夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用分析研究 應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

1、夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用摘要：極限的思想方法貫穿于整個數(shù)學(xué)分析中，一些基本概念如微分、積分的定義都與極限有密不可分的聯(lián)系。極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和重要工具。不同形式的極限求解的方式各不相同，解題思路不同所得到的效果也是不一樣的。本文主要舉例討論并分析夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用，特別是其在求極限中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：極限；夾逼準(zhǔn)則；函數(shù)；數(shù)列Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic concepts such as differential, integral and limit

2、 are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different thoughts of solving the effect is not the same.This paper mainly discussed by examples and analysis of squeeze rule

3、applications, especially in the limit of application.Key words：Limit;Squeeze rule;Function;Series極限是從初等數(shù)學(xué)跨向高等數(shù)學(xué)的一座重要橋梁。在青少年階段或者更早吸收了解極限先進(jìn)思想和概念，無疑對他們的人生發(fā)展有著不可估量的影響。極限理論是數(shù)學(xué)分析的入門和基礎(chǔ)，是人們把握無限的金鑰匙。不論是函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分還是無窮級數(shù)這些數(shù)學(xué)分析的核心內(nèi)容，無一例外地都是通過極限來定義和推演的。鑒于其在高等數(shù)學(xué)中的特殊重要地位，極限亦成為數(shù)學(xué)考研的必考內(nèi)容之一。極限概念最初產(chǎn)生于求曲邊形的面積與求曲線在某

4、一點處的切線斜率這兩個基本問題。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是用極限思想研究幾何問題。劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼倪@段話是對極限思想的生動描述。在我們高中階段初步認(rèn)識了極限，同時也接觸了一些簡單的求極限的方法。與以前不同的是：高等數(shù)學(xué)中，我們是從變化的過程認(rèn)識極限的；我們是從逼近認(rèn)識極限的；我們又是從不等式認(rèn)識極限的。另一要注意的是在趨向極限的過程中，既有同向趨近，也有雙向趨近的。而且面臨的極限不再是單一、簡單的運算，可能會涉及更多的知識，運用更多的理論支撐。極限概念是微積分最基本的概念，微積分的其他

5、基本概念都用極限概念來表達(dá)。極限方法是微積分的最基本的方法，微分法與積分法都借助于極限方法來描述，所以掌握極限概念與極限運算便是非常重要的了。求極限或證明極限的方法眾多，靈活性強，題型也千變?nèi)f化。在求極限時一些常用的方法，像利用兩個重要極限，利用兩個重要準(zhǔn)則，利用等價無窮小替換，利用洛必達(dá)法則等。不同形式的極限求解的方式各不相同，解題思路不同所得到的效果也是不一樣的。中心問題無外乎兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值。人們在初學(xué)數(shù)學(xué)分析階段卻往往不易掌握各種解題方法的思想實質(zhì)，而難以融會貫通地處理形形色色不同的問題。函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容，而極限又是研究函數(shù)的方法。因此，極限是高等數(shù)學(xué)

6、的基礎(chǔ)知識和主要內(nèi)容。如何求數(shù)列極限、函數(shù)極限是教師和學(xué)生都共同關(guān)心的問題。本文通過舉例，本文主要舉例討論并分析夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用，特別是其在求極限中的應(yīng)用。定理1 如果存在0，使得當(dāng)00 時，,并且=, =,則=。證明 如果對任何n，n0，n0，并且可不妨假設(shè)n （0，）0，有(n)(n)(n)，以及(n), h()(),由數(shù)列極限得：(n)()，這就證明了：(n)(0)。此準(zhǔn)則多適用于：所求極限的函數(shù)比較容易適當(dāng)放大和縮小，且經(jīng)過放大和縮小后的函數(shù)（或數(shù)列）易求得相同極限的情形。利用此準(zhǔn)則可把所求極限轉(zhuǎn)化為求放大和縮小后的函數(shù)（或數(shù)列）的極限。夾逼準(zhǔn)則所適用的不等式可在充分大以后成立。利用夾逼

7、準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵在于，找到兩個具有相同極限值的函數(shù)和，使得，這樣所求函數(shù)的極限就等于和的極限。下面將通過一些典型的例題探討夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用，特別是它在求極限中的應(yīng)用。 夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用1.1 含有乘方和（階乘）形式的函數(shù)這類函數(shù)的極限可用夾逼準(zhǔn)則求解或證明。這類函數(shù)的自變量（或）包含在冪指數(shù)、根指數(shù)或?qū)?shù)中，且有兩處出現(xiàn)該自變量。為了利用夾逼準(zhǔn)則，先用伯努利不等式:1+（其中-1，為任意自然數(shù)），或者 =1+ + ,若將它適當(dāng)?shù)胤糯蠡蛘呖s小，這樣就把（或）從冪指數(shù)、根指數(shù)或?qū)?shù)中“去掉”了，然后就可以利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)的極限了。例1.1 證明=0；分析 記=，其自變量包含在冪指數(shù)中，其中

8、分子分母均出現(xiàn)了自變量。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即0。這樣就找到左右兩邊均可直接求出極限，并且它們的極限值相同，均等于0。滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。證明 因為0，且=0；因此由夾逼準(zhǔn)則得：=0。例1.2 計算（1）；分析 設(shè)= =1+ （01），記=，其自變量包含在冪指數(shù)中，其中分子分母均出現(xiàn)了自變量。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即0。這樣放縮后左右兩端的極限均可以直接求出，并且它們的極限值相等，均等于0。滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。證明 設(shè)= =1+ （01）從而有：0；因為=0，所以由夾逼準(zhǔn)則知：=0。例1.3 計算分析 記=，其自變量包含在冪指數(shù)、根指數(shù)中，其中自變量出現(xiàn)了兩次

9、。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即：0=，于是：。這樣放縮后左右兩端的極限均可以直接求出，并且它們的極限值相等，均等于0。滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。解 由于0=，即是，而且=0，所以由夾逼準(zhǔn)則得：=0。 已知或者容易求出雙向不等式的數(shù)列（或者函數(shù)），可以用夾逼準(zhǔn)則求它的極限。例1.4 求極限 (+)。分析 記=，易知關(guān)于單調(diào)遞增，即得當(dāng)+時，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無法利用迫斂性，原因在于放縮太過粗糙，應(yīng)尋求更精致的放縮。解 對各項的分母進(jìn)行放縮，而同時分子保持不變。就得如下不等關(guān)系：= 令+時，上式左、右兩端各趨于，由夾逼準(zhǔn)則可得： (+)=例1.5 證明（+）=1。分析 記=，易

10、知關(guān)于單調(diào)遞減，即得當(dāng)+時，上式左、右兩端均趨于1，滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。證明 由于+，而且=1；=1；故由夾逼準(zhǔn)則知：（+）=1。例1.6 求極限（+ +）分析 記=，易知關(guān)于單調(diào)遞減，即得當(dāng)+時，上式左、右兩端均趨于0，滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。解 由于+ +而且=，又=0。于是由夾逼準(zhǔn)則知：（+ +）=0。例1.7 設(shè)=，求。分析 因為=3，記=+1。由于對于任意的自然數(shù)有：01，所以13。兩邊同時乘以得：+1再兩邊分別求方根得：33當(dāng)+時，上式左、右兩端均趨于3，此時可以運用夾逼準(zhǔn)則求解。解 因為=3，對任意的有：13所以：33；又因為3=3，所以由夾逼準(zhǔn)則知：=3。1.3 對于含有較

11、多乘除因子的數(shù)列，我們可以通過夾逼準(zhǔn)則去分析。例1.7 設(shè)= , =, =,求。分析 記=,顯然單調(diào)遞減且恒正。故的存在性毋庸置疑，但單調(diào)有界原理對于我們求收斂數(shù)列的極限沒有幫助。現(xiàn)在采用放縮法證明。證明一 因為：=，所以：2=即得：，并且（）=0；=0；所以由夾逼準(zhǔn)則得：=0證明二 除了上述證法，我們?nèi)裟苈?lián)想到公式=再由=0（因為0，由于1，使得當(dāng)時，當(dāng)時，=+()+）便可取得要證結(jié)論。證明三 我們也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)=1時，=，不等式成立。設(shè)=時，不等式成立，即是，則對=+1時，有：=因為（2+1）(2+3)= =所以：=，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任意的自然數(shù)，有。又由于0，并且=0，所以由

12、夾逼準(zhǔn)則知：=0。1.4 極限號下函數(shù)含有取整函數(shù)，其極限可用夾逼準(zhǔn)則求之。極限號下函數(shù)含有取整函數(shù)=時，常用該函數(shù)滿足的不等式：+1或1,然后根據(jù)夾逼準(zhǔn)則求其極限。例1.8 計算極限。分析 根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得：1，再通過的取值范圍，分段討論。即：當(dāng)0, ,即是11；當(dāng)0，即是11；由于當(dāng)+時，（1）=1，此時可以用夾逼準(zhǔn)則求解。解 因為1，得到：（1）當(dāng)0, ,即是11；（2）當(dāng)0，即是11；因為當(dāng)+時，有（1）=1，=1，=1所以由夾逼準(zhǔn)則得到：故=1。例1.9 計算(0，0);分析 根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得：1（x0）,又由于0，各項乘以，得：；又（）=，滿足夾逼準(zhǔn)則，此時可運用此準(zhǔn)則

13、。解 因為1（x0）,當(dāng)0時，各項乘以，得：；又（）=，于是由夾逼準(zhǔn)則得到： =。以上通過一些典型的例題探討了夾逼準(zhǔn)則在極限計算中夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用。但是夾逼準(zhǔn)則的運用遠(yuǎn)不止于此，它的運用范圍非常廣。2 夾逼準(zhǔn)則的其他應(yīng)用領(lǐng)域2.1 用夾逼法求方程的近似解在解決實際問題時常常需要求一個方程的實根，但除了一些簡單的方程，大都很難求它的準(zhǔn)確解。因此求方程的近似解在數(shù)學(xué)的應(yīng)用上具有重大意義。下面介紹一種新的求方程近似解的方法，成為夾逼法。此法比已有的方法如二分法、切線法、弦位法具有逼近更快、更準(zhǔn)的特點，并且能夠進(jìn)行誤差估計。對函數(shù)給出兩個基本假設(shè)：(1)在閉區(qū)間上和都存在，且不變號；(2)在閉區(qū)間的兩端

14、點處的函數(shù)值與異號，即是：0。令=b，=a，用遞推公式：= , = ，從而得到兩個數(shù)列 和 都以方程=0的根為極限，取數(shù)列 ，則有：=。如果取為方程解的近似值，其誤差小于。例2.1 求方程 =0在區(qū)間3,4上的近似解，并對其進(jìn)行誤差估計。解 設(shè)函數(shù)= 在區(qū)間3,4上有：=0,=0,且=-100，=90。令=4，=3，則：=43.679，=33.357，=3.6793.633, =3.3573.592。若取=3.633為方程的解，與實際誤差小于=0.0205，若不滿足精確度的要求還可以繼續(xù)逼近。 夾逼準(zhǔn)則與微分方程的上下解方法夾逼準(zhǔn)則的思想稍加變化就可以推廣到其他的數(shù)學(xué)分支，例如微分方程。我們引

15、進(jìn)微分方程上下解的概念，用上下解來夾逼，如果下解序列與上解序列都有相同的極限，則類似地可以夾逼出微分方程的解來，這里不再做詳細(xì)說明。綜上所述，計算極限的方法很多，需要學(xué)習(xí)者多做練習(xí)，多做總結(jié)，才能有針對性的得出計算極限的方法、技巧。當(dāng)然計算極限并不是單一方法的應(yīng)用，更多的是多種方法結(jié)合使用。而夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用也不只是應(yīng)用于簡單的求極限，還應(yīng)用于很廣泛的實際問題中，所以還需要我們進(jìn)一步的探索、研究、實踐。參考文獻(xiàn)：1 陳傳樟，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽光中.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1978.5. 2 姜長友，張武軍等.高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教程M.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2006.3 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)M.北京：高等教育出版社，1988.4.4 朱弘毅. 高等數(shù)學(xué)M.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2001.6. 5 廖玉麟等. 高等數(shù)學(xué)試題精選題解M.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2001.10.6 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)（第三版）M.北京：高等教育出版社，198