三重積分及其計算

1、三重積分及其計算第1頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日1. 非均勻分布立體的質(zhì)量設(shè)有空間立體, 當?shù)馁|(zhì)量是均勻分布時, 則的質(zhì)量M= 的體密度 的體積.若的質(zhì)量不是均勻分布的, 則不能上述方式算質(zhì)量M . 設(shè)空間立體. 其質(zhì)量非均勻分布, 體密度 (x , y , z)連續(xù), 求的質(zhì)量 M.一、三重積分的概念及性質(zhì)第2頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日(i) 將分成 n 個小立體 1, 2, n ,記 Vi 表示的i 的體積, i = 1, 2, , n. 由于 (x , y , z)連續(xù), 從而當i很小時, 在 i 上 (x , y , z) 的變

2、化不大.可近似看作不變.第3頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日(ii) 取 ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作為 i 的體密度. 從而, i的質(zhì)量mi ( i , i , i) V i(iii) 因此, 的質(zhì)量(iv) 第4頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日2. 三重積分的定義第5頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第6頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日三重積分定義的幾點說明第7頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第8頁，共41頁，2022年，5月20日，

3、0點33分，星期日第9頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日3. 三重積分的性質(zhì)性質(zhì) 1性質(zhì) 2第10頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日性質(zhì) 3性質(zhì) 4性質(zhì) 5第11頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日性質(zhì) 6性質(zhì) 5第12頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日解例第13頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日二. 直角坐標系下三重積分的計算第14頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第15頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日或其它坐標面上第16頁，共41頁，20

4、22年，5月20日，0點33分，星期日注意第17頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日解例第18頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日例解第19頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日例解第20頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日三重積分也可化為一個二重積分和一個定積分 :(x, y)D(z), z1zz20 xzyz2zz2D(z)注意第21頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日計算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z): x2+y2zz0, 1例第22頁

5、，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日計算zxy0111其中 是由平面 x+y+z=1與三個坐標面所圍閉區(qū)域.例D(x): 0 y 1x, 解： x : 0 x 1， 0 z 1xy.第23頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日三. 三重積分的換元法 雅可比行列式的絕對值第24頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日注意! ?第25頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第26頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第27頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日例解第28頁，共41頁，2022年，

6、5月20日，0點33分，星期日例解第29頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第30頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日例解第31頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第32頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第33頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第34頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日用球面坐標計算其中畫 圖。確定 r， ， 的上下限。(1) 將 向 xoy 面投影，得(2) 任取一過 z 軸作半平面，得(3) 在半平面上，任取一過原點作射線，得例解第35頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日(3) 在半平面上，任取一過原點作射線，得即第36頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日第37頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日計算其中 由曲面和圍成。將 向 xoy 面投影，得 任取一過 z在半平面上，任取一過原點作射線，得軸作半平面，得解例第38頁，共41頁，2022年，5月20日，0點33分，星期日即在半平面上，任取一