三角函數的圖象與性質

1、三角函數的圖象與性質第1頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日O下面我們借助正弦線(幾何法)來畫出y=sinx在0，2上的圖象. 首先，我們來作坐標為(x0，sinx0)的點S，不妨設x00，如圖所示，在單位圓中設AP的長為x0(即AOP= x0)，則MP= sinx0，所以點S (x0，sinx0) 是以AP的長為橫坐標，正弦線MP 的數量為縱坐標的點. S (x0，sinx0)My-x1-12O1.4.1 正弦函數、余弦函數的圖像PA 為了更直觀地研究三角函數的性質，可以先作出它們的圖象.2第2頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 知道如何作出y=si

2、nx的圖象的一個點，就可以作出一系列的點，例如，在單位圓中，作出對應于 的角及相應的正弦線, 相應地,把x軸上從0到2這一段分成12等份，把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上表示數x的點重合，再用光滑的曲線把這些正弦線連結起來，既得到正弦函數y=sinx在0，2區(qū)間上的圖象，如圖所示.-11yxAO2鏈接3第3頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 最后我們只要將函數y=sinx， x 0，2的圖象向左、右平移(每次2個單位)，就可以得到正弦函數y=sinx， xR的圖象，如圖所示. 正弦函數的圖象叫做正弦曲線(sine curve).正弦曲線-yxO1-1246-2-

3、4-6 以上是借助正弦線描點來作出正弦曲線，也可以利用圖形計算器、計算機作出正弦曲線.yxO1-124-234第4頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 用描點法(代數法)作出正弦函數在0，2上的圖象，然后由周期性就可以得到整個圖象.x02y=sinx010-10(1) 列表(2) 描點(3) 連線-xy1-1O2(五點法) 由上圖可以看出，函數y=sinx，x0，2的圖象上起著關鍵作用的點有以下五個:(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)， (2 ，0)5第5頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 觀察正弦和余弦曲線(如下圖) 的形狀和位置,

4、說出它們的異同點，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線y=1與y=1之間. 但它們的位置不同，正弦曲線交y軸于原點，余弦曲線交y軸于點(0，1).由cox=sin(x+ )，可知y=cosx圖象向左平移 個單位得到，余弦函數的圖象叫做余弦曲線 .y=cosx圖象的最高點( 0，1)，與x軸的交點( ，0)， ( ，0), 圖象的最低點(，1).6第6頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 事實上，描出五點后，函數y=sinx，x0，2的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要求不高時，我們常常找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線將它們

5、連結起來，就得到函數的簡圖，今后，我們將經常使用這種“五點(畫圖)法” 例1 畫出下列函數的簡圖： (1) y=1+sinx； (2) y=cosx x0，2 )-xy1-1O2-xy1-1O27第7頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日x02x02 sin2x010 10 例2 用“五點法”畫出下列函數的簡圖：y=sin2x x0，2 ) 描點畫圖，然后由周期性得整個圖象(如圖所示)yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx兩圖象有何關系？8第8頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日練習1.畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象與正弦曲線的區(qū)別和

6、聯系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.y= sinx1 y=sinxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的圖象可由正弦曲線向下平移1個單位.9第9頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日y=sinxy= 2sinxxyO2-21-2-1-322. 畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象與正弦曲線的區(qū)別和聯系: (2) y=2sinx. y=2sinx的圖象可由正弦曲線上的每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變.10第10頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日2. 畫出下列函數的簡圖，并說明這些函數的圖象與余弦曲線的區(qū)別和聯系: (

7、1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).y=1+cosx的圖象可由余弦曲線向上平移1個單位.可由余弦曲線上每一點向左平移 個單位得到.y= 1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy= cos(x+ )xyO2-2111第11頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日周期性的有關概念：那么函數f(x)就叫做周期函數 (periodic function)，非零常數T叫做這個函數的周期(period). 一般地對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)= f(x)最小正周期：對一個周期函數f(x)的所有周期

8、中存在最小的正數，那么這個最小正數就叫做這個函數的最小正周期.正弦函數和余弦函數都是周期函數，2k (kz且k0) 都是它們的周期，它們最小的正周期都是2;正切函數也是周期函數，其最小的正周期是.1.4.2 正弦函數、余弦函數的性質12第12頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日說明: 當函數對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數值就重復出現時，這個函數就叫做周期函數.設f(x)是定義在實數集 D上的函數，若存在一個 常數T( T0)，具有下列性質: (1)對于任何的 xD，有(xT)D； (2)對于任何的 xD，有f(x+T)=f(x)成立，則f(x) 叫做周期函數.

9、若函數f(x)不是當x取定義域內的“每一個值”時，都有f(x+T)= f(x)成立，則T就不是f(x)周期. 今后本書所說的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數的最小的正周期.13第13頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日要重視 “ T0”且為常數這一條件， 若T=0，則f(x+T)=f(x)恒成立，函數值不變沒有研究價值；若T為變數，則失去了周期的意義.一般地，函數y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中A，為常數，且A0，0)的周期若函數y=f(x)的周期為T，則y=Af(x+)的周期為 ，(其中A，為常數, 且A0，0)若在函數的定義域內至少能找到一個x ，

10、使f(x+T)= f(x)不成立，我們就斷然函數f(x) 不是周期函數或T不是函數f(x)的周期.14第14頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定義域值 域周期性xR.y - 1, 1 .T = 2.我們得到正弦、余弦函數定義域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx15第15頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 正弦、余弦函數的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)= sinx y=sinx是奇函數cos(x)= cosx y=

11、cosx是偶函數定義域關于 原點對稱y=sinx16第16頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 正弦函數的單調性 ？yxO1-124-23y=sinx (xR)x0sinx10101增區(qū)間為 ， 其值從1增至1.減區(qū)間為 ， 其值從1增至 1.17第17頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 余弦函數的單調性 y=cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx10101 ？增區(qū)間為，0 ，其值從1增至1.減區(qū)間為0 ， ，其值從1增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)18第18頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日

12、 正弦、余弦函數的對稱軸、對稱中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx對稱軸對稱中心y=sinxy=cosx函數軸、中心19第19頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日x02cosx101012cosx20202(1) 先用“五點法”畫一個周期的圖象，列表: 例1 用“五點法”畫出下列函數的簡圖： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR 描點畫圖，然后由周期性得整個圖象(如圖所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx兩圖象有何關系？20第20頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 例2

13、求下列函數的最大值及取得最大值時自變量 x 的集合： (1) y=cos ； 解 函數的y=cos 的最大值為1， 因為使cosz取得最大值的z的集合為: z|z=2k，kz， 令z = ， 由于 =2k，得 x= 6k. 所以，使函數 y=cos 取得最大值時自變量x 的集 合為: z | z = 6k，kz. 練習 函數y=sinx 的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.B21第21頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 解 函數的y=2sin2x 的最大值為2(1)=3， 因為使sinz取得最小值的z的集合為: 令z =2x，由于2x= +2k，得 所以

14、，使函數y=2sin2x 取得最小值時自變量x 的集合為: 例2 求下列函數的最大值及取得最大值時自變量 x 的集合： (2) y=2sin2x. 練習 求下列函數的最小值及取得最小值時自變量 x 的集合： (1) y=2sinx； (2) y=2cos22第22頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日例3不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0 (1) sin( ) sin( ) ; (2) cos( ) cos( ) 又 y=sinx 在 上是增函數，又 y=cosx 在0，上是減函數解(1)23第23頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 (1) sin

15、2500 sin2600 ; (2) cos cos練習1不求值，分別比較下列各組中兩個三角函數值的大小: (1) sin2500 與 sin2600 ; (2) cos 與 cos練習2 利用函數的性質，比較下列各題中兩個三角函數值的大小: (1) sin103045與 sin sin164030 ; (2) sin5080與 sin1440 ; (3) cos7600與 cos(7700)； (4) cos 與 cos . (4) cos cossin103045sin sin164030(2) sin5080cos(7700)24第24頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星

16、期日解 (1) y=2sin(x ) = 2sinx，例4 求下列函數的單調區(qū)間： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+ ) 所以單調增區(qū)間為: 函數在 上單調遞增.函數在 上單調遞減，單調減區(qū)間為:25第25頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日例4 求下列函數的單調區(qū)間：(2) y=sin(2x+ ) 所以單調增區(qū)間為:單調減區(qū)間為:解 (2) 令z=2x + ，函數y=sinz的單調增區(qū)間為:函數y=sinz的單調減區(qū)間為:26第26頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日 所以單調增區(qū)間為:(3) y = sin(x + )；解 (3) 令z=x + ，函數y=sinz的單調增區(qū)間為:函數y=sinz的單調減區(qū)間為: 所以單調減區(qū)間為:27第27頁，共30頁，2022年，5月20日，0點27分，星期日1.了解正弦函數圖象(代數描點法、幾何描點法)、余弦函數圖象(代數描點法、幾何描點法、平移變換法)的畫法除了它們共同的代數描點法、幾何描點法之外余弦數圖象還可由平移變換法得出這節(jié)課講授的“五點法”是比較常用的方法，應重點掌握2.掌握正、余弦函數的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性，對稱軸、對稱中心，會求最小正周期.回顧總