèn)題的依據(jù)是唯一性定理.而唯一性定理告訴我們：給定區(qū)域V中的介質(zhì)（均勻分區(qū)），以及自由電荷分布p和。，及v邊界面s上的邊界條件（e/s或理/s），則v內(nèi)的電場(chǎng)E唯一的確定。根據(jù)題意分析可知，由于球外無(wú)自由電荷分布，即p=0，所以由唯一性定理可知球外電勢(shì)滿(mǎn)足拉普拉斯方程，即V2=0，且具有軸對(duì)稱(chēng)性,所以方程的通解為:2=藝（a2n=0考慮到rf時(shí)，20，所以an:rn+bn)P(cos0),nrn+1n

5、=0,rR(5)bnP（cOS0）,rn+1nn=0球內(nèi)電勢(shì)ei可看做電偶極子的電勢(shì)與界面束縛電荷op的電勢(shì)e的迭加.而e滿(mǎn)足拉普拉斯方程V2=0，也具有軸對(duì)稱(chēng)性，所以方程的通解為2=藝(crn+nn=0)P(COS0),rn+1n所以球內(nèi)電勢(shì)的通解形式為亠+藝（c4ksr31n=0考慮到r=0時(shí)，ei有限，所以dn=0rn+-d)P(cos0),rn+1nrWR(6)i(r，0)=4；r3+S(c1n=0rn+ndn)P(COS0)=PCOS0+Krn+1n4ksr31crnP(cos0)nnn=0在r=R的邊界條件為0=S21OrR把（5）和（6）兩式分別代入以上兩式，然后比較Pn（cos

6、9）的系數(shù)，可得出1c=0,nb=0（n#1）n3P4K8（8+28）112=2（8一8）pC1214兀8（8+28）R3112把上式代入(5)和(6)式可得所求電勢(shì)的解為rWR心+（8廠82）p_rcos0,4兀8r22兀8（8+28）R31112(r,0)=也+(8廠82)卩_cos0=OS0,&R24兀8r22兀8(8+28)r24兀(8+28)r2111212比較(3)和(7),(4)和(8)可看出兩種解法結(jié)果完全相同.利用科學(xué)計(jì)算與模擬平臺(tái)對(duì)(7)，(8)進(jìn)行作圖：(藍(lán)色是球內(nèi)，紅色指的是球外)源程序：voiddemoApp:RenderScene(intsceneIndex)tit

7、le.Show(83,0,55,false);/在(0,0,0)處顯示漢字內(nèi)容，不可移動(dòng)staticPoint3fp101101,p1101101,q3,s2;staticColor4fcolor=0.6,1.0,1.0,1,color1=0.2,0.8,0.9,0.8;Orientdirect=0.0f,90.0f;inti,j;floata,b,c;doubleu,n;s0.x=0;s0.y=0;s0.z=-40;s1.x=-80;s1.y=0;s1.z=-40;q0.x=0;q0.y=80;q0.z=-40;q1.x=80;q1.y=0;q1.z=-40;q2.x=0;q2.y=0;q2

8、.z=80;for(i=0;i101;i+)for(j=0;j101;j+)a=i*3.141592/100;b=j*3.141592/50;u=0.1+15*(pow(4*3.14*V*pow(P_radius,2),-1)*P_omega*cos(a)+P_radius*P_omega*cos(a)*(V-M)/(2*3.14*V*(V+2*M);pij.x=u*sin(a)*cos(b);pij.y=u*sin(a)*sin(b);pij.z=-40+u*cos(a);n=0.1+300*P_omega*cos(a)*pow(P_radius,-2)/(4*3.14*(V+2*M);p1

9、ij.x=n*sin(a)*cos(b);p1ij.y=n*sin(a)*sin(b);p1ij.z=-40+n*cos(a);glt:EnableLight();draw:Arrow3D(s0,q0,00,05,10,2,cWHITE,cRED,false,0,0,0)draw:Arrow3D(s1,q1,00,05,10,2,cWHITE,cRED,false,0,0,0)draw:Arrow3D(s0,q2,00,05,10,2,cWHITE,cRED,false,0,0,0)if(GetCheck(1)draw:SurfaceWithNormals(101,101,p0,color);

10、elsedraw:SurfaceWithNormals(101,101,p10,cRED);參考文獻(xiàn):數(shù)學(xué)物理方法與特殊函數(shù)華中科技大學(xué)李元杰編著2009高等數(shù)學(xué)(第五版)同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編電動(dòng)力學(xué)題解M.林璇英等北京:科學(xué)出版社,1999.電動(dòng)力學(xué)解題指導(dǎo)M.王雪君.北京:北京師范大學(xué)出版社，1998.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理的感想：回想起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理這一門(mén)課程的過(guò)程，感覺(jué)這是一次充滿(mǎn)挑戰(zhàn)和難忘的旅程。數(shù)學(xué)物理這門(mén)課程對(duì)于我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)，的確是有難度的，一開(kāi)始接觸那些函數(shù)，并不好理解，不過(guò)在自己的慢慢摸索中，也找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理的一些方法雖然僅僅有短短的五周的學(xué)習(xí)時(shí)間，但是我感覺(jué)學(xué)到的這一些東西對(duì)于我將來(lái)的物理的學(xué)習(xí)都是非常有用的，也是值得我在往后的日子繼續(xù)去深入學(xué)習(xí)。在這五周的學(xué)習(xí)里，感覺(jué)老師對(duì)課程的理解和講授，給我學(xué)習(xí)這門(mén)課程給予了很好的指導(dǎo)方向，讓我建立起信心。我十分認(rèn)同老師所講的教學(xué)應(yīng)該將“方法、思想、知識(shí)”相結(jié)合的這一個(gè)理念，和我以前上的課是完全不一樣的，慢慢學(xué)會(huì)很多解決問(wèn)題的思想與方法如“分離變量”“邊界決定內(nèi)部”“通過(guò)內(nèi)積思想確定系數(shù)”“如何根據(jù)常