高中數(shù)學(xué)必修二 6.4.1平面幾何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

1、6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D為AC中點,則cosBDC=() A.-725B.725C.0D.12答案B解析如圖建立平面直角坐標系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又BDC為DB,DC的夾角,cosBDC=DBDC|DB|DC|=-9+1655=725.2.兩個大小相等的共點力F1,F2,當(dāng)它們的夾角為90時,合力的大小為20 N,則當(dāng)它們的夾角為120時,合力的大小為()A.40 NB.102

2、NC.202 ND.10 N答案B解析對于兩個大小相等的共點力F1,F2,當(dāng)它們的夾角為90,合力的大小為20 N時,由三角形法則可知,這兩個力的大小都是102 N;當(dāng)它們的夾角為120時,由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形,因此合力的大小為102 N.3.河水的流速為2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度駛向?qū)Π?則小船在靜水中的速度大小為()A.10 m/sB.226 m/sC.46 m/sD.12 m/s答案B解析由題意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意圖如圖.|v|=102+22=104=226(m/s).4.(多選題)已知O是四邊形AB

3、CD內(nèi)一點,若OA+OB+OC+OD=0,則下列結(jié)論錯誤的是()A.四邊形ABCD為正方形,點O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的對角線交點C.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的外接圓的圓心D.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點答案ABC解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).設(shè)AB,CD的中點分別為E,F,由向量加法的平行四邊形法則,知OE+OF=0,O是EF的中點;同理,設(shè)AD,BC的中點分別為M,N,則O是MN的中點,所以O(shè)是EF,MN的交點.5.已知A(3,2),B(-1

4、,-1),若點Px,-12在線段AB的中垂線上,則x=.答案74解析設(shè)AB的中點為M,則M1,12,MP=(x-1,-1),由題意可知AB=(-4,-3),MPAB,則MPAB=0,所以-4(x-1)+(-1)(-3)=0,解得x=74.6.一個物體在大小為10 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50 m,且力F所做的功W=2502 J,則F與s的夾角等于.答案4解析設(shè)F與s的夾角為,由W=Fs,得2502=1050cos ,cos =22.又0,=4.7.如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,ACB=90,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:ADCE.證明AD

5、CE=(AC+CD)(CA+AE)=AC+12CBCA+23AB=AC+12CBCA+23CB-23CA=AC+12CB13CA+23CB=-13|CA|2+13|CB|2.因為CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,故ADCE.8.某人騎車以速度a向正東方向行駛,感到風(fēng)從正北方向吹來,而當(dāng)速度為2a時,感到風(fēng)從東北方向吹來,試求實際風(fēng)速的大小和方向.解設(shè)實際風(fēng)速為v,由題意可知,此人以速度a向正東方向行駛時,感到的風(fēng)速為v-a,當(dāng)速度為2a時感到的風(fēng)速為v-2a.如圖,設(shè)OA=-a,OB=-2a,PO=v.PO+OA=PA,PA=v-a,這就是速度為a時感到的由正北方向吹來的風(fēng)

6、速.PO+OB=PB,PB=v-2a,這就是速度為2a時感到的由東北方向吹來的風(fēng)速,由題意知PBO=45,PABO,BA=AO,POB為等腰直角三角形,APO=45,|PO|=|PB|=2|a|,即|v|=2|a|.實際風(fēng)速的大小是2|a|,為西北風(fēng).能力提升1.已知ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3OA+4OB+5OC=0,則OCAB的值為()A.-15B.15C.-65D.65答案A解析因為3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=-5OC,所以9OA2+24OAOB+16OB2=25OC2.因為A,B,C在圓上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.代入原式得OAOB=0,所以

7、OCAB=-15(3OA+4OB)(OB-OA)=-15(3OAOB+4OB2-3OA2-4OAOB)=-15.2.一條漁船距對岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達對岸時,船的實際行程為8 km,則河水的流速是 km/h.答案23解析如圖,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,則v=v1+v2為船的實際航行速度.由圖知,|OA|=4,|OB|=8,則AOB=60.又|v2|=2,|v1|=|v2|tan 60=23.即河水的流速是23 km/h.3.已知ABC是等腰直角三角形,B=90,D是BC邊的中點,BEAD,垂足為E,延長BE交AC于F,連接DF,求證:ADB=

8、FDC.證明如圖,以B為原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,設(shè)A(0,2),C(2,0),則D(1,0),AC=(2,-2).設(shè)AF=AC,則BF=BA+AF=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2).又DA=(-1,2),由題設(shè)BFDA,所以BFDA=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=23.所以BF=43,23.所以DF=BF-BD=13,23.又DC=(1,0),所以cos ADB=DADB|DA|DB|=55,cos FDC=DFDC|DF|DC|=55,又ADB,FDC(0,),所以ADB=FDC.4.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有動點P從P0(-1,2)開始,沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|e1+e2|;另一動點Q從Q0(-2,-1)開始,沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|3e1+2e2|.設(shè)P,Q在t=0 s時分別在P0,Q0處,當(dāng)PQP0Q0時所需的時間t為多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=2,其單位向量為22,22;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=13,其單位向量為313,213.依題意知,|P0P|=2t,|Q0Q|=13t,P0P=|P0P|22,22=(t,t),Q0Q=|Q0Q|31