辛普森求積公式分解

1、辛普森求積公式分解辛普森求積公式分解41/41辛普森求積公式分解綱領(lǐng)在工程實(shí)驗(yàn)及研究中，實(shí)質(zhì)工作中，變量間未必都有線性關(guān)系，如服藥后血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系；疾病療效與療程長(zhǎng)短的關(guān)系；毒物劑量與致死率的關(guān)系等常呈曲線關(guān)系。曲線擬合是指選擇合適的曲線種類(lèi)來(lái)擬合觀察數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系.能夠說(shuō)，曲線擬合模型與我們的生活生產(chǎn)親近有關(guān).本課題側(cè)重介紹曲線擬合模型及其應(yīng)用，此中包含它的基本思想、模型的成立、以及詳細(xì)應(yīng)用.為了更好的認(rèn)識(shí)曲線擬合模型，能夠?qū)⑺譃榫€性與非線性模型，在模型成立的基礎(chǔ)上我們能夠用最小二乘法來(lái)解決一些我們平常所應(yīng)用的問(wèn)題.要點(diǎn)詞曲線擬合；線性與非線性模型；最小二

2、乘發(fā)目錄前言1第一章曲線擬合21.1基本思想及基本看法2方法思想2幾個(gè)基本看法21.2辛普森算法基本定義及其應(yīng)用4辛普森求積公式的定義4辛普森求積公式的幾何意義5辛普森求積公式的代數(shù)精度及其余項(xiàng)5辛普森公式的應(yīng)用6第二章辛普森求積公式的拓展及其應(yīng)用72.1復(fù)化辛普森求積公式7問(wèn)題的提出7復(fù)化辛普森公式及其分析7復(fù)化辛普森公式計(jì)算流程圖8復(fù)化辛普森公式的應(yīng)用92.2變步長(zhǎng)辛普森求積公式10變步長(zhǎng)辛普森求積公式的導(dǎo)出過(guò)程10變步長(zhǎng)辛普森求積公式的加快過(guò)程12變步長(zhǎng)辛普森求積公式的算法流程圖13變步長(zhǎng)辛普森公式算法程序代碼14變步長(zhǎng)辛普森求積公式的應(yīng)用14小結(jié)14數(shù)值求積公式在實(shí)質(zhì)工程中的應(yīng)用14參

3、照文件16附錄A17附錄B18附錄C21前言辛普森是英國(guó)數(shù)學(xué)家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定積分近似計(jì)算中，以他的姓來(lái)命名的“辛普森公式”，雖早在他以前牛頓的學(xué)生柯特斯（Cotes）和斯特林就已經(jīng)得出了（包含一些更高階的近似公式），但真實(shí)寬泛地為人所知并加以應(yīng)用，則是1743年辛普森從頭發(fā)現(xiàn)以后的事了.辛普森的工作使牛頓的微積分學(xué)說(shuō)獲取了進(jìn)一步完美.在我們的平常生活被騙算積分與我們的生活生產(chǎn)親近有關(guān).所以掌握數(shù)值積分方法是學(xué)生貯備知識(shí)能量的武器.數(shù)值積分的一個(gè)基本的計(jì)算策略，用易于積分的簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)迫近曲線yf(x).簡(jiǎn)單曲線下邊的面積近似等于f(x)

4、下邊的面積.假如波及初等函數(shù)的積分找不到其余由初等函數(shù)構(gòu)成的分析表達(dá)式，或許只在一些失散的x點(diǎn)上知道函數(shù)的值，在多半狀況下，被積函數(shù)的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，所以能夠借助微積分學(xué)的牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的機(jī)遇是不多的.那么就一定對(duì)定積分進(jìn)行數(shù)值迫近.數(shù)值積分實(shí)現(xiàn)是將整個(gè)閉區(qū)間a,b區(qū)分為N個(gè)小段，在每個(gè)小段上對(duì)f(x)進(jìn)行低階分段多項(xiàng)式迫近.對(duì)每個(gè)小段上的迫近多項(xiàng)式積分時(shí)，就獲取基本公式.基本公式只波及足夠多的(x,f(x)對(duì)來(lái)定義分段多項(xiàng)式的某一段，將此公式應(yīng)用到N個(gè)小段并把結(jié)果相加獲取復(fù)合公式，或稱(chēng)為擴(kuò)展公式.在一個(gè)小段中節(jié)點(diǎn)的地點(diǎn)和數(shù)量決定了基本公式的很多重要特征.當(dāng)節(jié)點(diǎn)均勻

5、分布時(shí)，全部的積分公式稱(chēng)為牛頓柯特斯公式.比方，梯形、辛普森、柯特斯求積公式等.經(jīng)典辛普森求積公式根源于Lagrange插值多項(xiàng)式的應(yīng)用，它的代數(shù)精度高達(dá)3階，其形變后的代數(shù)精度高達(dá)4階，且兩者都擁有優(yōu)秀的穩(wěn)固性與收斂性，從而提升了計(jì)算效率及正確度，是定積分近似計(jì)算常使用的方法，向來(lái)是理工科大學(xué)生必修的內(nèi)容.下邊將給出詳細(xì)辛普森求積公式的詳細(xì)思想以及其算法程序設(shè)計(jì)并給出將其拓展后在實(shí)質(zhì)工程問(wèn)題中的應(yīng)用.1第一章辛普森求積公式的理論實(shí)質(zhì)問(wèn)題中間常常需要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系.依照人們所熟知的微積分基本定理，對(duì)積分Ibf(x)的原函數(shù)F(X),便有

6、以下牛頓-萊布尼茨公f(x)dx只需找到被積函數(shù)a式：bbf(x)的f(x)dxF(b)F(a)，但實(shí)質(zhì)計(jì)算f(x)dx常常碰到一些困難，如:1)aa原函數(shù)不可以用初等函數(shù)表示，故不可以用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算.2)固然找到了f(x)的原函數(shù),但因表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜而不便應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式.3)f(x)在很多實(shí)質(zhì)問(wèn)題中是以列表函數(shù)的形式給出,即不過(guò)知道其在一些節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，牛頓-萊布尼茨公式也不可以直接運(yùn)用，所以有必需研究積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，數(shù)值積分是解決上述困難的一種有效方法.1.1基本思想及基本看法方法思想由定積分中值定理：Iba),abf(x)dxf()(ba可知:積分能夠經(jīng)過(guò)被積函數(shù)

7、在處的值獲取.因?yàn)榉e分中值定理不過(guò)告訴我們?cè)诒囟l件下是存在的,但并無(wú)給出確立的方法.一個(gè)很自然的想法就是利用被積函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)ax0 x1x2xnb處函數(shù)值的加權(quán)均勻來(lái)代替(近似)f(),按此思想有bnAif(xi)（1-1）f(x)dxai0這就是數(shù)值求積的思想（有效地解決了本章開(kāi)始提出的問(wèn)題），權(quán)因子Ai和節(jié)點(diǎn)xi0,1,2,n的不一樣確立方法就對(duì)應(yīng)不一樣的數(shù)值求積公式.幾個(gè)基本看法定義1.1稱(chēng)形如(1-1)式的求積公式為機(jī)械求積公式,此中Ai僅節(jié)點(diǎn)的選擇與f(x)沒(méi)關(guān)，ax0 x1x2xnb稱(chēng)為求積節(jié)點(diǎn)，Ai（i0,1,2,n）稱(chēng)為求積2系數(shù).定義1.2假如某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超

8、出m的多項(xiàng)式均能正確地成立,而對(duì)于1次多項(xiàng)式就不正確成立,則稱(chēng)該求積公式擁有m次代數(shù)精度（或代數(shù)精準(zhǔn)度）.注1.1a)m越大近似程度越高，標(biāo)記著使函數(shù)正確成立的“個(gè)數(shù)”越多，但代數(shù)精度不是獨(dú)一衡量標(biāo)準(zhǔn).b)若機(jī)械求積公式的代數(shù)精度nAiba.m0，則有i0c)若機(jī)械求積公式的代數(shù)精度為m，即當(dāng)f(x)1,x,xm時(shí)，由（1.1）式可得，對(duì)隨意次數(shù)不超出m的k次多項(xiàng)式Pk(x),km有bnAiPk(xi).Pk(x)dxai0代精度的高低,從側(cè)面反應(yīng)求積公式的精度高低.定義1.3稱(chēng)求積公式nInAkf(xk)k0為插值型求積公式，式中求積系數(shù)Ak經(jīng)過(guò)插值基函數(shù)(xx0)(xxk1)(xxk1)(

9、xxn)0,1,n.lk(x)x0)(xkxk1)(xkxk1)(xkk(xkxn)積分求得，即Akbk0,1,n.（1-2）lk(x)dx,a定理1.1插值型求積公式的代數(shù)精度最少為n次.定義1.4若節(jié)點(diǎn)將被積區(qū)間均分紅n均分,即xiabai,i0,1,2,n.則相n應(yīng)的插值求積公式稱(chēng)為Newton-Cotes(牛頓-柯特斯)求積公式.即等距節(jié)點(diǎn)情況下的插值求積公式稱(chēng)為牛頓-柯特斯公式,相應(yīng)的求積系數(shù)稱(chēng)為Cotes系數(shù).常有的幾個(gè)簡(jiǎn)單求積公式(Newton-Cotes公式)，如表1-1所示：表1-1幾種簡(jiǎn)單N-C求積公式總結(jié)表名稱(chēng)n1梯形求積公式n2辛普森求積公式形式bbaf(a)f(b)f

10、(x)dxTa2f(x)dxSbaf(a)4f(ab)f(b)ba623bba7f(a)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(b)n4柯特斯求f(x)dxC積公式a90此中xka,ba,k1,n1.khhn注1.2a）n8時(shí)，N-C公式出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)固.）n為偶數(shù)時(shí)，N-C公式的代數(shù)精度最少為n1次，n為奇數(shù)時(shí)，N-C公式的代數(shù)精度最少為n次.定義1.5截?cái)嗥?由bnbf(n1)()IfInfRnfAif(xi)f(x)dxa(nn1(x)dx（1-3）ai01)!當(dāng)n1時(shí)可得梯形求積公式的截?cái)嗥頡Tf()RTITa(xa)(xb)dx2!f()ba)(xb)dx2(xaf()(b

11、a)3,a,b,f(x)C2a,b12近似的，可合適n2，n4時(shí)的截?cái)嗥钭?.3從截?cái)嗥罟娇芍?dāng)區(qū)間長(zhǎng)度ba較大時(shí)，求積公式偏差較大.1.2辛普森算法基本定義及其應(yīng)用1.2.1辛普森求積公式的定義設(shè)計(jì)積分區(qū)間a,b區(qū)分為n等份，步長(zhǎng)ba，采納等距節(jié)點(diǎn)xkakh結(jié)構(gòu)出n的插值型求積公式In(ba)ck(n)f(xk)為牛頓柯特斯（Newton-Cotes）公式，式中ck(n)稱(chēng)為柯特斯系數(shù).依據(jù)插值型求積公式系數(shù)（1-2），引進(jìn)變換xath，則有ck(n)hba當(dāng)n2時(shí)，由上式有nn0j0jktjdt(1)nknn(tj)dtkjnk!(nk)!0j0jk(2)121c0(t1)(t2)

12、dt4064(2)124c12t(t1)dt06(2)12t(t1c241)dt06則相應(yīng)的求積公式是辛普森求積公式：f(ab)f(b)（1-4）sf(x)dxbaf(a)ba621.2.2辛普森求積公式的幾何意義辛普森公式的幾何意義就是用經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線yL(x)取代yf(x)所得曲邊梯形面積，如圖1.1所示.Ayf(x)ByL(x)COabab02圖1.1辛普森求積公式的幾何意義圖1.2.3辛普森求積公式的代數(shù)精度及其余項(xiàng)由N-C公式的特色知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)N-C公式的代數(shù)精度最少為n1次，因?yàn)镾impson求積公式為n2時(shí)的N-C公式，故它的代數(shù)精度最少為3次，即m3將f(x)x

13、4代入Simpson公式（1-4）bb5a5左側(cè)x4dxa5右側(cè)ba(a44(ab)4b4)左側(cè)62由此可知f(x)x4使得Simpson求積公式不正確成立，所以m3即Simpson公式代數(shù)精度為3次由N-C公式的余項(xiàng)公式（1-3）知，當(dāng)n2時(shí)可得辛普森求積公式的截?cái)嗥?Rsba(ba)4f(4)(),a,b,f(x)C4a,b（1-5）1802辛普森公式的應(yīng)用例1.1用辛普森求積公式計(jì)算積分1x2dx.04x由積分形式可知a0,b1,n2用辛普森公式計(jì)算有下式1xdx1f(0)4f(1)f(1)s04x262此中xf(x)4x2.計(jì)算流程圖開(kāi)始定義函數(shù)f（x）輸入n，a，b的值計(jì)算h=（b

14、-a）/n調(diào)用函數(shù)f（x），計(jì)算s的值輸出s的值結(jié)束圖1.2例1.1流程圖C語(yǔ)言程序代碼及其運(yùn)算結(jié)果詳見(jiàn)附錄A分析附錄A可知x04x2dx0.1117656第二章辛普森求積公式的拓展及其應(yīng)用為了提升精度，平常在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中常常采納將積分區(qū)間區(qū)分紅若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采納低次的求積公式，如：梯形公式或辛普森公式，而后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來(lái)，便獲取新的求積公式，這就是復(fù)化求積公式，本章要點(diǎn)介紹復(fù)化辛普森求積公式.2.1復(fù)化辛普森求積公式2.1.1問(wèn)題的提出由截?cái)嗥羁芍?dāng)區(qū)間長(zhǎng)度ba較大時(shí)，Newton-Cotes求積公式的偏差較大.為結(jié)構(gòu)更高精度的數(shù)值積分公式，能夠采納

15、分段低次多項(xiàng)式代替整體高次多項(xiàng)式，為此，利用積分對(duì)于區(qū)間擁有可加性，將a,b區(qū)間上的積分，分紅若干小區(qū)間上的積分，以此來(lái)減少積分區(qū)間長(zhǎng)度惹起的偏差.這就引用了復(fù)化求積公式.其基本思想是：先把積分區(qū)間分紅一些長(zhǎng)度較小的子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階的牛頓-柯特斯公式，即利用bnxibaf(x)dxf(x)dx,xiaih,haxii1n1并把小區(qū)間xxinxifxdx上的積分ii,1,2,()用前面的方法近似求得，由此即可1,xi1獲取相應(yīng)的復(fù)化求積公式.最常用的是復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式，下邊學(xué)習(xí)辛普森求積公式.2.1.2復(fù)化辛普森公式及其分析定義2.1將小區(qū)間xi1,xii1,2,n上的

16、積分分別用辛普森公式計(jì)算，即可獲取復(fù)化辛普森公式bnhf(x)dxf(xi1)a16ihn1f(a)26i1Sn此中xi21xih.24f(xi1)f(xi)2nf(xi)4f(xi1)f(b)i12另一種定義形式為：用分段二次插值函數(shù)取代，記n2m,k0,1,2,m1在第k段的兩個(gè)小區(qū)間上，用三個(gè)結(jié)點(diǎn)(x2k,f(x2k),(x2k1,f(x2k1),(x2k2,f(x2k2)作二次插值函數(shù)sk(x)，而后積分，求m段之和可得整個(gè)區(qū)間上的近似積分7hm1m1baf(x2m)4f(x2k1)2f(x2k)sn(f(x0)h3k0k12m稱(chēng)該求積公式為復(fù)化辛普森求積公式（拋物線公式）.定理2.1

17、若f(x)C4a,b,則復(fù)化辛普森公式的截?cái)嗥顬閎f(x)dxSn(ba)(h)4f(4)(),aba1802且bf(x)dxSn1(1)(4)f(a)f(b),h0.ah41802注2.1從偏差公式能夠看出當(dāng)f(x)C4a,b時(shí)，Sn比T2n的精度一般要高，但他們的計(jì)算量幾乎相同.注2.21N-C求積公式.Sn屬于機(jī)械型求積公式，但不屬于插值型、也不屬于2次，擁有穩(wěn)固性和收斂性即SnIf（n或Sn的代數(shù)精度為4h）.復(fù)化辛普森公式計(jì)算流程圖為了減少計(jì)算工作量，優(yōu)化程序設(shè)計(jì)，將復(fù)化辛普森公式bnhf(xi1)4f(xi21)f(x)dxf(xi)ai16hn1nf(a)2f(xi)4f(xi

18、21)f(b)6i1i1Sn改寫(xiě)為n1nSnbaf(a)f(b)2f(a2ih)4fa(2i1)h6i1i1ba0.5f(a)n1nf(b)f(a2ih)2fa(2i1)h3ni1i1ba0.5f(a)nf(b)2fa(2i1)hf(a2ih)3ni1則于此相對(duì)應(yīng)的辛普森流程圖為：8開(kāi)始定義函數(shù)F輸入A,B,NH=（B-A）/（2*N）S=0.5*（F（A）-F（B），調(diào)用函數(shù)FI=1,NIS=S+2*FA+（2*I-1*H）+（F（A+2*I*H），調(diào)用函數(shù)FS=（B-A）/（3*N）S輸出S結(jié)束圖2.1復(fù)化辛普森算法流程圖2.1.4復(fù)化辛普森公式的應(yīng)用例2.1用復(fù)化辛普森公式計(jì)算正弦積分的

19、近似值Sn1sinx0 xdxn8.分析該積分可知f(x)sinxdx,a0，b1則xba10.125為步長(zhǎng)hn8C語(yǔ)言程序代碼及其運(yùn)算結(jié)果詳見(jiàn)附錄B由此可知S40.946089例2.2用復(fù)化辛普森公式計(jì)算定積分1x2dxn8.04x分析該積分可知xba1f(x)4x2，a0，b1則hn80.125為步長(zhǎng)C語(yǔ)言程序代碼及其運(yùn)算結(jié)果詳見(jiàn)附錄B.由此可知S40.11157在利用插值型求積公式求積分時(shí)，為了提升精度有兩種門(mén)路.一是提升積分區(qū)間上的插值多項(xiàng)式的階數(shù)，從而也就提升了求積的階數(shù).可是，因?yàn)椴逯刀囗?xiàng)式的階數(shù)越高，其迫近性質(zhì)未必好（即精度未必能提升），所以，牛頓-柯特斯公式的階數(shù)越高，其積分精

20、度也未必越高，工程上一般只作到六階牛頓-柯特斯公式（即龍貝格公式）為止.二是采納復(fù)化公式，盡量減小每個(gè)求積小區(qū)間的長(zhǎng)度.在實(shí)質(zhì)應(yīng)用時(shí)，常常將兩種方法混淆使用，以便提升求積的精度.2.2變步長(zhǎng)辛普森求積公式在數(shù)值積分中，精度是一個(gè)很重要的問(wèn)題，假如偏差太大，就沒(méi)有實(shí)質(zhì)意義.為了提升精度，經(jīng)過(guò)需要在復(fù)化求積公式中盡量減少各細(xì)分小區(qū)間的長(zhǎng)度，即減少步長(zhǎng)h.明顯，假如步長(zhǎng)h獲得太大，則精度就難以保證.可是，假如步長(zhǎng)獲得太小，則計(jì)算工作量就隨之增大，而且，因?yàn)轫?xiàng)數(shù)增添，其偏差累積也就增大.所以，在采納復(fù)化公式求積時(shí)，要點(diǎn)的問(wèn)題是合理地選擇步長(zhǎng)（即合理選擇對(duì)整個(gè)積分區(qū)間的細(xì)分?jǐn)?shù)），以便既能滿足精度要求，又

21、不至于惹起過(guò)多的偏差累積和過(guò)大的計(jì)算工作量.在實(shí)質(zhì)計(jì)算過(guò)程中，平常采納變步長(zhǎng)的求積法.變步長(zhǎng)辛普森求積公式的導(dǎo)出過(guò)程變步長(zhǎng)辛普森求積公式是成立在變步長(zhǎng)梯形公式的基礎(chǔ)上，同時(shí)它又是龍貝格算法導(dǎo)出的中間過(guò)程，我們知道,若被積函數(shù)擁有必定的圓滑性,則增添節(jié)點(diǎn)能夠降低復(fù)化求積公式的截?cái)嗥?這里需要解決的問(wèn)題是增添節(jié)點(diǎn)后的復(fù)化求積方法可否充分利用已有的計(jì)算工b作量.比如:若將Tn作為If(x)dx的近似精度不夠,需減少步長(zhǎng)(增添節(jié)點(diǎn)數(shù))a計(jì)算相應(yīng)的Tm來(lái)近似I,自然我們想要充分利用已經(jīng)求得的Tn.為此,設(shè)區(qū)間a,bn均分后,利用復(fù)化梯形公式已經(jīng)求得Tn這一結(jié)果,為了獲取精度更高的數(shù)值結(jié)果,我們將原有的

22、步長(zhǎng)折半,即把區(qū)間a,b分為2n均分,而后應(yīng)用復(fù)化梯形公10式求得T2n.下邊將會(huì)看到這樣既提升了精度,又能充分利用已經(jīng)求得的Tn.事實(shí)上,我們能夠成立Tn與T2n的下述遞推關(guān)系.設(shè)hn1f(xi1),hbaTnf(xi)n2i0則T2nn1hf(xk)2f(x1)f(xi1)h04k2hn1f(xk)f(xk1)hn14k0f(xk1)2k021Tnhn1f(xi1)22i02此中hxkbaxk1n即，1hn1T2nTn新增分點(diǎn)的函數(shù)值2i0注2.3由上述公式可知在Tn的基礎(chǔ)上計(jì)算T2n只需調(diào)用n次函數(shù)即可，最大限度地節(jié)儉了T2n的計(jì)算量.加快公式的導(dǎo)出：由前面的偏差分析，我們能夠獲取復(fù)化梯

23、形公式Tn的截?cái)嗥顬閎af()h2，即12baITnf()h212近似依據(jù)復(fù)化梯形公式T2n的截?cái)嗥顬閎af()(h)2，有122IT2nbaf()(h)2122兩式對(duì)比可得IT2n1，此中IbI(f)f(x)dx4a即IT2n1(T2nTn)（2-1）3注2.41公式（2-1）說(shuō)明T2n的偏差能夠近似地由T2n與Tn表現(xiàn)，這樣就給出了11復(fù)化梯形公式預(yù)計(jì)偏差的過(guò)后預(yù)計(jì)法.2由公式（2-1）還能夠獲取校訂公式（加快公式）141IT2n3(T2nTn)3T2n3Tn數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表示，在必定條件下，上式計(jì)算出來(lái)的值比本來(lái)的式稱(chēng)為梯形公式的加快公式.梯形求積公式的實(shí)質(zhì)：假定已知Tn，T2n，則4

24、14n1hf(xk1)hf(xk1)T2nTnf(xk)4333k04221n1hf(xk)f(xk1)3k02n1hf(xk1)Snkf(xk)4f(xk1)062即Sn4T2n1Tn33T2n好得多，上述公f(xk1)上式表示Tn與T2n經(jīng)過(guò)上邊公式辦理后，可得精度更高的Sn.即復(fù)化辛普森公式，這也是加快的實(shí)質(zhì).變步長(zhǎng)辛普森求積公式的加快過(guò)程近似梯形加快公式的推導(dǎo)，由Sn的截?cái)嗥罟剑?-5）可得ISn1S2nSn即15IS2n1SnS2n1516S2n1Sn1515注2.51上述兩個(gè)公式分別稱(chēng)為復(fù)化辛普森公式預(yù)計(jì)偏差的過(guò)后預(yù)計(jì)公式及復(fù)化辛普森公式的加快公式.2近似地能夠證明：Cn16S

25、2n1Sn15153在求得Cn，C2n的基礎(chǔ)上，能夠進(jìn)一步加快得：龍貝格公式12Rn64C2n1Cn6363變步長(zhǎng)辛普森求積公式的算法流程圖開(kāi)始N=1，H=B-AIP=F(A)+F(B)FIC=0,X=A-H/2K=1,NX=X+HIC=IC+F(x)FI2=(4*IC+IP)*H/6YN=1NN|I2-I|ESPI=2II1=I2,IP=IP+2*IC輸出N=N+N結(jié)束H=0.5*H圖2.2變步長(zhǎng)辛普森算法流程圖13變步長(zhǎng)辛普森公式算法程序代碼詳見(jiàn)附錄C變步長(zhǎng)辛普森求積公式的應(yīng)用例2.3用變步長(zhǎng)辛普森求積公式計(jì)算定積分1x2dx04x取0.000001.C語(yǔ)言程序代碼及其運(yùn)算結(jié)果詳見(jiàn)附錄C.

26、分析結(jié)果可知1x04x2dx0.1115722.2.6小結(jié)經(jīng)過(guò)分析例1.1、2.2、2.3有下表2-1表2-1三種算法比較算法名稱(chēng)代數(shù)精度積分形式計(jì)算結(jié)果31x2dx0.111765辛普森求積04x復(fù)化辛普森41x2dx0.11157求積04x變步長(zhǎng)辛普1x2dx0.111572森求積04x余項(xiàng)1(ln5ln4)0.1117651(ln5ln4)0.1115721(ln5ln4)0.1115722由表2-1能夠得出用變步長(zhǎng)辛普森求積公式求得的結(jié)果偏離正確值的程度最小，即其計(jì)算結(jié)果最湊近正確值，其次是復(fù)化辛普森求積方法，辛普森求積方法較前述兩種方法偏差較大.但三種算法均擁有優(yōu)秀的穩(wěn)固性與收斂性，

27、從而提升了計(jì)算效率及正確度在工程技術(shù)中有較為寬泛的應(yīng)用.2.2.7數(shù)值求積公式在實(shí)質(zhì)工程中的應(yīng)用例2.4人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓。我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面439Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面2384Km，地球半徑為6371Km.求：該問(wèn)題的軌道長(zhǎng)度.模型1）a，b分別是長(zhǎng)半軸和短半軸；2）焦距為c；143）地球半徑為r；近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)與地球表面的距離分別是S1和S2.圖2.3衛(wèi)星軌道的表示圖2as1s22rcas1rba2c2a7782.5(Km)b7721.5(Km)橢圓的參數(shù)方程為xacost，ybsint(0t2)弧長(zhǎng)的公式橢圓長(zhǎng)度L4(a2sin2t1dtb2cos2t

28、)220利用數(shù)值積分公式計(jì)算衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度問(wèn)題，編寫(xiě)Mathematica語(yǔ)句以下：NIntegrate4*7782.52Sint27721.52Cost2,t,0,2結(jié)果為:48707.415參照文件李慶揚(yáng)王能超易大義.數(shù)值分析基礎(chǔ)M.北京:清華大學(xué)第一版,2008年.徐士良.數(shù)值方法與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)M.北京:清華大學(xué)第一版社，2006年.封建湖聶玉峰王振海.數(shù)值分析M.西安:西北工業(yè)大學(xué)第一版社，2003年.朝倫巴根賈德彬.數(shù)值計(jì)算方法M.北京:中國(guó)水利水電第一版社，2007年.王立秋魏煥彩周學(xué)圣.工程數(shù)值分析題解M.山東：山東大學(xué)第一版社，2004年.張年光奚梅成陳效群.數(shù)值計(jì)算方法與算法.北

29、京：科學(xué)第一版社，2006年.16附錄A本附錄介紹例1.1用辛普森求積公式計(jì)算過(guò)程中的變量說(shuō)明、C語(yǔ)言程序代碼、以及運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果.表變量說(shuō)明表變量名變量說(shuō)明a積分上限b積分下限n區(qū)間均分后的個(gè)數(shù)h步長(zhǎng)s結(jié)果該積分用Simpson公式計(jì)算的C語(yǔ)言程序代碼為：#include#includefloatf(floatx)floatt;t=x/(4+pow(x,2);returnt;main()floatn,a,b;floath,s;printf(putn=);scanf(%f,&n);printf(puta=);scanf(%f,&a);printf(putb=);scanf(%f,&b);printf

30、(a=%f?b=%f,n=%fn,a,b,n);h=(b-a)/n;printf(h=%fn,h);s=(h/3)*(f(a)+4*f(a+h)+f(b);printf(s=%fn,s);其結(jié)果為：圖例1.1計(jì)算結(jié)果17附錄B本附錄介紹例2.1和例2.2用復(fù)化辛普森求積公式計(jì)算過(guò)程中的變量說(shuō)明、C語(yǔ)言程序代碼、以及運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果.表變量說(shuō)明變量名變量說(shuō)明a積分上限b積分下限n區(qū)間均分后的個(gè)數(shù)h步長(zhǎng)s結(jié)果s1中間變量s2中間變量m中間變量i中間變量j中間變量l中間變量d中間變量例2.1程序代碼：#include#includefloatf(floatx)floatt;t=sin(x)/x;return

31、t;main()intn=8,i,j;floatm,s,s1=0,s2=0,h,a=0,b=1,c,l,d;h=(b-a)/4;c=h/6;printf(a=%f,a);printf(b=%f,b);printf(h=%f,h);printf(f(0.000000)=1.000000n);l=1;/f(a)=1.000000;l=f(a);d=f(b);for(m=0.125;m=1;m=m+0.125)printf(f(%f)=%fn,m,f(m);for(i=1;i8;i=i+2)s1=s1+4*f(a+i*h/2);18for(j=2;j8;j=j+2)s2=s2+2*f(a+j*h/2

32、);s=c*(l+d+s1+s2);printf(s1=%fn,s1);printf(s2=%fn,s2);printf(s=%6.5fn,s);例2.1程序運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果為：圖例2.1計(jì)算結(jié)果例2.2變量說(shuō)明同例2.1例2.2程序代碼：#include#includefloatf(floatx)floatt;t=t=x/(4+pow(x,2);returnt;main()intn=8,i,j;floatm,s,s1=0,s2=0,h,a=0,b=1,c,l,d;h=(b-a)/4;c=h/6;printf(a=%f,a);printf(b=%f,b);printf(h=%f,h);19printf(f(0.000000)=1.000000n);l=f(a);d=f(b);for(m=0.125;m=1;m=m+0.125)printf(f(%f)=%fn,m,f(m);for(i=1;i8;i=i+2)s1=s1+4*f(a+i*h/2